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| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo liebe Leute!!
Ein neues Jahr, ein neues Semster, und gleich wieder neue Probleme 
Und das auch noch ausgerechnet an Ostern!!
Naja, es hilft alles nichts!!
Komme mit der obigen Aufgabe nicht so ganz klar.
Antisymmetrisch heißt doch: [mm] b(v,v')\not=b(v',v) \forall [/mm] v [mm] \in [/mm] V , oder??
Desweiteren habe ich im Buch gefunden: das alternieren = schiefsymmetrisch gilt, also es gilt : b(v,v')=-b(v',v)
Was sagt mir Die Aussage: Ein Körper in dem [mm] 1+1\not= [/mm] 0 ist...??
Also ihr seht schon fragen über fragen...
Hoffentlich erbamt sich jemand mir bei den Teilaufgaben (a) und (b) zu helfen!!
Viele liebe Grüße, und frohe Ostern, der mathedepp_No.1
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:48 Fr 06.04.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
also Antisymmetrie bedeutet zunächst b(v,v´)=-b(v´,v). Angenommen b ist alternierend, dann gilt doch:
0=b(x+y,x+y)
=b(x,x+y)+b(y,x+y) Linearität im 1. Argument
=b(x,x)+b(x,y)+b(y,x)+b(y,y) Linearität im 2. Argument
=b(x,y)+(y,x) alternierend
Also: b(x,y)=-b(y,x) Das ist gerade die Antisymmetrie. Damit zeigst du dann auch die Umkehrung.
Bei b musst du überlegen wie deine Matrix zu deiner alternierenden Billinearform aussieht bzw. welche Abbildung eine alternierende Matrix beschreibt.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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hallo, hund!!
Erstmal vielen dank für deine schnelle Reaktion, hat mir sehr gehofen!!!Danke schon mal.
bei der teilaufgabe a hab ichs glaube ich verstanden. Aber ich muss doch die umkehrung garnicht mehr zeigen, du hast doch mit deinem beweise gleich beide richtungen gezeigt oder?? wüsste nämlich nicht wie ich die andere richtung beweisen sollte...??
zu b)
blicke ich leider noch nicht ganz durch....:-( versuchst du's nochmal??
viele Grüße, der mathedepp_No.1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:47 Fr 06.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> bei der teilaufgabe a hab ichs glaube ich verstanden. Aber
> ich muss doch die umkehrung garnicht mehr zeigen, du hast
> doch mit deinem beweise gleich beide richtungen gezeigt
> oder?? wüsste nämlich nicht wie ich die andere richtung
> beweisen sollte...??
Nein, die Rueckrichtung ist nicht gezeigt. Fuer diese brauchst du uebrigens, dass $1 + 1 [mm] \neq [/mm] 0$ ist. (Weil du durch $1 + 1$ teilen musst, und das geht natuerlich nur, wenn $1 + 1 [mm] \neq [/mm] 0$ ist.)
Dazu kannst du wie folgt vorgehen: Nach der Antisymmetrie ist ja $b(v, v) = -b(v, v)$. Kommst du damit weiter?
Zur Antisymmetrie allgemein: Den Begriff gibt es in der Mathematik in verschiedenen Kontexten, etwa bei Relationen und bei Bilinearformen. Bei Bilinearformen bedeutet er das gleiche wie schiefsymmetrisch.
> zu b)
> blicke ich leider noch nicht ganz durch....:-( versuchst
> du's nochmal??
Sind $v, w [mm] \in [/mm] V$ und $x, y [mm] \in K^n$ [/mm] die Basisdarstellungen von $v, w$ bezueglich [mm] $\mathcal{A}$, [/mm] so gilt $b(v, w) = [mm] v^T A_b [/mm] w$. Damit ist $b(w, v) = w [mm] A_b v^T [/mm] = ( (w [mm] A_b v^T)^T )^T [/mm] = ( [mm] (v^T)^T A_b^T w^T )^T [/mm] = ( v [mm] A_B^T w^T )^T [/mm] = v [mm] A_B^T w^T$ [/mm] (da dies nur ein Skalar -- bzw. eine $1 [mm] \times [/mm] 1$-Matrix -- ist aendert sich beim Transponieren vom Ganzen nichts).
Mit dieser Gleichheit solltest du bei der Aufgabe weiterkommen.
Uebrigens: durch Einsetzen der Standardeinheitsvektoren [mm] $e_i$ [/mm] siehst du, dass $A = B$ fuer zwei Matrizen $A, B$ genau dann gilt, wenn [mm] $e_i^T [/mm] A [mm] e_j [/mm] = [mm] e_i^T [/mm] B [mm] e_j$ [/mm] gilt fuer alle $i, j$. Das brauchst du hier auch noch. (Anstelle der [mm] $e_i$ [/mm] kannst du auch jede andere Basis von [mm] $K^n$ [/mm] nehmen, aber bei dieser sieht man es schneller.)
