Bild eines Homo. ein Ideal ? < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:01 So 16.03.2008 | | Autor: | Jorgi |
Guten Tag,
es ist kein Geheimnis, dass das Bild eines Ringhomomorphismus [mm] $\varphi [/mm] : R [mm] \longrightarrow [/mm] R'$ im Allgemeinen kein Ideal ist.
Es ist jedoch so, dass das Bild eines Ringhomomorphismus stets ein Unterring ist. Was fehlt also dem Bild, damit es zum Ideal wird ...
die Eigenschaft : für $a [mm] \in [/mm] R'$ und $b [mm] \in Bild(\varphi)$ [/mm] gilt stets $a [mm] \cdot [/mm] b [mm] \in Bild(\varphi)$
[/mm]
Welche zusätzlichen Eigenschaften muss der Homomorphismus an den Tag legen, um diese erforderliche Eigenschaft zu erhalten ?
Surjektivität würde reichen, dann wäre [mm] $Bild(\varphi) [/mm] = R'$ und $R'$ ist "trivialerweise" ein Ideal.
Meine Frage ist nun :
Gilt auch die Umkehrung ? Wenn das Bild eines Ringhomomorphismus ein Ideal ist, kann daraus auf seine Surjektivität schliessen ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:42 So 16.03.2008 | | Autor: | Alex__ |
Hi,
> Meine Frage ist nun :
>
> Gilt auch die Umkehrung ? Wenn das Bild eines
> Ringhomomorphismus ein Ideal ist, kann daraus auf seine
> Surjektivität schliessen ?
betrachte die Abbildung Z → Z definiert durch z → 2z.
LG
Alex
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:37 So 16.03.2008 | | Autor: | andreas |
hi
[mm] $\mathbb{Z} \longrightarrow \mathbb{Z}; [/mm] z [mm] \longmapsto [/mm] 2z$ ist kein ringhomomorphismus, da er nicht mit der multiplikation verträglich ist. hat man einen homomorphismus von ringen mit $1$, so beachte man, dass $1 = [mm] \varphi(1) \in \textrm{Bild} (\varphi)$ [/mm] gilt.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:12 Mo 17.03.2008 | | Autor: | Alex__ |
Hi Andreas,
da hast Du natürlich Recht. Hab ich wohl zu kurz darüber nachgedacht.
LG
Alex
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:21 Mo 17.03.2008 | | Autor: | Jorgi |
Das Problem ist gelösst,
der Vollständigkeit halber möchte ich kurz dazu was schreiben.
Voraussetzung : $R,R'$ Ringe mit Eins, [mm] $\varphi [/mm] : R [mm] \longrightarrow [/mm] R'$ Ringhomomorphismus, [mm] $Bild(\varphi)$ [/mm] Ideal.
Behauptung: [mm] $\varphi$ [/mm] surjektiv
Da [mm] \varphi [/mm] ein Ringhomomorphismus ist, gilt [mm] $\varphi(1) [/mm] = 1 [mm] \in [/mm] R'$.
[mm] $Bild(\varphi) \subseteq [/mm] R'$ ist also ein Ideal, welches die Eins enthält, und somit sofort ganz $R'$, d.h. [mm] $Bild(\varphi) [/mm] = R'$.
Also ist [mm] $\varphi$ [/mm] surjektiv
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