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Bildmaß: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:47 Fr 11.05.2018
Autor: Hela123

Aufgabe
Wir ziehen [mm]n\in\IN[/mm] mal mit zurücklegen aus einer Urne mit [mm]m\in\IN[/mm] unterscheidbaren Kugeln und beachten die Reihenfolge.

a) Gebe einen Wahrscheinlichkeitsraum [mm](\Omega,\mathcal{A},P)[/mm] an, der diesen Experiment beschreibt.

b) Gebe eine Zufallsvariable [mm]X:\Omega \rightarrow[0:n][/mm] an, die den Ausgang des Experiments auf die Anzahl der Fälle abbildet in denen die gezogene Kugel gerade erst zurückgelegt wurde.

c) Gebe das Bildmaß [mm]P_x[/mm] an indem du für [mm]k\in [1:n-1][/mm] die Wahrscheinlichkeit [mm]P(X=k):=P_x(\{k\}):=P(X^{-1}(\{k\}))[/mm] ausrechnest.
Gebe für n=3, m=2 und k=1 das Ereignis [mm]X^{-1}(\{k\})[/mm] und [mm]P(X=k)[/mm] explizit an.

Hallo Forum,

hier sind erstmal meine Überledungen zur Aufgabe:

a)
[mm]\Omega = [1:m]^n[/mm]
[mm]\mathcal{A} = 2^\Omega[/mm] (Muss man das noch konkreter Ausschreiben, oder reicht es?)
[mm]P = \mathcal{U}_\Omega[/mm] (Also Gleichverteilung)

Ist es korrekt?

b)
Die Aufgabestellung finde ich wirklich ein bisschen komisch. Worauf wird [mm]\Omega[/mm] abgebildet?
Ist es die Anzahl der Fälle, wo dieselbe Kugel mehrfach hintereinander gezogen wird?

Dann wäre z.B.:
1) [mm]X(1,3,3,5,6,6)=2[/mm]
2) [mm]X(1,2,3)=0[/mm]
3) [mm]X(1,1,1)=2[/mm]

Verstehe ich es richtig?

Dann würde aber (meiner Meinung nach) auf n nie etwas abgebildet sein können (laut Definition:  [mm]X:\Omega \rightarrow[0:n][/mm]), oder? (siehe Beispiel 3))

Ich stelle mir das grundsätzlich in dieser Form vor:
Für [mm]\omega \in \Omega[/mm]
[mm]X(\omega)=\left\{\begin{matrix} \ldots, & \mbox{wenn }\ldots\mbox{}\\ \ldots, & \mbox{wenn }\ldots\mbox{} \end{matrix}\right.[/mm]

So kann man z.B. für den Fall 0 die zufallsvariable so beschreiben:

[mm]X(\omega)=0, \mbox{wenn } \forall i: \omega_i \ne \omega_{i+1} [/mm]

Ist es richtig?

Aber das kann man doch nicht für jeden n ausschreiben. Also: Wie kann ich das allgemeiner aufschreiben?

c)
Wenn ich richtig verstehe, müssen wir hier die Wahrscheinlichkeit angeben, das es k solche Fälle gibt, wo dieselbe Kugel mehrfach hintereinander gezogen wird, richtig?

Und zudem dann ganz konkret die Wahrscheinlichkeit, dass es bei 3 Ziehungen aus der Urne mit 2 unterscheidbaren Kugeln 2 Mal dieselbe Kugel hintereinander rausgezogen wird (also k=1). Verstehe ich die Aufgabenstellung richtig?

Ich würde gerne mit dem konkreten Teil anfangen, weil das für mich etwas fassbarer ist.
Also:
[mm]\Omega = [1:m]^n = \{(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)\}[/mm], also insgesamt 8 Mögliche Ergebnisse.

k=1 wird in 4 von diesen Fällen sein:
bei X=(0,0,1) oder X=(0,0,1) oder X=(0,1,1) oder X=(1,1,0).

