Bild(f) gesucht < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:05 Fr 17.03.2006 | | Autor: | AriR |
| Aufgabe | Bestimmen sie eine Basis von Bild(f), wobei die darstellende matrix von f bzgl. der Standardbasen folgende ist:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 2 } [/mm] |
(frage zuvor nicht gestellt)
hey leute.. komme hier irgendwie nicht weiter, obwohl mir die aufgabe als relativ leicht erscheint.
Ich hab versucht einfach die Matrtix als LGS zu betrachten mit dem allgemeinen lösungsvektor a,b,c,d aber komme da irgendwie nicht weiter.
habe da irgendwie sowas raus:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 } [/mm] (ich weiß nicht wie man hier den Lösungsvektor mit einbringen kann in die Matrix, ich schreibe in einfach als vektor bei)
[mm] \vektor{a \\ -a+d+b \\ -a+d-2a+c \\ -a+d }
[/mm]
ich weiß ehrlich gesagt nicht, was ich jetzt weiter machen soll, und fange schon an über meinen Lösungsweg zu zweifeln. Ich müsste doch eigentlich für a,b,c,d etwas in abhängigkeit von x,y,z rausbekommen oder nicht, welches ich durch weiter schritte auf eine Basis zurückführen könnte oder?
Wäre echt nett, wenn mir hier einer weiterhelfen kann..
Gruß Ari =)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:12 Fr 17.03.2006 | | Autor: | SEcki |
> hey leute.. komme hier irgendwie nicht weiter, obwohl mir
> die aufgabe als relativ leicht erscheint.
Tip: die Spalten der Matrix sind ein Erzeugendensystem des Bildes.
SEcki
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:18 Fr 17.03.2006 | | Autor: | AriR |
lol stimmt damit ist ein sicherer lönsungsansatz gefunden :)
nur mal so aus interesse: es müsste doch auch über den weg gehen, den ich vorgeschlagen habe oder? wenn ja, wie müsste ich dann weiter machen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:20 Sa 18.03.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
du hast versucht das Bild überhaupt erstmal zu bestimmen, oder?
Das nächste mal schreibe doch mal das Gleichungssystem auf, das du versuchst zu lösen.
Wenn ich jetzt aber mal richtig rate, dann funzt das schon so ungefähr, wie du dir das denkst, aber 1) solltest du Gauß richtig anwenden (ich denke mal deine umgeformte Matrix sieht nicht richtig aus) und 2) musst du dir dann noch überlegen, für welche Werte von a,b,c und d es überhaupt eine Lösung gibt...
Und erst danach kannst du überhaupt erst damit beginnen eine Basis zu suchen, denn du hast vorher auch schon nur ein erzeuigendensystem erhalten.
Letzteres kann man aber wie schon gesagt wurde direkt ablesen und man muss nichts rechnen !
Hinweis : um eine Basis des Bildes zu erhalten, schreibe die Spaltenvektoren als ZEILEN auf und wende den Gauß-algo an (also nur Zeilenumformungen), wenn die Matrix dann richtig in Zeilenstufenform ist, dann sind die Nicht-Null-Zeilen eine Basis des Bildes...
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:40 So 19.03.2006 | | Autor: | Riley |
hi, hab mir grad deine erklärung durchgelesen! warum bekommt man eine basis des Bildes, wenn man die Vektoren in Zeilen schreibt'?? also ich hab das auch mal bei ner aufgabe ausprobiert, das hat funktioniert, aber ich versteh nicht ganz warum...???
ich hätte zuerst ganz normal eine Basis vom Kern bestimmt, dann weiß ich ja welche dim das Bild hat und dann mir dementsprechend viele lin. unabhänigigen Vektoren aus dem Bildbereich gesucht...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:12 So 19.03.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> hi, hab mir grad deine erklärung durchgelesen! warum
> bekommt man eine basis des Bildes, wenn man die Vektoren in
> Zeilen schreibt'?? also ich hab das auch mal bei ner
> aufgabe ausprobiert, das hat funktioniert, aber ich versteh
> nicht ganz warum...???
Wenn du die Vektoren als Zeilen schreibst und den Gauß mit seinen Zeilenoperationen anwendest, dann entsteht ja die Zeilenstufenform.
(beachte, dass du jede neue Zeile nur als Linearkombination der anderen schreibst, du bleibst also im selben Erzeugnis der Vektoren)
Wenn du dann die Zeilenstufenform vorliegen hast, dann sind alle Nicht-Null-Zeilen linear unabhängig, denn sie haben alle unterschiedlich viele Einträge durch die Stufenform.
Du hast also ein linear unabhängig Menge bekommen, die noch den selben Rang hat wie vorher bzw. noch das selbe Erzeugnis erzeugt, also eine Basis.
