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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:01 Di 30.10.2007 | | Autor: | kerimm |
Hallo !
Also ich habe eineLange Aufgabe vor mir liegen, bei der ich eigentlich alles gelöst habe, bis auf eine Teilaufgabe, mit der ich gar nichts anfangen kann:
Ich habe folgende Abbildung gegeben:
a (x) = [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ -3 & 1 } [/mm] x + [mm] \vektor{4 \\ 1}
[/mm]
Die Frage lautet:
Man muss zeigen, dass kein Vektor v existiert, der bei der zu a gehörenden Abbildung zu seinem Bildvektor orthogonal ist.
Ich glaube mit v ist der Verschiebungsvektor gemeint, aber mehr weiß ich auch leider nicht und würde mich deshalb für Hilfe freuen.
Liebe Grüße
Kerim
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> Hallo !
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> Also ich habe eineLange Aufgabe vor mir liegen, bei der ich
> eigentlich alles gelöst habe, bis auf eine Teilaufgabe, mit
> der ich gar nichts anfangen kann:
>
>
> Ich habe folgende Abbildung gegeben:
>
> a (x) = [mm]\pmat{ 2 & 1 \\ -3 & 1 }[/mm] x + [mm]\vektor{4 \\ 1}[/mm]
>
> Die Frage lautet:
>
> Man muss zeigen, dass kein Vektor v existiert, der bei der
> zu a gehörenden Abbildung zu seinem Bildvektor orthogonal
> ist.
Hallo,
"orthogonal bedeutet ja: Skalarprodukt =0.
Der Bildvektor von v ist a(v).
Du sollst also zeigen, daß für kein [mm] v:=\vektor{v_1\\v_2} [/mm] gilt
v*a(v)=0.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:56 Di 30.10.2007 | | Autor: | kerimm |
Hallo,
ist dann dieser Vektor richtig, weil wenn ich ihn mit v multipliziere kommt null raus
[mm] \vektor{-1 \\ 4}
[/mm]
Liebe Grüße
Kerim
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Hallo,
das ist nicht richtig.
Hast Du Dir meine Antwort durchgelesen?
Ich schrieb
"Der Bildvektor von v ist a(v).
Du sollst also zeigen, daß für kein $ [mm] v:=\vektor{v_1\\v_2} [/mm] $ gilt
v*a(v)=0."
v ist irgendein beliebiger Vektor [mm] v:=\vektor{v_1\\v_2}.
[/mm]
Der Bildvektor von v ist a(v)=$ [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ -3 & 1 } [/mm] $ [mm] \vektor{v_1\\v_2} [/mm] + $ [mm] \vektor{4 \\ 1} [/mm] $ .
Und Du mußt nun zeigen, daß
v*a(v)=0, also
[mm] 0=\vektor{v_1\\v_2}*(\pmat{ 2 & 1 \\ -3 & 1 } \vektor{v_1\\v_2} [/mm] + [mm] \vektor{4 \\ 1})
[/mm]
keine Lösung hat.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:30 Mi 31.10.2007 | | Autor: | kerimm |
Hallo,
o ja stimmt ja, tut mir Leid, denn nach meiner Lösung, wäre es ja ein orthogonaler Vektor oder so, na ja ich habe es berechnet, und wollte nochmal sicher gehen, ob das auch jetzt richtig ist und danke schon im Voraus und auch für bevor ;)
0 = [mm] 2v_{1}² [/mm] + [mm] v_{2}² [/mm] + [mm] 4v_{1}
[/mm]
0 = [mm] -3v_{1}² [/mm] + [mm] v_{2}² [/mm] + [mm] v_{2}
[/mm]
Liebe Grüße
Kerim
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> und wollte nochmal sicher gehen, ob das auch
> jetzt richtig ist und danke schon im Voraus und auch für
> bevor ;)
>
>
> 0 = [mm]2v_{1}²[/mm] + [mm]v_{2}²[/mm] + [mm]4v_{1}[/mm]
> 0 = [mm]-3v_{1}²[/mm] + [mm]v_{2}²[/mm] + [mm]v_{2}[/mm]
Hallo,
das sieht so aus, als hättest Du im Prinzip das Richtige getan, aber Du hast Dich verrechnet.
Der zweite term oben und der erste unten stimmen nicht.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:49 Mi 31.10.2007 | | Autor: | kerimm |
Hallo,
danke erstmals für deeine Hilfe die ganze Zeit.
Ich habe es noch einmal versuch zu lösen, habe leier das gleiche rausbekommen.
Könnstest Du mir einen Tipp geben, bitte?
Liebe Grüße
Kerim
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>
> Könnstest Du mir einen Tipp geben, bitte?
Hallo,
wir müssen den Fehler suchen.
Rechne zunächst einmal vor, was Du für v*a(v) rechnest.