Alle diese Ergebnisse sind gleich-wahrscheinlich (weil wir Gleichverteilung haben).
Dann müsste die Wahrscheinlichkeit genau 0,5 oder 50% betragen.
Macht es Sinn?

Wie kann ich es jetzt auch hier verallgemeinern?

Schönen Dank im Voraus!
Hela123




        
Bezug
Bildmaß: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:07 Sa 12.05.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> a)
> [mm]\Omega = [1:m]^n[/mm]

hach, da ist die Informatiker-Schreibweise mal angenehmer als die der Mathematiker ^^

>  [mm]\mathcal{A} = 2^\Omega[/mm] (Muss man das noch
> konkreter Ausschreiben, oder reicht es?)

Reicht so.
Man sollte immer die "größtmögliche" [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] nehmen… im diskreten Fall ist das die Potenzmenge. Und die hast du mit [mm] $2^\Omega$ [/mm] umfassend genug bezeichnet.

>  [mm]P = \mathcal{U}_\Omega[/mm] (Also Gleichverteilung)
>  
> Ist es korrekt?

[ok]
  

> b)
>  Die Aufgabestellung finde ich wirklich ein bisschen komisch.

Ist sie auch…

>  Ist es die Anzahl der Fälle, wo dieselbe Kugel mehrfach
> hintereinander gezogen wird?

Würde ich auch so verstehen.

>  
> Dann wäre z.B.:
>  1) [mm]X(1,3,3,5,6,6)=2[/mm]
>  2) [mm]X(1,2,3)=0[/mm]
>  3) [mm]X(1,1,1)=2[/mm]
> Verstehe ich es richtig?

Zumindest würde ich es auch so verstehen… nur hier wieder ein Notationshinweis: Deine $X$ oben unterscheiden sich eigentlich alle!
Die gegebene Tupellänge [mm] $n\in\IN$ [/mm] ist ja zwar beliebig, aber fest!
D.h. die Tupel müssten alle die selbe Länge haben.
Du legst bei dem Experiment also erst deine [mm] $n,m\in\IN$ [/mm] fest und modellierst dann deine ZV X.

> So kann man z.B. für den Fall 0 die zufallsvariable so
> beschreiben:
>
> [mm]X(\omega)=0, \mbox{wenn } \forall i: \omega_i \ne \omega_{i+1}[/mm]

Sauberer: [mm] $\forall [/mm] i [mm] \in [/mm] [0:n-1]$
Sonst passt es.

> Aber das kann man doch nicht für jeden n ausschreiben.
> Also: Wie kann ich das allgemeiner aufschreiben?

Überlege dir: Wie wahrscheinlich ist eine Reihe der Länge n, wie wahrscheinlich eine der Länge n-1, etc.

> Dann würde aber (meiner Meinung nach) auf n nie etwas abgebildet sein können (laut Definition:  $ [mm] X:\Omega \rightarrow[0:n] [/mm] $), oder? (siehe Beispiel 3))

Korrekt, darum steht in der Aufgabe c) ja auch:

> Gebe das Bildmaß $ [mm] P_x [/mm] $ an indem du für $ [mm] k\in [/mm] [1:n-1] $ die Wahrscheinlichkeit […]

Dass der Bildraum von X mit $[0:n]$ angegeben wurde, ist… egal.
Man hätte auch schreiben können: $ [mm] X:\Omega \to \IR [/mm] $, X ist dann halt einfach nicht surjektiv, aber das macht nix…

> c)
>  Wenn ich richtig verstehe, müssen wir hier die
> Wahrscheinlichkeit angeben, das es k solche Fälle gibt, wo
> dieselbe Kugel mehrfach hintereinander gezogen wird,
> richtig?

[ok]

> Ich würde gerne mit dem konkreten Teil anfangen, weil das
> für mich etwas fassbarer ist.
>  Also:
>  [mm]\Omega = [1:m]^n = \{(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)\}[/mm],

Notation!!
Du schreibst [mm] $[1:m]^n [/mm] = [mm] [1:2]^3$, [/mm] nutzt nachher aber Tupel [mm] $[0:1]^3$! [/mm]
Klar ist das alles bijektiv und dasselbe etc… aber unsauber!
Und unsauber Arbeiten führt zu Fehlern…
Da die Aufgabe so gestellt wurde, verwende bitte [mm] $[1:2]^3$. [/mm]

> also insgesamt 8 Mögliche Ergebnisse.

