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| Aufgabe | We beschouwen de functie:
f(x)=(1+z)/(2-z)
Schets het beeld van deze functie voor de punten |z|=1. Met andere woorden, wat is de set van punten f(z) die we krijgen als we over de eenheidscircel laten lopen? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
So. Ich bins nochmal zur späteren Stunde :)
Erstmal nochmal vielen lieben Dank an die tolle Hilfe hier, ich bin begeistert :)
Ich soll diese Funktion skizzieren, für Punkte bei denen |z|=1 ist, als auch r=1. und ich soll die Punkte finden die ich bekomme wenn ich die Funktion 'über den Einheitskreis laufen lasse'.
ich hab nachgedacht und bin dabei gelandet, [mm] dass|z|=\wurzel{a^2+b^2}=1 [/mm] sein muss und kam dann zum Beispiel auf [mm] B=\wurzel{1-a^2} [/mm] wenn [mm] a^2-1<0 [/mm] ist.
ich habe mir dann Werte für a ausgesucht und b aus gerechnet.
Ist die Idee korrekt?
Für wieviele Zahlen soll ich das denn machen?
Ich glaube ich habe wieder den Trick der Aufgabe nicht erkannt :( :(
Danke für eure Hilfe :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:24 Fr 11.09.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
kennst du die Darstellung von [mm] z=r*e^{i\phi}
[/mm]
damit ist die Menge |z|=1 am einfachsten darzustellen durch
[mm] z=e^{i\phi} [/mm] oder wenn du lieber willst [mm] z=cos\phi+i*sin\phi
[/mm]
Das solltest du in deine Gleichung einsetzen.
danach am besten mit dem konj. komplexen des Nenners erweitern.
Hinweis: Das Ergebnis ist wieder ein Kreis, (Mittelpunkt auf neg. x-Achse)
Gruss leduart
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okay :)
danke schon mal :)
ich habs mal versucht also:
[mm] \bruch{(1 + \cos x + i \sin x )}{2- \cos x + i \sin x)}
[/mm]
wenn ich das mit dem kom konjug des nenners erweitert komme ich auf:
[mm] \bruch{- 0,25 * ( \cos x + 1)}{ \cos x - 1,25} [/mm] - [mm] \bruch{0.75 * \sin x }{ \cos x - 1,25} [/mm] + i
aber das hat irgendwie noch nichts mit einem kreis zu tun. wie mach ich weiter?
danke :)
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Doch, das hat was mit einem Kreis zu tun (du solltest allerdings das fehlerhafte [mm]+ \operatorname{i}[/mm] noch durch [mm]\cdot \operatorname{i}[/mm] ersetzen). Das ist aber nicht leicht zu sehen. Wenn du einmal den von mir vorgeschlagenen Lösungsweg zu Ende gegangen bist, solltest du
[mm](w-1)(\bar{w}-1) = 1[/mm]
erhalten. Und wenn du hier für [mm]w[/mm] deinen Ausdruck oben einsetzt, sollte sich stets eine wahre Gleichung ergeben. Das gibt aber eine ziemliche Rechnerei.
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Hier ein Weg ohne Trigonometrie.
Bei [mm]f[/mm] handelt es sich um eine Möbiustransformation. Eine solche bildet Kreise auf Kreise ab, wobei in diesem Zusammenhang auch Geraden als Kreise angesehen werden, nämlich als solche durch Unendlich. Wenn du von diesen Tatsachen Gebrauch machen darfst, brauchst du nur drei Punkte des Einheitskreises durch [mm]f[/mm] abbilden, z.B. [mm]z = 1,\operatorname{i},-1[/mm]. Die Bilder müssen dann wieder auf einem Kreis liegen. Und den kann man durch geometrische Überlegungen bestimmen.