Dann müßte man ja sehen, wo etwas schiefgeht.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:36 Mi 31.10.2007 | | Autor: | kerimm |
Hallo,
ok, stimmt, wenn man selbst den Fehler versucht zu finden, passiert sie einem nicht schnell noch einmal :)
[mm] \vektor{v1 \\ v2} [/mm] * [ [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ -3 & 1 } [/mm] * [mm] \vektor{v1 \\ v2} [/mm] + [mm] \vektor{4 \\ 1} [/mm] ]
[mm] \vektor{v1 \\ v2} [/mm] * [ [mm] \vektor{2v1 + v2 \\ -3v1 + v2} [/mm] + [mm] \vektor{4 \\ 1} [/mm] ]
[mm] \vektor{2v1 + v2 \\ -3v1 + v2} [/mm] * [mm] \vektor{v1 \\ v2} [/mm] + [mm] \vektor{4 \\ 1}
[/mm]
0 = 2v1² + v2² + 4v1
0 = -3v1² + v2² + v2²
Ich hoffe, man kann meinen Fehler nun besser erkennen;)
Liebe Grüße
KErim
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>
Hallo,
oh weh, ich habe vorhin nicht gut außgepaßt, als ich sagte, daß nur ein Rechenfehler drin ist. Ich habe ganz Gravierendes entdeckt.
>
> [mm]\vektor{v1 \\ v2}[/mm] * [ [mm]\pmat{ 2 & 1 \\ -3 & 1 }[/mm] *
> [mm]\vektor{v1 \\ v2}[/mm] + [mm]\vektor{4 \\ 1}[/mm] ]
Bis hierher ist es in Ordnung.
Danach beginnst Du, Unfug zu machen. Du versäumst, den zweiten Vektor in der Klammer mit [mm] \vektor{v1 \\ v2} [/mm] zu multiplizieren.
>
>
> [mm]\vektor{v1 \\ v2}[/mm] * [ [mm]\vektor{2v1 + v2 \\ -3v1 + v2}[/mm] +
> [mm]\vektor{4 \\ 1}[/mm] ]
>
Richtig wäre \ vektor{v1 [mm] \\ v2}*\vektor{2v1 + v2 \\ -3v1 + v2} [/mm] + [mm] \vektor{v1 \\ v2}*\vektor{4 \\ 1}.
[/mm]
Nun überleg mal, was Du hier hast. Zwei Skalarprodukte, die dann addiert werden. Wie berechnet man denn Skalarprodukte? Was kommt heraus? Da kommt nämlich kein Vektor heraus, sondern eine Zahl!
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:16 Mi 31.10.2007 | | Autor: | kerimm |
Hallo,
o ne, was für ein dummer Fehler war das denn von mir!
Also ich hoffe, dass ich wenigstens sie nun richtig gelöst habe:
2v1²+4v1-2v1v2+v2²+v2
DANKE dir vielmals.
Liebe Grüße
KErim
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:39 Do 01.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Kerim!
> Also ich hoffe, dass ich wenigstens sie nun richtig gelöst
> habe:
>
> 2v1²+4v1-2v1v2+v2²+v2
Das hast du richtig ausgerechnet. Es ist aber noch nicht die ganze Lösung.
Du sollst zeigen, dass es keinen Vektor v gibt, für den das Skalarprodukt 0 ist, also dass die Gleichung
[mm]2v_1^2+4v_1-2v_1v_2+v2^2+v_2=0[/mm]
keine Lösungen hat.
Leider hat sie zwei Lösungen, eine davon ist [mm]v_1=\bruch{1}{2}\left(\sqrt{26}-5\right)[/mm], [mm]v_2=\bruch{1}{2}\left(\sqrt{26}-6\right)[/mm].
Kannst du bitte nachschauen, ob die Aufgabenstellung richtig war?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:32 Do 01.11.2007 | | Autor: | kerimm |
Hallo,
o ja , also, die Aufgabenstellung ist richtig, aber ich habe ein Vorzeichen verwechselt und hoffe, dass es jetzt geklappt hat:
a(x)= [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ -3 & 1 } [/mm] x * [mm] \vektor{4 \\ -1}
[/mm]
und nicht 1, sondern -1, sorry...
Na ja , wenn ich es nun ausrechne, dann kommt folgendes raus:
[mm] 2v_{1}² [/mm] + [mm] v_{2}² [/mm] + [mm] -2v_{1}v_{2} [/mm] + [mm] 4v_{1} [/mm] - [mm] v_{2}
[/mm]
Und wie komme ich jetzt dazu, zu den Lösungen?
( [mm] v_{1}= [/mm] und [mm] v_{2} [/mm] )?
