Bildungsgesetz Folge beweisen < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:28 Fr 09.10.2009 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Gegeben ist die Rekursion
[mm] a_{k+1} [/mm] = 2 [mm] \cdot{} a_k [/mm] + 1, [mm] a_1 [/mm] = -1
Berechnen Sie [mm] a_2, a_3, a_4, a_5 [/mm] und bestimme das Bildungsgesetz der Folge und beweise. |
Hallo Zusammen,
[mm] a_1 [/mm] = -1
[mm] a_2 [/mm] = 2(-1) + 1 = -1
[mm] a_3 [/mm] = 2(-1) + 1 = -1
[mm] a_4 [/mm] = 2(-1) +1 = -1
[mm] a_5 [/mm] = 2(-1) + 1 = -1
Somit besteht die Folge aus lauter -1. Ich habe mir folgendes Bildungsgesetz ausgedacht:
[mm] a_n [/mm] = [mm] -1^{2n-1}, [/mm] für die ersten fünf passt es soweit
Also zur vollständigen Induktion:
1. Induktionsanfang n = 1:
[mm] a_1 [/mm] = [mm] -1^{2 \cdot{} 1 -1} [/mm] = [mm] -1^{1} [/mm] = -1 (wahr)
2. Induktionsschluss
a, Induktionsannahme: [mm] a_n [/mm] = [mm] -1^{2n-1} [/mm] für alle n [mm] \in \IN
[/mm]
b, Induktionsbehauptung (n -> n+1): [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] -1^{2(n+1)-1} [/mm] = [mm] -1^{2n+1}
[/mm]
c, Induktionsbeweis:
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] -1^{2n+1} [/mm] = [mm] -1^{2n} \cdot{} [/mm] (-1)
Ich möchte nun die Induktionsannahme verwenden um die Induktionsbehauptung zu beweisen, hierbei stört mich jedoch [mm] -1^{-1}, [/mm] Behautung:
[mm] -1^1 [/mm] = [mm] -1^{-1}
[/mm]
-1 = [mm] \bruch{1}{-1^1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{-1} [/mm] = -1 (wahr)
-> [mm] -1^{2n} \cdot{} (-1)^{-1} [/mm] = [mm] -1^{2n-1} [/mm] = [mm] a_n
[/mm]
Ich kann jedoch nicht, dies alles nicht so aus dem Zusammenhang reißen, welche Idee bräuchte ich denn damit es weitergeht?
Gruß
itse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:50 Fr 09.10.2009 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Gegeben ist die Rekursion
>
> [mm]a_{k+1}[/mm] = 2 [mm]\cdot{} a_k[/mm] + 1, [mm]a_1[/mm] = -1
>
> Berechnen Sie [mm]a_2, a_3, a_4, a_5[/mm] und bestimme das
> Bildungsgesetz der Folge und beweise.
> [mm]a_1[/mm] = -1
>
> [mm]a_2[/mm] = 2(-1) + 1 = -1
>
> [mm]a_3[/mm] = 2(-1) + 1 = -1
>
> [mm]a_4[/mm] = 2(-1) +1 = -1
>
> [mm]a_5[/mm] = 2(-1) + 1 = -1
>
> Somit besteht die Folge aus lauter -1. Ich habe mir
> folgendes Bildungsgesetz ausgedacht:
>
> [mm]a_n[/mm] = [mm]-1^{2n-1},[/mm] für die ersten fünf passt es soweit
>
> Also zur vollständigen Induktion:
>
> 1. Induktionsanfang n = 1:
>
> [mm]a_1[/mm] = [mm]-1^{2 \cdot{} 1 -1}[/mm] = [mm]-1^{1}[/mm] = -1 (wahr)
>
> 2. Induktionsschluss
>
> a, Induktionsannahme: [mm]a_n[/mm] = [mm]-1^{2n-1}[/mm] für alle n [mm]\in \IN[/mm]
>
> b, Induktionsbehauptung (n -> n+1): [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]-1^{2(n+1)-1}[/mm]
> = [mm]-1^{2n+1}[/mm]
>
> c, Induktionsbeweis:
>
> [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]-1^{2n+1}[/mm] = [mm]-1^{2n} \cdot{}[/mm] (-1)
Hier verhedderst du dich jetzt. Das, was du zeigen willst, muß du aus dem (ursprünglichen) Bildungsgesetz und der Ind.-Annahme folgern, also:
[mm]a_{n+1} = 2*a_{n} + 1 = 2*(-1)^{2n-1} + 1 = ...[/mm]
Aber das Ganze geht sowieso viel einfacher, wenn du noch mal über dein Bildungsgesetz nachdenkst. Es ist doch [mm] a_n [/mm] = -1. Dann ist der Ind.-Schluß
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] 2*a_n [/mm] + 1 = 2*(-1) + 1 = -1
Fertich!
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:41 Fr 09.10.2009 | | Autor: | itse |
Hallo,
> > c, Induktionsbeweis:
> >
> > [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]-1^{2n+1}[/mm] = [mm]-1^{2n} \cdot{}[/mm] (-1)
>
> Hier verhedderst du dich jetzt. Das, was du zeigen willst,
> muß du aus dem (ursprünglichen) Bildungsgesetz und der
> Ind.-Annahme folgern, also:
>
> [mm]a_{n+1} = 2*a_{n} + 1 = 2*(-1)^{2n-1} + 1 = ...[/mm]
>
> Aber das Ganze geht sowieso viel einfacher, wenn du noch
> mal über dein Bildungsgesetz nachdenkst. Es ist doch [mm]a_n[/mm] =
> -1. Dann ist der Ind.-Schluß
> [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]2*a_n[/mm] + 1 = 2*(-1) + 1 = -1
> Fertich!
