Bild und Kern < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:11 Mo 24.04.2006 | | Autor: | cheepy |
| Aufgabe | Sei f: [mm] \vektor{x 1\\ x2\\x3} \to \pmat{ x1 & x2 & x3\\ x1 & -x2 & x3\\x1 & x3 }lineare [/mm] Abbildung. Geben Sie Kern(f) und Bild(f) an.
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Hallo,
ich hoffe das ihr mir helfen können. Meine Frage ist wie ich so eine Aufgabe berechne. Ich habe schon in vielen Forums so ähnliche Aufgaben gesehn, nur leider habe ich es nicht verstanden wie ich solche Aufgaben berechnen kann.
Wäre super nett wenn jemand mir das schritt für schritt erklären kann.
Lieben Gruß, Cheepy
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
> Sei f: [mm]\vektor{x 1\\ x2\\x3} \to \pmat{ x1 & x2 & x3\\ x1 & -x2 & x3\\x1 & x3 }lineare[/mm]
> Abbildung. Geben Sie Kern(f) und Bild(f) an.
> Hallo,
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> ich hoffe das ihr mir helfen können. Meine Frage ist wie
> ich so eine Aufgabe berechne. Ich habe schon in vielen
> Forums so ähnliche Aufgaben gesehn, nur leider habe ich es
> nicht verstanden wie ich solche Aufgaben berechnen kann.
> Wäre super nett wenn jemand mir das schritt für schritt
> erklären kann.
Naja, also ker(f) sind ja genau die x, die durch die Funktion auf 0 abgebildet werden. Für die muss also gelten:
[mm] \pmat{ x_1 & x_2 & x_3\\ x_1 & -x_2 & x_3\\x_1 & x_2 & x_3 }*\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=0
[/mm]
Das ist ein lineares Gleichungssystem, dass du lösen musst.
Bild(f) fällt mir gerade nicht mehr ein, wie man das berechnet... ![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]")
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:56 Di 25.04.2006 | | Autor: | cheepy |
Hallo,
möchste ich mir als erstes bei euch bedanken das ihr so schnell reagiert habt.
Vielen, vielen Dank!!!
Also zu Kern habe ich folgendes:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 1}
[/mm]
1Zeile )
1-2 (Zeilen)
habe ich dann:
2 [mm] x_{2}=0
[/mm]
2 Zeile)
2-1 (zeilen)
-2 [mm] x_{2}=0
[/mm]
3 Zeile)
[mm] x_{1}+ x_{3}=0 [/mm] |- [mm] x_{3}
[/mm]
[mm] x_{1}= -x_{3}
[/mm]
Also der kern ist dann: [mm] \vektor{ x1 \\ 0 \\ -x3}
[/mm]
Das habe von meinen Mitstudenten bekommen, leider kann ich das nicht verstehen.
Bastiane, wenn ich das richtig verstanden hab, muss ich mit Hilfe lineares Gleichungssystem die einzelnen x-Werte lösen und dann als kern im Vektor eingeben. Aber das was ich oben stehen hab, ist was ganz anders.
Lieben Gruß, Cheepy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:34 Di 25.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo cheepy
Anscheinend geht es gar nicht um die Matrix, die du in der ersten Aufgabe geschrieben hast, sondern um die spezielle hier in der Frage? oder warum jetzt
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 1}[/mm]
besser :
[mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 1} *\vektor{ x1 \\ 0 \\ -x3}[/mm] ergibt ein Gleichungssystem:
> 1Zeile )
> 1-2 (Zeilen)
> habe ich dann:
> 2 [mm]x_{2}=0[/mm]
>
> 2 Zeile)
> 2-1 (zeilen)
> -2 [mm]x_{2}=0[/mm]
>
> 3 Zeile)
> [mm]x_{1}+ x_{3}=0[/mm] |- [mm]x_{3}[/mm]
> [mm]x_{1}= -x_{3}[/mm]
Das ist richtig. du kannst also ein beliebiges x1=r wählen, dann ist x3 das negative davon . Da dein Vektor, den Du mit der matrix multipliziert hast ja
[mm]\vektor{ x1 \\ x2\\ x3}[/mm] hiess, besteht der Kern aus allen Vektoren der Form [mm]\vektor{ r \\ 0 \\ -r}[/mm]
Wenn du statt r x1 schreibst ist es auch nicht falsch, irritiert dich aber eher.