Ja, [mm] 2^3 [/mm] halt (ganz ohne aufschreiben ^^)

> k=1 wird in 4 von diesen Fällen sein:
>  bei X=(0,0,1) oder X=(0,0,1) oder X=(0,1,1) oder
> X=(1,1,0).

Ja 4 Fälle… aber bitte nicht Tupel mehrfach aufschreiben, weder hier noch in der Menge… du hast (0,0,1) (also eigentlich (1,1,2)) doppelt und dafür (1,0,0) (also eigentlich (2,1,1)) vergessen.
  

> Alle diese Ergebnisse sind gleich-wahrscheinlich (weil wir
> Gleichverteilung haben).
>  Dann müsste die Wahrscheinlichkeit genau 0,5 oder 50%
> betragen.
>  Macht es Sinn?

Jop.
Damit wäre $P(X=1) = [mm] P_X(\{1\}) [/mm] = 0,5$  

> Wie kann ich es jetzt auch hier verallgemeinern?

Hatte ich ja schon was zu geschrieben… habt ihr noch die Einschränkung $n [mm] \ge [/mm] m$
Die beiden Fälle unterscheiden sich nämlich… also [mm] $n\le [/mm] m$ und [mm] $m\ge [/mm] n$

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Bildmaß: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:54 Sa 12.05.2018
Autor: Hela123

Hallo Gono,

vielen vielen Dank für Deine Antwort!

> > Dann wäre z.B.:
>  >  1) [mm]X(1,3,3,5,6,6)=2[/mm]
>  >  2) [mm]X(1,2,3)=0[/mm]
>  >  3) [mm]X(1,1,1)=2[/mm]
> > Verstehe ich es richtig?
> Zumindest würde ich es auch so verstehen… nur hier
> wieder ein Notationshinweis: Deine [mm]X[/mm] oben unterscheiden
> sich eigentlich alle!
>  Die gegebene Tupellänge [mm]n\in\IN[/mm] ist ja zwar beliebig,
> aber fest!
>  D.h. die Tupel müssten alle die selbe Länge haben.
>  Du legst bei dem Experiment also erst deine [mm]n,m\in\IN[/mm] fest
> und modellierst dann deine ZV X.

Alles klar.

> > So kann man z.B. für den Fall 0 die zufallsvariable so
> > beschreiben:
> >
> > [mm]X(\omega)=0, \mbox{wenn } \forall i: \omega_i \ne \omega_{i+1}[/mm]
>  
> Sauberer: [mm]\forall i \in [0:n-1][/mm]
>  Sonst passt es.

Ok:-)

> > Aber das kann man doch nicht für jeden n ausschreiben.
> > Also: Wie kann ich das allgemeiner aufschreiben?
> Überlege dir: Wie wahrscheinlich ist eine Reihe der Länge
> n, wie wahrscheinlich eine der Länge n-1, etc.