LG Felix
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hallo felix, vielen dank für deine ausführungen.
taste mich glaube ich so langsam ran, was da überhaupt verlangt ist...leider habe ich bei der Ausführung noch viele probleme:
> Nein, die Rueckrichtung ist nicht gezeigt. Fuer diese
> brauchst du uebrigens, dass [mm]1 + 1 \neq 0[/mm] ist. (Weil du
> durch [mm]1 + 1[/mm] teilen musst, und das geht natuerlich nur, wenn
> [mm]1 + 1 \neq 0[/mm] ist.)
steige ich leider noch nicht ganz dahinter :-( ??
> Dazu kannst du wie folgt vorgehen: Nach der Antisymmetrie
> ist ja [mm]b(v, v) = -b(v, v)[/mm]. Kommst du damit weiter?
>
Leider, nein. Dass ich mit b(v, v) = -b(v, v) beginnen muss war mir klar, aber dann verließen sie ihn leider...
> Zur Antisymmetrie allgemein: Den Begriff gibt es in der
> Mathematik in verschiedenen Kontexten, etwa bei Relationen
> und bei Bilinearformen. Bei Bilinearformen bedeutet er das
> gleiche wie schiefsymmetrisch.
>
> Sind [mm]v, w \in V[/mm] und [mm]x, y \in K^n[/mm] die Basisdarstellungen von
> [mm]v, w[/mm] bezueglich [mm]\mathcal{A}[/mm], so gilt [mm]b(v, w) = v^T A_b w[/mm].
> Damit ist [mm]b(w, v) = w A_b v^T = ( (w A_b v^T)^T )^T = ( (v^T)^T A_b^T w^T )^T = ( v A_B^T w^T )^T = v A_B^T w^T[/mm]
> (da dies nur ein Skalar -- bzw. eine [mm]1 \times 1[/mm]-Matrix --
> ist aendert sich beim Transponieren vom Ganzen nichts).
Die gleichung habe ich verstanden, nur wie ich damit jetzt arbeiten kann, weiß ich leider nicht...
Übrigens: durch Einsetzen der Standardeinheitsvektoren [mm]e_i[/mm]
> siehst du, dass [mm]A = B[/mm] fuer zwei Matrizen [mm]A, B[/mm] genau dann
> gilt, wenn [mm]e_i^T A e_j = e_i^T B e_j[/mm] gilt fuer alle [mm]i, j[/mm].
> Das brauchst du hier auch noch. (Anstelle der [mm]e_i[/mm] kannst du
> auch jede andere Basis von [mm]K^n[/mm] nehmen, aber bei dieser
> sieht man es schneller.)
Auch hier merke ich, dass der Groschen bei mir noch nicht gefallen ist.
kann mir das garnicht vorstellen dass das so kompliziert sein kann...ist es doch auch nicht oder??
Ich glaube ich stehe hier tierisch aufm schlauch!!!
ich weiß, es ist vielleicht etwas viel verlangt, aber wärst du so nett und würdest es nochmal versuchen, bin sonst echt aufgeschmissen!!
Viele Grüße, der mathedepp
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:50 Fr 06.04.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
also angenommen b ist alternierend, dann gilt nach Voraussetztung:
b(v,v)=-b(v,v) Addition von b(v,v)
b(v,v)+b(v,v)=0 Ausklammern von b(v,v), da K Körper
(1+1)b(v,v)=0 1+1 nicht 0, also da K Körper, ex. ein inverses zu (1+1) mit dem wir nun multiplizieren und schließlich dort stehen haben:
b(v,v)=0 für alle v, was gerade bedeutet, dass b alternierend ist.
Versuch mal bei b) deine beide Richtungen einzeln zu bewisen, indem du die gegebene Bedingung aufschreibst und dann die Gleichung von felixf benutzt.
Gruß
Hund
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Vielen Dank für eure Ausführungen!!
Habe jetzt für (b) fogenden Lösungsansatz:
Angenommen: [mm] A_b [/mm] ist alternierend, d.h. es gilt [mm] A^t=-A
[/mm]
Seien v,w [mm] \in [/mm] V.
Dann gilt:
[mm] b(v,w)=v^t*A_b*w=(v^t*A_b*w)^t=w^t*A_{b}^t*v=-(w^t*A_b*v)=-b(w,v) \forall v,w\in [/mm] V
Stimmt das so??