Der Kern besteht also aus dem eindimensionalen Unterraum mit der Basis
[mm]\vektor{ 1 \\ 0 \\ -1}[/mm]
> Also der kern ist dann: [mm]\vektor{ x1 \\ 0 \\ -x3}[/mm]
So ist das falsch, da man ja dann x1 und x3 unabhängig wählen kann.
( Da du dich erst an all das gewöhnen musst, wärs vielleicht gut, du würdest jetzt zur Probe die Matrix wirklich mit [mm]\vektor{r \\ 0 \\ -r}[/mm]
multiplizieren und sehen, dass du den 0 Vektor rauskriegst.
Da der Kern 1dimensional ist, muss das Bild 2 dimensional sein.
Nun kannst du ja nicht die Bilder aller Vektoren ausrechnen. Aber, wenn die Die Bilder der Basisvektoren kennst, kennst du ja auch die Bilder aller anderen Vektoren, die man daraus linar kombinieren kann. Die Bilder der Basisvektoren :[mm]\vektor{ 1 \\ 0 \\ 0}[/mm]; [mm]\vektor{ 0 \\ 1 \\ 0}[/mm] ,[mm]\vektor{ 0 \\ 0 \\ 1}[/mm] sind aber einfach die Spalten deiner Matrix.
Wenn du daraus jetzt 2 linear unabhängige wählst, oder kombinierst, dann hast du ne Basis für das Bild, und damit das Bild. (Angabe der Basis bestimmt einen Vektorraum.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:35 Fr 28.04.2006 | | Autor: | cheepy |
Hallo leduart
Ich habe die Aufgabestellung so reingeschrieben wie es auf den Blatt steht. Aber manchmal versteht es keiner wie unser Prof das meint  .
Aber so wie ich das oben stehen hab, muss auch so aussehen, so wurde das mit den prof in der Übung gemachht.
Kern: muss ich erstmal mit Gauss ausrechnen und dann die r-Werte ist der Kern. Hoffe ich habe das richtig verstanden.
Vielen Dank noch mal!!!
Lieben Gruss
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Guten Morgen Cheepy und Bastiane,
und ein fröhliches ''hallo'' an alle Freunde
linearer Abbildungen,
Bild(f) ist doch nichts anderes als die Menge der Matrizen der Form
[mm] \pmat{ x1 & x2 & x3\\ x1 & -x2 & x3\\x1 & x3 & x3 }
[/mm]
mit [mm] x_1,x_2,x_3 [/mm] aus dem zugrundeliegenden Körper.
Steht also schon da.
Frage: War die Ergänzung des letzten fehlenden Matrixeintrages so wie von Bastiane vorgenommen
richtig ?
Gruss,
Mathias
> Sei f: [mm]\vektor{x 1\\ x2\\x3} \to \pmat{ x1 & x2 & x3\\ x1 & -x2 & x3\\x1 & x3 }lineare[/mm]
> Abbildung. Geben Sie Kern(f) und Bild(f) an.
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> Hallo,
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> ich hoffe das ihr mir helfen können. Meine Frage ist wie
> ich so eine Aufgabe berechne. Ich habe schon in vielen
> Forums so ähnliche Aufgaben gesehn, nur leider habe ich es
> nicht verstanden wie ich solche Aufgaben berechnen kann.
> Wäre super nett wenn jemand mir das schritt für schritt
> erklären kann.
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> Lieben Gruß, Cheepy
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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