Du kannst die Vektoren auch als Spalten stehen lassen, aber dann darfst du danach nur noch Spaltenoperationen machen, damit du im selben Erzeugnis bleibst und du musst dann eben versuchen eine Spaltenstufenform zu erreichen um danach noch die lineare Unabhängigkeit leicht zu sehen.
Da der Gauß aber das alles normaler Weise mit Zeilen macht und man den Gauß schon kennt, ist es einfacher über Zeilen zu erklären...
>
> ich hätte zuerst ganz normal eine Basis vom Kern bestimmt,
> dann weiß ich ja welche dim das Bild hat und dann mir
> dementsprechend viele lin. unabhänigigen Vektoren aus dem
> Bildbereich gesucht...
Hm, du musst (hier) ja nicht ein Basis des Kerns bestimmen, das ist viel zu viel Rechenarbeit - die Dimension bekommt man auch über den Gauß geschenkt, aber der wesentliche Punkt ist :
versuche das mal mit zum beispiel 30 Vektoren aus dem [mm] $\IR^{50}$ [/mm] , siehst du dann etwa noch welche linear unabhängig sind und welche nicht?
Das müsste man dann ehh über eine ähnliche Variante wie ich oben beschrieben habe rausbekommen...
Was ich damit sagen will ist eigentlich nur : das Vorgehen oben ist systematisch und auf beliebige Größen anwendbar, während der einfache try&error ansatz zum einen genauso lange dauert (außer in zu einfachen ausnahmen) und zum anderen auch sehr von der größe abhängt...
edit:
außerdem kann man diese idee ganz leicht verwenden bzw erweitern um eine Basisergänzung eines Erzeugnisses (zB eines Unterraumes) zu finden, dazu hab ich in DIESEM THREAD vor kurzem was geschrieben.
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:03 So 19.03.2006 | | Autor: | Riley |
Hi DaMenge!!
cool, vielen dank für deine ausführliche erklärung(samt link), ich glaub ich habs verstanden!! d.h. ich kann diese methode eigentlich immer benutzen, wenn ich vektoren hab, und die rausfiltern möchte die linear unabhängig sind, oder??
gruß Riley ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:21 So 19.03.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
naja du musst aufpassen : der Gauß-algo verändert ja die Zeilen, also sind die Zeilen, die man zum Schluß rausbekommt nicht mehr eine Teilmenge von den Vektoren, die man reingesteckt hat - es sind vielmehr k linear unabhängige Vektoren aus dem Erzeugnis der Vektoren, die man am Anfang hatte.
(wobei k die Dimension dieses Unterraumes ist)
Wenn du von n fest vorgegebenen Vektoren eine Teilmenge von Vektoren haben willst, die linear unabhängig sind, so dass die Kardinalität der Teilmenge maximal ist , daaaannn würde ich mal darauf tippen, dass dies ein wesentlich schwereres Problem ist - mir fällt jedenfalls spontan kein effizienter Algo ein, der das macht..
Sollte deine Frage aber genau auf letzteren Fall abzielen, dann solltest du lieber einen neuen Thread aufmachen und (von mir aus) meine Problembeschreibung kopieren...
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:59 So 19.03.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
um das letzte Problem zu lösen könnte man einfach eine Greedy-Strategie verwenden:
gegeben n Vektoren [mm] v_1 [/mm] bis [mm] v_n, [/mm]
gesucht Menge M von linear unabhängigen Vektoren maximaler Kardinalität
1) Setze M=leer
2) für i=1 bis n mache : wenn [mm] $M\cup \{ v_i \}$ [/mm] höheren Rang hat als M, dann setze [mm] $M:=M\cup \{ v_i \}$
[/mm]
(das funzt ganz schön, denn die n Vektoren bilden mit dem System der unabhängigen Teilmengen ein Matroid und das oben ist gerade der Best-In-Greedy
Diese Bemerkung einfach ignorieren, wenn Inhalt unklar)
Jedenfalls muss man ja n-mal den Rang einer Menge bestimmen - ob das so schön ist, weiß ich nicht...
(geht wahrscheinlich auch schneller, aber man merkt schon,dass das Problem was schwieriger zu sein scheint)
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:48 So 19.03.2006 | | Autor: | SEcki |
> (geht wahrscheinlich auch schneller, aber man merkt
> schon,dass das Problem was schwieriger zu sein scheint)
Imo stimmt das einfach nicht! Man sollte doch aus dem Gauß-Algo für die ganze Matrix sofort auch ursprüngliche Vektoren ablesen können, die linaer unabhängig sind. Also: man führt Gauß druch, und merkt sich wie man permutiert hat. Dann sind die ursprünglichen vektoren, die jetzt auf die neuen Basisvektoren gewandert sind, auch eine Basis der Vektoren, und das Problem ist gelöst. Weiso? Man nehme mal OBdA an, die vektoren seien schon richtig permutiert, so dass man blos lustiges Pivot abziehen machen muss - aber das Verfahren startet ja mit jeweils der obersten Zeile, und nach genauer Beobachtung muss man diese eiegtnlich auch gar nicht verändern. Dann die zweite, dritte ...