Bis jetzt weiß ich doch nur, dass die ersten fünf Glieder der Folge den Wert -1 haben. Und deine Annahme wäre nun das [mm] a_n [/mm] = -1, also jedes weitere Folgeglied ist -1 und durch die rekursive Formel wird dies dann bewiesen. Habe ich das soweit richtig verstanden?
Aber der Kern der Aufgabe ist es doch aus einer rekursiven Vorschrift eine explizite Vorschrift anzugeben. Dann müsste ich dann diesen Weg gehen:
> [mm]a_{n+1} = 2*a_{n} + 1 = 2*(-1)^{2n-1} + 1 = ...[/mm]
Ich fange mir der rekursiven Formel an, ersetze dann das n-te Glied durch die explizite Vorschrift und schaue, ob die Induktionsbehauptung herauskommt und damit wäre es dann bewiesen?
Ich wollte dies nun weiterrechnen um auf die Induktionsbehauptung zu gelangen:
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] 2*a_{n} [/mm] + 1 = [mm] 2*(-1)^{2n-1} [/mm] + 1 = [mm] (-1)^{2n-1} [/mm] + [mm] (-1)^{2n-1} [/mm] + 1 = [mm] (-1)^{2n-1} [/mm] - [mm] (-1)^{2n-1} [/mm] + 1
Ich sehe jedoch nicht wie es weiter umformen kann, um auf die Behauptung zu gelangen?
Gruß
itse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:59 Fr 09.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo itse
auch [mm] a_n=-1 [/mm] ist ne explizite Darstelung. es muss nicht unbedingt n in der darstellung vorkommen.
wenn dus unbedingt haben willst, dann [mm] a_n=(-1)*1^n [/mm] ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
aber du schreibst [mm] (-1)^{2n+1} [/mm] das ist aber nichts anderes als -1 also warum das so umstaendlich ausdruecken.
Du kannst es auch noch viel komplizierter machen:
[mm] a_n=-1*(2n-n-(n-1)) [/mm] usw.
was dich irritiert. ist dass kein n in deiner expliziten Formel vorkommt.
aber [mm] a_n=const [/mm] ist ne explizite Formel fuer ne konstante Folge. Die Aufgabe ist fuer dich nur ZU einfach!
natuerlich gehts auch wenn du statt [mm] -1=(-1)^{2n+1} [/mm] schreibst:
$ [mm] (-1)^{2n-1} [/mm] $ - $ [mm] (-1)^{2n-1} [/mm] $ + 1 [mm] =-1+-1+1=-1=(-1)^{2n+1}
[/mm]
also ist dein Beweis richtig, aber die Schreibweise lange statt -1 immer [mm] (-1)^{2n+1} [/mm] ja nicht sehr sinnvoll.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:56 Fr 09.10.2009 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben ist die Rekursion
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> [mm]a_{k+1}[/mm] = 2 [mm]\cdot{} a_k[/mm] + 1, [mm]a_1[/mm] = -1
>
> Berechnen Sie [mm]a_2, a_3, a_4, a_5[/mm] und bestimme das
> Bildungsgesetz der Folge und beweise.
> Hallo Zusammen,
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> [mm]a_1[/mm] = -1
>
> [mm]a_2[/mm] = 2(-1) + 1 = -1
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> [mm]a_3[/mm] = 2(-1) + 1 = -1
>
> [mm]a_4[/mm] = 2(-1) +1 = -1
>
> [mm]a_5[/mm] = 2(-1) + 1 = -1
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> Somit besteht die Folge aus lauter -1. Ich habe mir
> folgendes Bildungsgesetz ausgedacht:
>
> [mm]a_n[/mm] = [mm]-1^{2n-1},[/mm] für die ersten fünf passt es soweit
>
> Also zur vollständigen Induktion:
>
> 1. Induktionsanfang n = 1:
>
> [mm]a_1[/mm] = [mm]-1^{2 \cdot{} 1 -1}[/mm] = [mm]-1^{1}[/mm] = -1 (wahr)
>
> 2. Induktionsschluss
>
> a, Induktionsannahme: [mm]a_n[/mm] = [mm]-1^{2n-1}[/mm] für alle n [mm]\in \IN[/mm]
So etwas liest man oft ! Aber das ist grober Unfug ! Wenn man annimmt, dass eine Aussage für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt, so gibts doch nichts mehr zu zeigen.
Also:
Induktionsannahme: Es sei n [mm] \in \IN [/mm] und es gelte ......Bla Blubber .....
FRED
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> b, Induktionsbehauptung (n -> n+1): [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]-1^{2(n+1)-1}[/mm]
> = [mm]-1^{2n+1}[/mm]
>
> c, Induktionsbeweis:
>
> [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]-1^{2n+1}[/mm] = [mm]-1^{2n} \cdot{}[/mm] (-1)
>
> Ich möchte nun die Induktionsannahme verwenden um die
> Induktionsbehauptung zu beweisen, hierbei stört mich
> jedoch [mm]-1^{-1},[/mm] Behautung:
>
> [mm]-1^1[/mm] = [mm]-1^{-1}[/mm]
>
> -1 = [mm]\bruch{1}{-1^1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{-1}[/mm] = -1 (wahr)
>
> -> [mm]-1^{2n} \cdot{} (-1)^{-1}[/mm] = [mm]-1^{2n-1}[/mm] = [mm]a_n[/mm]
>
> Ich kann jedoch nicht, dies alles nicht so aus dem
> Zusammenhang reißen, welche Idee bräuchte ich denn damit
> es weitergeht?
>
> Gruß
> itse
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