Danke im Voraus
Kerim
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> a(x)= [mm]\pmat{ 2 & 1 \\ -3 & 1 }[/mm] x + [mm]\vektor{4 \\ -1}[/mm]
>
> Na ja , wenn ich es nun ausrechne, dann kommt folgendes
> raus:
>
> [mm]2v_{1}²[/mm] + [mm]v_{2}²[/mm] + [mm]-2v_{1}v_{2}[/mm] + [mm]4v_{1}[/mm] - [mm]v_{2}[/mm]
>
> Und wie komme ich jetzt dazu, zu den Lösungen?
> ( [mm]v_{1}=[/mm] und [mm]v_{2}[/mm] )?
Hallo,
die Lösung soll ja sein, daß es keine Lösung gibt...
Wenn a(v) und v orthogoal sind, ist ja Dein schöner Term =0, also
[mm] 0=2v_{1}² [/mm] + [mm] v_{2}² [/mm] + [mm] -2v_{1}v_{2} [/mm] + [mm] 4v_{1} [/mm] - [mm] v_{2}, [/mm] und Du willst/sollst lt. Aufgabenstellung zeigen, daß das nicht der Fall sein kann.
Es kann aber doch der Fall sein, z.b. löst (0,1) die Gleichung,
und es ist a(0,1)*(0,1)=0, also sind a(0,1) und (0,1) orthogonal.
Möglicherweise gab es lt. Aufgabenstellung noch irgendwelche besonderen Anforderungen an den Vektor v, aber da Du keine mitgeteilt hast, ist das nur eine Mutmaßung.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 Do 01.11.2007 | | Autor: | kerimm |
Hallo,
also was würde passieren, wenn ich einfach den VErschiebungsvektor weglasse und folgends nach dem vorherigen Prinzip mit der Formel berechne?
[mm] \pmat{ 2v1+v2 \\ -3v1+v2 } [/mm] * [mm] \vektor{v1 \\ v2}
[/mm]
2v1² + v2² - 2v1v2 = 0
käme dann hier raus, ist diese Gelichung lösbar?
MFG
Kerim
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:04 Do 01.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Kerim!
> also was würde passieren, wenn ich einfach den
> VErschiebungsvektor weglasse und folgends nach dem
> vorherigen Prinzip mit der Formel berechne?
>
>
> [mm]\pmat{ 2v1+v2 \\ -3v1+v2 }[/mm] * [mm]\vektor{v1 \\ v2}[/mm]
>
> 2v1² + v2² - 2v1v2 = 0
>
> käme dann hier raus, ist diese Gelichung lösbar?
Ja, sogar recht einfach. Du kannst diese Gleichung als quadratische Gleichung für [mm]v_2[/mm] lösen und daraus [mm]v_1[/mm] berechnen.
Mit einem kleinen Trick (der binomischen Formel) geht es sogar ohne viel Rechnen:
[mm] 0 = 2v_1^2+v_2^2-2 v_1v_2 = v_1^2 + (v_1^1 - 2v_1v_2 + v_2^2) = \underbrace{v_1^2}_{\ge0} + \underbrace{(v_1-v_2)^2}_{\ge 0}[/mm].
Da beide Summanden auf der rechten Seite [mm]\ge0[/mm] sind, kann die Summe nur dann 0 sein, wenn jeder für sich 0 wird, also [mm]v_1^2=0[/mm] und [mm](v_1-v_2)^2=0[/mm]. Für den ersten folgt [mm]v_1=0[/mm], für den zweiten [mm]v_1-v_2=0[/mm], also ist [mm]v_1=v_2=0[/mm].
Also löst nur der Nullvektor die Gleichung.
Es gibt also keinen von 0 verschiedenen Vektor v, der nach Multiplikation mit der Matrix orthogonal zu v ist.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:12 Do 01.11.2007 | | Autor: | kerimm |
Hallo,
erstmals danke für Deine schnelle Antwort.
Also die Frage lautete ja:
Sie müsen zeigen, dass kein Vektor v existiert, der bei der zu a gehörenden Abbildung zu seinem Bildvektor orthogonal ist.
War dann meine letzte Nachricht richtig?
Also heißt die Antwort:
Außer dem Nullvektor existiert kein Vektor, der bei der zu a gehörenden Abbildung zu seinem Bildvektor orhonal ist.
?
Weil ich bin nun sehr durcheinander geraten glaube ich...
Mfg
Kerim
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> Also die Frage lautete ja:
>
> Sie müsen zeigen, dass kein Vektor v existiert, der bei der
> zu a gehörenden Abbildung zu seinem Bildvektor orthogonal
> ist.
>
>
Komische Formulierung. Stand das da so?
Aber ich versteh's jetzt: gemeint ist die zur Abbildung a gehörende lineare Abbildung, und das ist die durch l(x):=$ [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ -3 & 1 } [/mm] $ x definierte Abbildung.
> War dann meine letzte Nachricht richtig?
Zu dieser Aufgabe paßt dann das, was Du da gerechnet hast, und wie es weitergeht hat Dir Rainer ja gesagt.
Gruß v. Angela
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