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:36 Mo 20.03.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi SEcki,
da hast du wohl recht, denke ich - man muss eben nur einen Permutationsvektor mitschleppen, der einem dann sagt, welche Ausgangsvektoren linear unabhaengig sind...
Schoen - so haben alle beteiligten (ausser dir, SEcki) was gelernt^^
viele Gruesse
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:14 So 19.03.2006 | | Autor: | Riley |
okay, stimmt, danke dass du mir das nochmal erklärt hast, mit den vektoren und erzeugnis, das hatte ich mir falsch vorgestellt... aber jetzt hab ichs!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:06 So 19.03.2006 | | Autor: | AriR |
Hi DaMenge..
danke schonmla für deine Antwort...
angenommen mein Lösunsvektor wäre richtig gewesen. Ich habe den soweit umgeformt, dass ich folgendes herausbekomme:
a [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ -3 \\ -1}+b \vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ 1}+c \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
und somit wären doch die [mm] vektoren:\vektor{1 \\ -1 \\ -3 \\ -1} \vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ 1}\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0} [/mm] die Basis des Lösungsraums oder?
wäre nett, wenn du dir das mal kurz anguckst.. gruß ari =)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:16 So 19.03.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
du hast immernoch nicht geschrieben, welches Gleichungssystem du denn versucht hast zu lösen...
Ich gehe mal von Folgendem aus:
$ [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 2 }*\vektor{x\\y\\z}=\vektor{a\\b\\c\\d}$
[/mm]
und du hast es mit Gauß ein bischen umgeformt und auf der rechten Seite dann den Vektor $ [mm] \vektor{a \\ -a+d+b \\ -a+d-2a+c \\ -a+d } [/mm] $ bekommen oder wie?
zuerst mal: da sind 4 Variablen drinne, also sollte evtl. auch bei deiner Darstellung des Bildes 4 Komponenten auftauchen.
(wo ist das d hin?)
Außerdem : angenommen, du hast eine Nullzeile beim Gauß rausbekommen. Dann muss die rechte Seite beim Lösungsvektor ja auch 0 sein, denn egal wie x,y und z gewählt sind, es kommt immer 0 heraus - du erhälst also ein neues Gleichungssystem...
angenommen du hast das dann alle gut und richtig gelöst und bekommst einen Vektor wie $ [mm] \vektor{a+b \\ a+b \\ a+b \\ a+b } [/mm] $ raus, dann wäre das ja das selbe wie [mm] $a*\vektor{1\\1\\1\\1}+b*\vektor{1\\1\\1\\1}$, [/mm] aber die einzelnen Vektoren bilden sicher keine Basis, sondern nur ein Erzeugendensystem des Bildes - das kann man sich aber wirklich alles sauber sparen, wenn man sich direkt die Spalten der Matrix anschaut.
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:42 So 19.03.2006 | | Autor: | AriR |
hi DaMenge.. vielen dank schonmla für deine Mühe.. zu deinem bsp mit dem a+b vektor.. in diesem fall bekommt man ja nach dem lösen des LGS sozusagen raus w=x=y=z usw.. dann hat man ja sozusagen einen vektor [mm] x*\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1}.
[/mm]
zu dem was ich vorher geschrieben habe.. du hast recht, ich habe den vektor [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] vergessen, aber das wäre dann doch eine Basis mit den anderen Vektoren zusammen oder?
sicher hast du recht und es geht mit den Spaltenvektoren wesentlich leichter die Basis des Bildes zu bestimmen, mir geht es jetzt nur nochmal kurz um die Theorie =)
Vielen dank nochmal.. ich hoffe du findest auch noch einen kurzenh moment, diese Frage zu beantworten
Gruß Ari
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:45 Mo 20.03.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> hi DaMenge.. vielen dank schonmla für deine Mühe.. zu
> deinem bsp mit dem a+b vektor.. in diesem fall bekommt man
> ja nach dem lösen des LGS sozusagen raus w=x=y=z usw.. dann
> hat man ja sozusagen einen vektor [mm]x*\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1}.[/mm]
nein - schau dir mal das Gleichungssystem genau an, was ich angegeben habe.
