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Bildungsvorschrift: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:03 Sa 17.04.2010
Autor: MetalFriedi

Aufgabe
Ermitteln Sie die bildungsvorschrift zu folgender Zahlenfolge:

0, 1, 1.5, 1.75, 1.875

Ich komme einfach nicht auf die Lösung. We kann mir bitte helfen?


eigentlich dachte ich erst  [mm] a_n_-_1 [/mm] + [mm] \bruch{1}{n} [/mm]

aber das stimmt ja bei 5 nicht mehr.




Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Bildungsvorschrift: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 03:30 Sa 17.04.2010
Autor: ChopSuey

Moin,

schreibe die Folge mal in Brüchen:

$\ [mm] \frac{0}{q}, [/mm] \ [mm] \frac{q'}{q'}, [/mm] \ [mm] \frac{3}{2}, [/mm] \ [mm] \frac{7}{4}, [/mm] \ [mm] \frac{15}{8} [/mm] $ wobei $\ q, q' [mm] \in \IQ [/mm] $ und $\ q [mm] \not=0 [/mm] $

vom 5. Glied deduktiv ausgehend, stellt man fest, dass die Nenner sich jeweils halbieren und die Differenz zwischen den Brüchen entspricht immer dem Nenner des Folgeglieds.

So findet man $\ q' = 1 $ und $\ q = [mm] \frac{1}{2} [/mm] $

Die Folge lautet in Bruchdarstellung also

$\ [mm] \frac{0}{\frac{1}{2}}, [/mm] \ [mm] \frac{1}{1}, [/mm] \ [mm] \frac{3}{2}, [/mm] \ [mm] \frac{7}{4}, [/mm] \ [mm] \frac{15}{8} [/mm] $

Es fällt ausserdem auf, dass jeder Nenner als Zweierpotenz darstellbar ist:


$\ [mm] \frac{0}{2^{-1}}, [/mm] \ [mm] \frac{1}{2^0}, [/mm] \ [mm] \frac{3}{2^1}, [/mm] \ [mm] \frac{7}{2^2}, [/mm] \ [mm] \frac{15}{2^3} [/mm] $

Für den Nenner gilt also $\ [mm] (b_n) [/mm] = [mm] 2^{n} [/mm] $ mit $\ n [mm] \in \{-1,0,1,2,3 \}$ [/mm]

Da sich die Zähler immer um den Nenner des Folgeglieds unterscheiden, ergibt sich für die Bildungsvorschrift:

$\ [mm] (a_n) [/mm] = [mm] \frac{2*2^{n}-1}{2^n} [/mm] =  [mm] \frac{2^{n+1}-1}{2^n} [/mm] $ mit $\ n [mm] \in \{-1,0,1,2,3 \}$ [/mm]

Viele Grüße
ChopSuey

Bezug
                
Bezug
Bildungsvorschrift: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:12 Sa 17.04.2010
Autor: MetalFriedi

Oh super. jetzt fällts mir auch auf! Vielen Dank, besonders für die Tipps zur Lösungsfindung!

Bezug
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