Also, ich denke mal:
[mm]X(\omega)=n, \mbox{nie} [/mm]
[mm]X(\omega)=n-1, \mbox{wenn } \forall i \in [0:n-1]: \omega_i = \omega_{i+1}[/mm]
[mm]X(\omega)=n-2, \mbox{wenn } ((\forall i \in [1:n-1]: \omega_i = \omega_{i+1}) \wedge (\omega_0 \ne \omega_1)) \vee ((\forall i \in [0:n-2]: \omega_i = \omega_{i+1}) \wedge (\omega_n \ne \omega_{n-1}))[/mm]
...
...
...
[mm]X(\omega)=3, \mbox{wenn } (\exists ! i,j,k \in [0:n-1], i \ne j \ne k: \omega_i = \omega_{i+1} \wedge \omega_j = \omega_{j+1} \wedge \omega_k = \omega_{k+1}) \vee (\exists ! i \in [0:n-3], i : \omega_i = \omega_{i+1} = \omega_{i+2}= \omega_{i+3}) \vee ((\exists ! i \in [0:n-2],\exists ! j \in [0:n-1] i \ne j: \omega_i = \omega_{i+1}= \omega_{i+2} \wedge \omega_j = \omega_{j+1})[/mm]
[mm]X(\omega)=2, \mbox{wenn } (\exists ! i,j \in [0:n-1], i \ne j: \omega_i = \omega_{i+1} \wedge \omega_j = \omega_{j+1}) \vee (\exists ! i \in [0:n-2], i : \omega_i = \omega_{i+1} = \omega_{i+2} )[/mm]
[mm]X(\omega)=1, \mbox{wenn } \exists ! i \in [0:n-1]: \omega_i = \omega_{i+1}[/mm]
[mm]X(\omega)=0, \mbox{wenn } \forall i \in [0:n-1]: \omega_i \ne \omega_{i+1}[/mm]

Ich glaube ich mache hier etwas falsch, weil es scheint mir zu aufwendig zu sein, die ganze Fallunterscheidung zu machen.
Hast Du vielleicht noch einen Tipp für mich?

> > Dann würde aber (meiner Meinung nach) auf n nie etwas
> abgebildet sein können (laut Definition:  [mm]X:\Omega \rightarrow[0:n] [/mm]),
> oder? (siehe Beispiel 3))
>
> Korrekt, darum steht in der Aufgabe c) ja auch:
>  > Gebe das Bildmaß [mm]P_x[/mm] an indem du für [mm]k\in [1:n-1][/mm] die

> Wahrscheinlichkeit […]
>  Dass der Bildraum von X mit [mm][0:n][/mm] angegeben wurde, ist…
> egal.
> Man hätte auch schreiben können: [mm]X:\Omega \to \IR [/mm], X ist
> dann halt einfach nicht surjektiv, aber das macht nix…

Ok, verstehe. D.h. hier [mm]X^{-1}(n) = \emptyset[/mm]?

>  >  Also:
>  >  [mm]\Omega = [1:m]^n = \{(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)\}[/mm],
> Notation!!
>  Du schreibst [mm][1:m]^n = [1:2]^3[/mm], nutzt nachher aber Tupel
> [mm][0:1]^3[/mm]!
>  Klar ist das alles bijektiv und dasselbe etc… aber
> unsauber!
>  Und unsauber Arbeiten führt zu Fehlern…
> Da die Aufgabe so gestellt wurde, verwende bitte [mm][1:2]^3[/mm].

Einverstanden.

> > Wie kann ich es jetzt auch hier verallgemeinern?
>  
> Hatte ich ja schon was zu geschrieben…

Ich glaube, ich muss erstmal die Zufallsvariablen korrekt aufschreiben...%)

> habt ihr noch die
> Einschränkung [mm]n \ge m[/mm]
> Die beiden Fälle unterscheiden
> sich nämlich… also [mm]n\le m[/mm] und [mm]m\ge n[/mm]

In der Aufgabenstellung ist nichts dazu vermerkt.

Nochmal vielen Dank!
Hela123

Bezug
                        
Bezug
Bildmaß: Antwort (fehlerhaft)
Status: (Antwort) fehlerhaft Status 
Datum: 14:38 Mo 14.05.2018
Autor: donquijote


> Hallo Gono,
>  
> vielen vielen Dank für Deine Antwort!
>  
> > > Dann wäre z.B.:
>  >  >  1) [mm]X(1,3,3,5,6,6)=2[/mm]
>  >  >  2) [mm]X(1,2,3)=0[/mm]
>  >  >  3) [mm]X(1,1,1)=2[/mm]
> > > Verstehe ich es richtig?
>  > Zumindest würde ich es auch so verstehen… nur hier

