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Hallo, ich hab nur eine Frage aus Interesse. Ich berechne seit Jahren Kern und Bild einer linearen Abbildung auf folgende Weise:
Gegeben: Darstellungsmatrix [mm] $A=\pmat{0 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 3 \\ -2 & -3 & 0}$ [/mm] der linearen Abbildung [mm] $\varphi [/mm] : V [mm] \to [/mm] W$, wobei $V,W$ Vektorräume über....meinetwegen erstmal nur [mm] $\IR$ [/mm] sind.
Dann betrachte ich die Transponierte von A und die Einheitsmatrix nebeneinander, also [mm] $\left( A^T | I_3 \right)$, [/mm] bringe [mm] $A^T$ [/mm] auf Zeilenstufenform und mache alle Schritte mit [mm] $I_3$ [/mm] mit:
[mm] $\pmat{0 & -1 & -2 & | & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & -3 & | & 0 & 1 & 0 \\
2 & 3 & 0 & | & 0 & 0 & 1}$
[/mm]
dann in Zeilenstufenform bringen
[mm] $\pmat{1 & 0 & -3 & | & 0 & 1 & 0 \\
0 & -1 & -2 & | & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & | &3 & -2 & 1}$
[/mm]
Dann stehen in den Zeilen von [mm] $A^T$ [/mm] die nicht zu Nullzeilen geworden sind, zeilenweise eine Basis des Bildes von [mm] $\varphi$, [/mm] also
Basis Bild [mm] $\left\{\vektor{1 \\ 0 \\ -3}, \vektor{0 \\-1 \\ -2} \right\}
[/mm]
und neben den Nullzeilen von [mm] $A^T$ [/mm] in der früheren Einheitsmatrix, steht dann eine Basis von [mm] $Kern(\varphi)$, [/mm] also
Basis Kern [mm] $\left\{\vektor{3 \\ -2 \\ 1}\right\}
[/mm]
Nun wurde ich gefragt, warum dieses Verfahren funktioniert und für die Basis des Bildes ist es ja schon klar, aber ich konnte nicht hinreichend bergünden, warum neben den Nullzeilen von (ehemals) [mm] $A^T$ [/mm] eine Basis des Kerns steht...Vielleicht wisst ihr ja weiter:)
Vielen Dank schon mal im Voraus.
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Hi,
leider sehe ich keine "simple" Erklärung.
Nachrechnen kann man es halt - man vergleicht einfach das Ergebnis des direkten Nachrechnens des Kerns (also [mm] A\vec{x} = \vec{0}[/mm]) mit der hier stehenden Zeile und stellt fest, dass das tatsächlich immer gleich ist. Leider ist das nicht so besonders elegant, deswegen schreibe ich dies hier nur als Mitteilung - vielleicht hat jemand noch eine richtig gute Idee.
Gruß,
Martin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 So 04.07.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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