Wenn du von diesen Zusammenhängen dagegen noch nicht weißt, bleibt dir wohl nichts anderes übrig als zu rechnen. Löse die Gleichung
[mm]w = \frac{1+z}{2-z}[/mm]
nach [mm]z[/mm] auf (bestimme also mit anderen Worten die Umkehrfunktion von [mm]f[/mm]). Das gibt dir die Gleichung (1). Gehe in (1) zum konjugiert Komplexen [mm]\bar{z}[/mm] über (Gleichung (2)). Verwende dabei, daß die komplexe Konjugation mit den Grundrechenarten verträglich ist und auf den reellen Zahlen wie die Identität wirkt. Multipliziere (1) und (2) miteinander und verwende [mm]z \bar{z} = 1[/mm]. Jetzt hast du eine Gleichung (3) in [mm]w[/mm] und [mm]\bar{w}[/mm], die du auf die Form [mm](w-m)(\bar{w} - \bar{m}) = r^2[/mm] bringen mußt. Dann sind [mm]m[/mm] der Mittelpunkt und [mm]r[/mm] der Radius des Bildkreises.
Du kannst natürlich auch kanonisch [mm]w = u + \operatorname{i}v[/mm] schreiben und die Gleichung (3) in die rein reelle Form [mm](u-a)^2 + (v-b)^2 = r^2[/mm] überführen.
(Bei der Lage des Kreises scheint mir leduart nicht ganz richtig zu liegen.)
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also... das hab ich nicht ganz verstanden :(
ich habe nach z aufgelöst und bin auf z=(2w-1)/(w+1) gekommen
aber was ist denn davon das konjugiert komplexe? w-1?
und wie komme ich auf m?
vielen dank für deine hilfe :) :)
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Du weißt doch, was die komplexe Konjugation ist?
Für kanonisch [mm]z = x + \operatorname{i}y[/mm] ist [mm]\bar{z} = x - \operatorname{i}y
[/mm]. Und die komplexe Konjugation ist mit den Grundrechenarten verträglich:
[mm]\overline{a \pm b} = \overline{a} \pm \overline{b} \, , \ \ \ \overline{ab} = \overline{a} \cdot \overline{b} \, , \ \ \ \overline{\left( \frac{a}{b} \right)} = \frac{\overline{a}}{\overline{b}} \ \ (b \neq 0)[/mm] für komplexe Zahlen [mm]a,b[/mm].
Und für reelle Zahlen ist die komplexe Konjugation die Identität: [mm]\overline{x} = x[/mm] für [mm]x \in \mathbb{R}[/mm].
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fein, dann ist das komplex konjugierte:
z=(2w+1)/(w-1) ?
das sieht so komplett daneben aus :(
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[mm]\bar{z} = \frac{2 \bar{w} + 1}{\bar{w} - 1}[/mm]
Du mußt ja nur alles überstreichen, und bei den reellen Zahlen ändert sich dabei nichts, z.B. [mm]\bar{2} = 2[/mm].
Jetzt diesen Term mit dem [mm]z[/mm]-Term multiplizieren, damit [mm]z \bar{z} = |z|^2 = 1[/mm] entsteht, denn die [mm]z[/mm]-Punkte sollen ja auf dem Einheitskreis liegen. Die Gleichung in w und [mm] \bar{w} [/mm] dann bruchfrei machen, alles auf eine Seite bringen und mit einem bißchen scharfen Hinschauen auf die in meinem vorigen Beitrag angegebene Form bringen.
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hallo :)
vielen dank :)
also ich hab jetzt:
[mm] \bruch{(( 2 * w - 1 ) * ( 2 * \overline{w} - 1 ))}{(( w + 1 ) ( \overline{w} + 1 ))} [/mm] = 1
okay, aber wie zum Teufel forme ich das jetzt um? und wie weiß ich was r ist?