Umkehrung: Angenommen b ist alternierend, d.h. es gilt: b(v,w)=-b(w,v) [mm] \forall v,w\in [/mm] V
Sei [mm] B=\{e_1,....,e_n\} [/mm] die kanonische Basis
Es gilt: [mm] b(e_i,e_j)=e_i^t*A_b*e_j=a_{i,j}
[/mm]
Also: [mm] a_{i,j}=b(e_i,e_j)=-b(e_j,e_i)=-a_{j,i} \Rightarrow A=-A^t [/mm]
[mm] \gdw -A=A^t
[/mm]
Weiß nicht wie ich es mit einer beliebigen basis zeigen könnte??
Oder stimmt das so garnicht?
Ist der aufgabe ist ja nicht gesagt dass es sich um die kanonische Basis handeln muss...:-(
Kann mir jemand helfen, oder meine Ausfürhungen bestätigen bzw. kritisch Stellung nehmen??
Wäre prima!
Viele Grüße, der mathedepp_No.1
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Hallo liebe Ostereiersucher
Möchte euch ja nicht während eures Osterfestes stören, vorallem nicht bei diesem herrlichen Wetter. Aber wäre wirklich prima, wenn sich jemand mal meinen letzten Post ansehen würde und mir sagt ob ich richtig liege...bzw. mir ggf. weiterhelfen kann!!
komme sonst nicht weiter...:-(
Viele Grüße, der mathedepp_No.1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:08 So 08.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Vielen Dank für eure Ausführungen!!
>
> Habe jetzt für (b) fogenden Lösungsansatz:
>
> Angenommen: [mm]A_b[/mm] ist alternierend, d.h. es gilt [mm]A^t=-A[/mm]
>
> Seien v,w [mm]\in[/mm] V.
> Dann gilt:
>
> [mm]b(v,w)=v^t*A_b*w=(v^t*A_b*w)^t=w^t*A_{b}^t*v=-(w^t*A_b*v)=-b(w,v) \forall v,w\in[/mm]
> V
>
> Stimmt das so??
Ja!
> Umkehrung: Angenommen b ist alternierend, d.h. es gilt:
> b(v,w)=-b(w,v) [mm]\forall v,w\in[/mm] V
>
> Sei [mm]B=\{e_1,....,e_n\}[/mm] die kanonische Basis
> Es gilt: [mm]b(e_i,e_j)=e_i^t*A_b*e_j=a_{i,j}[/mm]
>
> Also: [mm]a_{i,j}=b(e_i,e_j)=-b(e_j,e_i)=-a_{j,i} \Rightarrow A=-A^t[/mm]
> [mm]\gdw -A=A^t[/mm]
Exakt.
> Weiß nicht wie ich es mit einer beliebigen basis zeigen
> könnte??
Es geht, aber es ist nicht schoen. Und ausserdem reicht es das mit einer Basis zu zeigen, und du hast das mit der Standardbasis gezeigt, also bist du fertig. Du musst es nicht mit jeder Basis zeigen.
(Wenn es dich trotzdem interessiert: wenn man eine beliebige Basis benutzt, dann fuehrt man das ueber eine passende Basiswechselmatrix auf die Standardbasis zurueck. Insofern ists eigentlich nur umstaendlicher.)
LG Felix
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hallo!!
Vielen lieben Dank fürs Feedback...
Da freu ich mich, dass ich's jetzt so gut wie verstanden habe!!
Leider habe ich bzgl. teilaufgabe b von meinem Tutor erfahren, dass wir dass doch für eine beliebige Basis zeigen sollen...
Hab mich daraufhin mal daran versucht, da felix meinte man müsse das durch eine geeignete Transformationsmatrix in die kanonische Basis überführen...was jedoch sehr viel umständlicher sei!!
Leider habe ich das nicht hinbekommen....komme da auf keinen grünen Zweig..
Wäre prima wenn mir das jemand mal zeigen könnte, wie das geht (vielleicht auch felix)...da ich das abgeben muss und hier einfach nicht weiß wie ich das mit einer beliebigen Basis zheigen kann!!
Hoffe auch Hilfe...:-(
Viele liebe Grüße und einen schönen, sonnigen Ostermontag sedet det mathedepp_No.1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:19 Di 10.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> hallo!!
>
> Vielen lieben Dank fürs Feedback...
>
> Da freu ich mich, dass ich's jetzt so gut wie verstanden
> habe!!
>
> Leider habe ich bzgl. teilaufgabe b von meinem Tutor
> erfahren, dass wir dass doch für eine beliebige Basis
> zeigen sollen...
