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Forum "Algebraische Geometrie" - Bild und Urbild von Polynomabb
Bild und Urbild von Polynomabb < Algebraische Geometrie < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Bild und Urbild von Polynomabb: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:31 Do 10.11.2016
Autor: mensch

Aufgabe
Es sei f : V [mm] \to [/mm] W eine Polynomabbildung zwischen den affinen Varietäten V und W.
(a) Zeigen Sie, dass das Urbild f^(-1)(U) einer Untervarietät U [mm] \subset [/mm] W eine Untervarietät
von V ist. (Dies zeigt, dass alle Polynomabbildungen stetig bezüglich der Zariski-Topologie sind.)
(b) Zeigen Sie, dass das Bild f(V) im Allgemeinen keine Untervarietät von W ist.
Tipp: Bilden Sie die Hyperbel (V(XY-1)) aus Aufgabe 12 auf geeignete Weise ab.

Hallo:)

ich habe diese Aufgabe zu bearbeiten und komme auf keinen Ansatz.
Könnte mir vielleicht irgendjemand helfen und einen kleinen Tipp geben, wie ich vorgehen muss?

Hoffentlich ist noch jemand von euch wach:)
Dankeschön schonmal!
Liebe Grüße

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Bild und Urbild von Polynomabb: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:43 Do 10.11.2016
Autor: hippias

[willkommenvh]

Zuerst sollten die Begriffe geklärt werden. Daher teile mit, wie Varietäten, Untervarietäte und Polynomabbildungen definiert sind.

Bezug
                
Bezug
Bild und Urbild von Polynomabb: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:06 Do 10.11.2016
Autor: mensch

Varietät ist wie folgt definiert:
Eine Teilmenge X [mm] \subset [/mm] A heißt affine Varietät, falls eine Teilmenge T [mm] \subset A^n [/mm] existiert mit X = V(T) = [mm] \left\{\ p\in\A^n | f(p) = 0 fuer alle f \in\ T \right\}\ [/mm]
Untervarietät:
EIn Untervarietät U ist eine affine Varietät mit [mm] U\subset [/mm] V mit V ebenfalls affiner Varietät.
Polynomabbildung:
Seien [mm] V\subset A^n, W\subset A^m [/mm] affine Varietäten. f: V [mm] \to [/mm] W heißt Polynomabbildung,  falls es Polynome [mm] F_1,...F_m \in\ K[x_1,...,x_n] [/mm] gibt mit
f(p) = [mm] (F_1(p),...,F_m(p)) [/mm] für alle [mm] p\in\ [/mm] V> [willkommenvh]

>  
> Zuerst sollten die Begriffe geklärt werden. Daher teile
> mit, wie Varietäten, Untervarietäte und
> Polynomabbildungen definiert sind.


Bezug
                        
Bezug
Bild und Urbild von Polynomabb: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:09 Do 10.11.2016
Autor: hippias

Da Du Dich mit algebraischer Geometrie beschäftigst, kannst Du ja kein blutiger Anfänger mehr sein.

Seien also $W= V(T)$ und [mm] $p_{i}$ [/mm] ein Polynom mit [mm] $f(x)_{i}= p_{i}(x)$ [/mm] für alle $x$. Überlege Dir, dass [mm] $y\in f^{-1}(W)$ [/mm] für alle [mm] $t\in [/mm] T$ die Gleichung [mm] $t(p_{1}(y),\ldots,p_{n}(y))=0$ [/mm] erfüllt.



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