danke :)
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Wie ich es schon gesagt habe: Jetzt den Nenner hochmultiplizieren, alles ausmultiplizieren, auf eine Seite bringen und zusammenfassen. Du wirst einen Term erhalten, der ein Produktglied [mm]w \bar{w}[/mm], die linearen Glieder [mm]w[/mm] und [mm]\bar{w}[/mm] sowie Konstanten enthält. Den mußt du, wie gesagt, auf die Produktform
[mm]\left( w - m \right) \left( \overline{w} - \overline{m} \right) = r^2[/mm]
bringen. Ein Beispiel mit anderen Zahlen:
[mm]4w \bar{w} + 2w + 2 \bar{w} - 19 = 0[/mm]
[mm]w \bar{w} + \frac{1}{2} \, w + \frac{1}{2} \, \bar{w} - \frac{19}{4} = 0[/mm]
[mm]\left( w + \frac{1}{2} \right) \left( \bar{w} + \frac{1}{2} \right) = 5[/mm]
[mm]\left( w + \frac{1}{2} \right) \overline{ \left( w + \frac{1}{2} \right) } = 5[/mm]
Beachte zuletzt die Verträglichkeit der Konjugation mit den Grundrechenarten sowie [mm]\overline{\left( \frac{1}{2} \right)} = \frac{1}{2}[/mm].
[mm]\left| w + \frac{1}{2} \right|^2 = 5[/mm]
[mm]\left| w - \left( - \frac{1}{2} \right) \right|^2 = 5[/mm]
Das ist der Kreis um den Punkt [mm]m = - \frac{1}{2}[/mm] vom Radius [mm]r = \sqrt{5}[/mm].
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1. Im Anhang kannst du die Möbiustransformation [mm]f[/mm] anschaulich verfolgen. Ziehe am Original [mm]z[/mm], und du kannst sein Bild [mm]w[/mm] beobachten.
2. Wenn du mit der rechten Maustaste auf [mm]z[/mm] klickst, kannst du [mm]z[/mm] an den grünen Kreis binden (Option auswählen und Kreis anklicken). Dann kannst du [mm]z[/mm] über den grünen Kreis ziehen und [mm]w[/mm] beobachten. Du kannst [mm]z[/mm] auch wieder vom grünen Kreis lösen (rechte Maustaste).
Um die Datei öffnen zu können, mußt du zuvor ![[]](/images/popup.gif) Euklid installieren.
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Veranschaulichung mit Euklid-Zeichnung
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: geo) [nicht öffentlich]
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anscheinend bin ich einfach zu dämlich....
ich bin jetzt bei [mm] \bruch{(( 2*w - 1 ) * ( 2* \bar w - 1 ) * ( w + 1 ) * ( \bar w + 1 ))}{(( w + 1 ) * ( \bar w + 1 ))} [/mm] = 1
jetzt habe ich das ausmultipliziert und bin bei
2*w * ( 2* [mm] \bar [/mm] w +1 ) - 2*w + 1 = 1
ist das soweit korrekt?
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Was machst du denn da! Ach, herrjemineh!
Wenn man die Gleichung mit dem Nenner durchmultipliziert, bekommt man doch
[mm](2w-1)(2 \bar{w} - 1) = (w+1)(\bar{w} + 1)[/mm]
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das waren genau die richtigen wort um das brett vor meinem kopf zu beschreiben....
bei der gleichung war ich auch schon :) und dann hatte ich das ganze irgendwie nochmal mit dem nenner multipliziert....
okay, wenn ich zu dieser gleichung zurück gehe, was mach ich dann genau..?
tut mir leid, dass ich so ein schwieriger fall bin.. :(
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Hallo,
> das waren genau die richtigen wort um das brett vor meinem
> kopf zu beschreiben....
>
> bei der gleichung war ich auch schon :) und dann hatte ich
> das ganze irgendwie nochmal mit dem nenner
> multipliziert....
>
> okay, wenn ich zu dieser gleichung zurück gehe, was mach
> ich dann genau..?
> tut mir leid, dass ich so ein schwieriger fall bin.. :(
Multipliziere die Klammern aus, bringe alles auf die linke Seite der Gleichung und fasse analog zu dem Zahlenbeispiel von LeopoldGast zu der gewünschten Produktform zusammen ...