> > wieder ein Notationshinweis: Deine [mm]X[/mm] oben unterscheiden
> > sich eigentlich alle!
>  >  Die gegebene Tupellänge [mm]n\in\IN[/mm] ist ja zwar beliebig,
> > aber fest!
>  >  D.h. die Tupel müssten alle die selbe Länge haben.
>  >  Du legst bei dem Experiment also erst deine [mm]n,m\in\IN[/mm]
> fest
> > und modellierst dann deine ZV X.
>  Alles klar.
>
> > > So kann man z.B. für den Fall 0 die zufallsvariable so
> > > beschreiben:
> > >
> > > [mm]X(\omega)=0, \mbox{wenn } \forall i: \omega_i \ne \omega_{i+1}[/mm]
>  
> >  

> > Sauberer: [mm]\forall i \in [0:n-1][/mm]
>  >  Sonst passt es.
>  Ok:-)
>  
> > > Aber das kann man doch nicht für jeden n ausschreiben.
> > > Also: Wie kann ich das allgemeiner aufschreiben?
> > Überlege dir: Wie wahrscheinlich ist eine Reihe der Länge
> > n, wie wahrscheinlich eine der Länge n-1, etc.
>  Also, ich denke mal:
>  [mm]X(\omega)=n, \mbox{nie}[/mm]
>  [mm]X(\omega)=n-1, \mbox{wenn } \forall i \in [0:n-1]: \omega_i = \omega_{i+1}[/mm]
>  
> [mm]X(\omega)=n-2, \mbox{wenn } ((\forall i \in [1:n-1]: \omega_i = \omega_{i+1}) \wedge (\omega_0 \ne \omega_1)) \vee ((\forall i \in [0:n-2]: \omega_i = \omega_{i+1}) \wedge (\omega_n \ne \omega_{n-1}))[/mm]
>  
> ...
>  ...
>  ...
>  [mm]X(\omega)=3, \mbox{wenn } (\exists ! i,j,k \in [0:n-1], i \ne j \ne k: \omega_i = \omega_{i+1} \wedge \omega_j = \omega_{j+1} \wedge \omega_k = \omega_{k+1}) \vee (\exists ! i \in [0:n-3], i : \omega_i = \omega_{i+1} = \omega_{i+2}= \omega_{i+3}) \vee ((\exists ! i \in [0:n-2],\exists ! j \in [0:n-1] i \ne j: \omega_i = \omega_{i+1}= \omega_{i+2} \wedge \omega_j = \omega_{j+1})[/mm]
>  
> [mm]X(\omega)=2, \mbox{wenn } (\exists ! i,j \in [0:n-1], i \ne j: \omega_i = \omega_{i+1} \wedge \omega_j = \omega_{j+1}) \vee (\exists ! i \in [0:n-2], i : \omega_i = \omega_{i+1} = \omega_{i+2} )[/mm]
>  
> [mm]X(\omega)=1, \mbox{wenn } \exists ! i \in [0:n-1]: \omega_i = \omega_{i+1}[/mm]
>  
> [mm]X(\omega)=0, \mbox{wenn } \forall i \in [0:n-1]: \omega_i \ne \omega_{i+1}[/mm]
>  
> Ich glaube ich mache hier etwas falsch, weil es scheint mir
> zu aufwendig zu sein, die ganze Fallunterscheidung zu
> machen.
>  Hast Du vielleicht noch einen Tipp für mich?

Hallo,
setzte [mm]X_i(\omega)=1[/mm], wenn [mm]\omega_i=\omega_{i-1}[/mm] und [mm]X_i=0[/mm] sonst. Dann sind die [mm]X_i[/mm] unabhängig und es ist [mm]X=\sum_{i=2}^nX_i[/mm].