Dein Tutor meint sicher die Basis von $V$, bezueglich der [mm] $A_b$ [/mm] aufgestellt wird, und nicht die Basis von [mm] $K^n$, [/mm] bezueglich der man zwei Matrizen vergleicht (welche man hierfuer nimmt ist naemlich wirklich voellig egal).
Also: sei $B' = [mm] \{ v_1, ..., v_n \}$ [/mm] eine Basis von $V$ und sei $B = [mm] \{ e_1, ..., e_n \}$ [/mm] die kanonische Basis von [mm] $K^n$. [/mm] Dann gilt [mm] $b(v_i, v_j) [/mm] = [mm] e_i^T A_b e_j$. [/mm] (Das ist praktisch die Definition von [mm] $A_b$.)
[/mm]
Du musst also in deinen bisherigen Rechnungen noch den Koordinatenisomorphismus [mm] $\phi [/mm] : V [mm] \to K^n$, $v_i \mapsto e_i$ [/mm] einbauen; etwa so: $b(v, w) = [mm] \phi(v)^T A_b \phi(w) [/mm] = ... = [mm] -\phi(w)^T A_b \phi(v) [/mm] = -b(w, v)$.
So, mehr schreib ich jetzt nicht sondern ich geh erstmal schlafen, versuch mal selber alles so umzuschreiben; wenn du steckenbleibst, sag Bescheid!
LG Felix
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Hallo felix,
vielen dank für deinen Post...
Leider hab ich das anscheinend noch nicht ganz verstanden wie das ablaufen muss...mit der kanonischen Basis habe ich verstanden, aber wie das jetzt mit ner beliebigen geht verstehe ich lieder noch nicht.
Aber das bezieht sich ja nur auf die Hin-Richtung von aufgabe 2b. bei der Rückrichtung ist doch die basis total egal da ich ja im beweis eh nur mit [mm] -A=A^t [/mm] arbeite..oder??
Schnellstmögliche Hilfe wäre prima!!!Wenns die Nerven noch aushalten
Viele Grüße, der mathedepp_No.1
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Hallo mathedepp,
du brauchst es für beide Richtungen:
Zunächst sagen wir mal die Basis [mm] \mathcal{A} [/mm] von V sei [mm] \mathcal{A}=\{c_1,....,c_n} [/mm]
[mm] "\Rightarrow" [/mm] Sei $b$ alternierend
Da [mm] A_b=(a_{ij}) [/mm] die Darstellungsmatix von b bzgl [mm] \mathcal{A} [/mm] ist, gilt für die Einträge [mm] a_{ij}: a_{ij}=b(c_i,c_j) \forall 1\le i,j\le [/mm] n
Da b alternierend ist, ist [mm] b(c_i,c_j)=-b(c_j,c_i)=-a_{ji} \forall 1\le i,j\le [/mm] n
[mm] \Rightarrow A_b=-A_b^t
[/mm]
[mm] "\Leftarrow" [/mm] Sei [mm] A_b=-A_b^t
[/mm]
zz.: [mm] \forall v,w\in [/mm] V:b(v,w)=-b(w,v)
Seien also [mm] v,w\in [/mm] V mit [mm] v=\summe_{i=1}^{n}x_ic_i [/mm] und [mm] w=\summe_{j=1}^{n}y_jc_j [/mm] (als LK der Basis [mm] \mathvcal{A})
[/mm]
Dann ist [mm] b(v,w)=b(\summe_{i=1}^{n}x_ic_i,\summe_{j=1}^{n}x_jc_j)=....
[/mm]
Nun mit den Eigenschaften der BLF arbeiten (Linearität in den Argumenten, Skalare kannste rausziehen)
Gruß
schachuzipus
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:29 Di 10.04.2007 | | Autor: | TottiIII |
Hallo zusammen,
also muß ich die Aufagbe jetzt allgemein lösen, oder reicht es die kanonische Basis zu nehmen?
Falls man es allgemein lösen muß. Hat inzwischen jemand die Lösung fertig und könnte die hier mal hinschreiben?
Muß übermorgen abgeben und habs bisher nicht selber geschafft :-(. Wär also echt nett von euch, wenn jemand die Lösung aufschreiben könnte.
TottiIII
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:26 Mi 11.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo TottiIII,
> also muß ich die Aufagbe jetzt allgemein lösen, oder
> reicht es die kanonische Basis zu nehmen?
schau dir schachuzipus' Antwort an.
> Falls man es allgemein lösen muß. Hat inzwischen jemand
> die Lösung fertig und könnte die hier mal hinschreiben?
Du kannst dir die Loesung auch selber aus den einzelnden Antworten in diesem Thread zusammensuchen. Es sollte prinzipiell alles wichtige vorhanden sein.
Liebe Gruesse
Felix
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