Rechne doch einfach mal los, es kann ja nix kaputt gehen, schlimmstenfalls ist was falsch, aber das finden wir dann 
Gruß
schachuzipus
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fein, fein, das mach ich :) :) :)
also:
[mm] (2*w-1)(\overline{w}-1)=(w+1)(\overline{w}+1)
[/mm]
[mm] =4*w*\overline{w}-2*w-2*\overline{w}+1=w*\overline{w}+w+\overline{w}+1
[/mm]
[mm] 3*w*\overline{w}-3*w-3*\overline{w}=0
[/mm]
[mm] w*\overline{w}-w-\overline{w}=0
[/mm]
[mm] (w+1)*(\overline{w}+1)=0
[/mm]
[mm] |w+1|^2=0
[/mm]
[mm] |w-(-1)|^2=0
[/mm]
bin ich soweit richtig?
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mein korrekturterm wäre dann 1 oder? der fehlt doch auf der linken seite.
den würde ich dann auf die rechte seite bringen mit -1 und daraus die wurzel, dann wäre mein Radius i.
Sind die Gedanken korrekt?
Vielen lieben Dank :)
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Hallo nochmal,
> mein korrekturterm wäre dann 1 oder? der fehlt doch auf
> der linken seite.
> den würde ich dann auf die rechte seite bringen mit -1
> und daraus die wurzel, dann wäre mein Radius i.
Was soll das denn sein? Radius i?
Ein Radius ist immer eine reelle Zahl >0 (und komplexe Zahlen und Ordnungen passen nicht zusammen!)
>
> Sind die Gedanken korrekt?
Es ist genau andersherum, mit [mm] $(w-1)(\overline{w}-1)$ [/mm] hast du doch linkerhand genau eine +1 zuviel im Vergleich zu der Gleichung darüber.
Das gleichst du durch [mm] $\red{-}1$ [/mm] aus, gibt also dann schließlich eine +1 rechterhand ...
>
> Vielen lieben Dank :)
Gruß
schachuzipus
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achso, vielen Dank, also habe ich einen kreis mit M=-1 und R=1
danke für eure hilfe :)
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komplett alles nein?
oder nur M falsch, und M positiv?
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Hallo nochmal,
> komplett alles nein?
Nein
> oder nur M falsch, und M positiv?
Ja, M ist falsch, du hast doch [mm] $\left|w-1\right|^2=1$
[/mm]
Das ist der Kreis um $+1$ mit Radius 1
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:40 Sa 12.09.2009 | | Autor: | Alaizabel |
vielen dank, ja jetzt hab ichs.
schwere geburt...
danke euch allen :)
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In logischer Hinsicht natürlich: ganz falsch!
Denn ist auch nur eine der Aussagen [mm]A,B[/mm] falsch, so ist auch [mm]A \wedge B[/mm] falsch.
In didaktischer Hinsicht hat schachuzipus natürlich recht.
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Du kannst die Sache auch mehr geometrisch angehen:
[mm]w = f(z) = \frac{1+z}{2-z} = \frac{3}{2-z} - 1[/mm]
und [mm]f[/mm] in fünf Abbildungen zerlegen: [mm]f = \varphi_5 \circ \varphi_4 \circ \varphi_3 \circ \varphi_2 \circ \varphi_1[/mm] mit
[mm]\varphi_1: \ z \mapsto -z[/mm] (Punktspiegelung am Ursprung)
[mm]\varphi_2: \ z \mapsto z+2[/mm] (Translation)
[mm]\varphi_3: \ z \mapsto \frac{1}{z}[/mm] (Stürzung, also Spiegelung an der reellen Achse und dann am Einheitskreis)
[mm]\varphi_4: \ z \mapsto 3z[/mm] (Streckung)
[mm]\varphi_5: \ z \mapsto z-1[/mm] (Translation)
Alle Abbildungen außer [mm]\varphi_3[/mm] sind geometrisch unmittelbar zu verfolgen. Zur Kreisspiegelung siehe zum Beispiel hier.
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