>  
> > > Dann würde aber (meiner Meinung nach) auf n nie etwas
> > abgebildet sein können (laut Definition:  [mm]X:\Omega \rightarrow[0:n] [/mm]),
> > oder? (siehe Beispiel 3))
> >
> > Korrekt, darum steht in der Aufgabe c) ja auch:
>  >  > Gebe das Bildmaß [mm]P_x[/mm] an indem du für [mm]k\in [1:n-1][/mm]

> die
> > Wahrscheinlichkeit […]
>  >  Dass der Bildraum von X mit [mm][0:n][/mm] angegeben wurde,
> ist…
> > egal.
> > Man hätte auch schreiben können: [mm]X:\Omega \to \IR [/mm], X ist
> > dann halt einfach nicht surjektiv, aber das macht nix…
>  Ok, verstehe. D.h. hier [mm]X^{-1}(n) = \emptyset[/mm]?
>  
> >  >  Also:

>  >  >  [mm]\Omega = [1:m]^n = \{(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)\}[/mm],
> > Notation!!
>  >  Du schreibst [mm][1:m]^n = [1:2]^3[/mm], nutzt nachher aber
> Tupel
> > [mm][0:1]^3[/mm]!
>  >  Klar ist das alles bijektiv und dasselbe etc… aber
> > unsauber!
>  >  Und unsauber Arbeiten führt zu Fehlern…
> > Da die Aufgabe so gestellt wurde, verwende bitte [mm][1:2]^3[/mm].
>  Einverstanden.
>  
> > > Wie kann ich es jetzt auch hier verallgemeinern?
>  >  
> > Hatte ich ja schon was zu geschrieben…
> Ich glaube, ich muss erstmal die Zufallsvariablen korrekt
> aufschreiben...%)
>  
> > habt ihr noch die
> > Einschränkung [mm]n \ge m[/mm]
>  > Die beiden Fälle unterscheiden

> > sich nämlich… also [mm]n\le m[/mm] und [mm]m\ge n[/mm]
>  In der
> Aufgabenstellung ist nichts dazu vermerkt.
>
> Nochmal vielen Dank!
> Hela123


Bezug
                                
Bezug
Bildmaß: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:44 Mo 14.05.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Hallo,
>  setzte [mm]X_i(\omega)=1[/mm], wenn [mm]\omega_i=\omega_{i-1}[/mm] und [mm]X_i=0[/mm]
> sonst. Dann sind die [mm]X_i[/mm] unabhängig und es ist
> [mm]X=\sum_{i=2}^nX_i[/mm].

guter Tipp :-)
Auch wenn man die Unabhängigkeit zumindest begründen müsste…

Gruß,
Gono

Bezug
                                        
Bezug
Bildmaß: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:29 Mo 14.05.2018
Autor: donquijote


> Hiho,
>  
> > Hallo,
>  >  setzte [mm]X_i(\omega)=1[/mm], wenn [mm]\omega_i=\omega_{i-1}[/mm] und
> [mm]X_i=0[/mm]
> > sonst. Dann sind die [mm]X_i[/mm] unabhängig und es ist
> > [mm]X=\sum_{i=2}^nX_i[/mm].
>  
> guter Tipp :-)
>  Auch wenn man die Unabhängigkeit zumindest begründen
> müsste…
>  
> Gruß,
>  Gono

Hallo,

> und tatsächlich: $ [mm] X_i [/mm] $ und $ [mm] X_{i+1} [/mm] $ sind leider nicht unabhängig…

Warum nicht? Es ist [mm] $P(X_{i+1}=1|X_i=a)=P(X_{i+1}=1)=\frac [/mm] 1m$ unabhängig von [mm] $a\in\{0,1\}$. [/mm]



Bezug
                                                
Bezug
Bildmaß: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:55 Mo 14.05.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Warum nicht? Es ist [mm]P(X_{i+1}=1|X_i=a)=P(X_{i+1}=1)=\frac 1m[/mm]

[edit] Hier stand Blödsinn… ich schreib später was neues…
[edit2] Du hast natürlich recht… ich bin da über den selbstverursachten Knoten im Kopf gestolpert. Sorry.

Gruß,
Gono



Bezug
                                
Bezug
Bildmaß: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) fundamentaler Fehler Status 
Datum: 17:43 Mo 14.05.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

und tatsächlich: [mm] $X_i$ [/mm] und [mm] $X_{i+1}$ [/mm] sind leider nicht unabhängig…

edit: Das ist natürlich quatsch… da hatte mein Hirn wohl Schluckauf…

Gruß,
Gono

Bezug
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