Du versuchst dieses NICHT zu loesen, sondern du musst dir ueberlegen, fuer welche rechten Seiten GIBT ES UEBERHAUPT Loesungen.
Bei dem Beispiel, dass ich gegeben habe, habe ich ja gar nichts ueber die linke Seite gesagt ! Du kannst also keinesfalls schlussfolgern, wie dann x,y und z aussehen muessten..
Es geht hier auch nicht um x,y oder z, sondern allein um die rechte Seite !
Du willst ja wissen, wie das bild aussieht, nicht wie die Urbilder aussehen muessen.
Du bekommst also wirklich nur ein Erzeugendensystem.
(ich habe mir aber nicht ueberlegt, ob mein Beispiel durch den Gauss ueberhaupt machbar ist !)
>
> zu dem was ich vorher geschrieben habe.. du hast recht, ich
> habe den vektor [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm] vergessen,
> aber das wäre dann doch eine Basis mit den anderen Vektoren
> zusammen oder?
nein, du hast dann 4 Vektoren - das Bild wird aber aus den Spalten der Matrix erzeugt, d.h. es hat hoechstens 3 Vektoren als Basis !
Aber es kann natuerlich sein, dass du beim Gauss oder so einen Fehler gemacht hast, dennoch wuerde ich nicht davon ausgehen , dass eine Basis rauskommt !
viele Gruesse
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:49 Di 21.03.2006 | | Autor: | AriR |
hmm irgendwie habe ich lücken oder wir reden aneinander vorbei +g+
zB wenn man den vektor [mm] \vektor{a+b \\ a+b \\ a+b} [/mm] für [mm] a,b\in [/mm] K dann spannt das doch den selben Unterraum auf wie [mm] x*\vektor{1 \\ 1 \\ 1} x\in [/mm] K oder nicht? das sind doch einfach Vektoren, bei denen alle Komponenten den selben eintrag haben.
und zu den vektoren, die ich als basis raushatte.. wenn ich die auf linear unabhängigkeit überprüfe, dann bilden sie doch die basis oder?
danke im voraus.. gruß Ari
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Hallo Ari,
auf deine zweite Teilfrage:
> und zu den vektoren, die ich als basis raushatte.. wenn ich
> die auf linear unabhängigkeit überprüfe, dann bilden sie
> doch die basis oder?
Ja, sicher.
MfG
Stukkateur
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:12 Di 21.03.2006 | | Autor: | AriR |
daaaaaaaaaanke.. wenn das nicht gestimmt hätte, hätte ich nichts mehr verstanden :D
Lieben Gruß
Ari
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:28 Di 21.03.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> hmm irgendwie habe ich lücken oder wir reden aneinander
> vorbei +g+
gut, zusammengefasst will ich eigentlich darauf hinaus, dass deine gesamte rechnung keine Erkenntnis bringt, d.h. du weisst nach der Rechnung genauso viel wie vorher !
Das wollte ich dir verdeutlichen, dass du danach auch "nur" ein Erzeugendensystem erhaelst und keine Basis.
(wobei du aber ein Erzeugendensystem schon von anfang an ohne Rechnung gegeben hast)
>
> zB wenn man den vektor [mm]\vektor{a+b \\ a+b \\ a+b}[/mm] für
> [mm]a,b\in[/mm] K dann spannt das doch den selben Unterraum auf wie
> [mm]x*\vektor{1 \\ 1 \\ 1} x\in[/mm] K oder nicht? das sind doch
> einfach Vektoren, bei denen alle Komponenten den selben
> eintrag haben.
>
aehm, ja, wenn du jetzt x nicht mit dem verwendeten x in meiner Gleichung verwechselst, hast du recht.
Aber der Sinn des Beispiels war doch gerade, dass man offensichtlich erkennt, dass das Vorgehen ueber a und b nur ein Erzeugendenszstem liefert.
Ich haette den Vektor mit a,b und c auch wesentlich komplizierter machen koennen, wo man erst durch Rechnung sieht, dass die zu a,b bzw c gehoerenden Vektoren abhaengig sind.
>
> und zu den vektoren, die ich als basis raushatte.. wenn ich
> die auf linear unabhängigkeit überprüfe, dann bilden sie
> doch die basis oder?
ja, wenn du dein Erzeugendensystem noch minimierst, erhaelst du eine Basis.
Mehr musst du aber am Anfang auch nicht machen.
viele Gruesse
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:59 Di 21.03.2006 | | Autor: | AriR |
^danke daMenge..
ich nach der antwort von secki ist es mir auch sofort wieder eingefallen, dass es über die spaltenvektoren wesentlich einfacher geht.. mir ging es jetzt nur nochmal um das verständnis =)
Gruß Ari
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