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Bilinearform: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:07 So 12.06.2005
Autor: segatakai

Hi, brauche hilfe !!!

Sei (V, < , >) ein euklidischer [mm] \IR-Vektorraum [/mm] und b: V x [mm] V\to [/mm] K eine symmetrische Bilinearform. Zeige: Es ex. eine ONB von V bezüglich welcher b die darstellende Matrix diagonal ist.

Ichhabe Sätze, dass es eine diagonale symmetrische Matrix zu b gibt, wie finde ich jetzt eine etsprechende ONB ?

Ich habe diese Frage in keinen anderen Internetforum gestellt

        
Bezug
Bilinearform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:07 Di 14.06.2005
Autor: Julius

Hallo segatakai!

Es sei also $b$ eine symmetrische Bilininearform auf $V$. Dann wird durch

$b(v,w) = [mm] \langle \varphi(v),w \rangle$ [/mm]

eine selbstadjungierte Abbildung [mm] $\varphi:V \to [/mm] V$ definiert. Bekanntlich gibt es aber zu jedem selbstadjungierten Endomorphismus eine Orthonormalbasis [mm] $B=(v_1,v_2,\ldots,v_m)$, [/mm] die aus lauter Eigenvektoren von [mm] $\varphi$ [/mm] besteht. Es sei [mm] $\lambda_i$ [/mm] der zu [mm] $v_i$ [/mm] gehörige Eigenwert.

Dann ist aber wegen

[mm] $b(v_i,v_j) [/mm] = [mm] \langle \varphi(v_i),v_j \rangle [/mm] = [mm] \langle \lambda_iv_i,v_j \rangle [/mm] = [mm] \lambda_i \langle v_i,v_j \rangle [/mm] =0$

für $i [mm] \ne [/mm] j$ die Basis $B$ jedenfalls eine Orthogonalbasis bezüglich $b$. Daraus folgt die Behauptung.

Viele Grüße
Julius

Bezug
        
Bezug
Bilinearform: 1000ste Antwort
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:19 Di 14.06.2005
Autor: Julius

Hallo!

Das braucht dich nicht zu interessieren, aber ich muss es hier für die Geschichtsbücher einfach festhalten:

Das war meine 1000ste Antwort im Matheraum!!  [huepf]

(Heißt: Ich habe in 1000 verschiedenen Diskussionssträngen mindestens eine Antwort gegeben.)

[breakdance]

Damit antworte ich für heute nicht mehr, denn die 1000 muss stehen (frei nach Huub Stevens)! :-)

Liebe Grüße
Julius

Bezug
                
Bezug
Bilinearform: Wow!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:36 Di 14.06.2005
Autor: Paulus

Lieber Julius

wenn das keine Leistung ist!! Dafür gibt es für je 10 Antworten ein ehrliches [respekt] !

[respekt] [respekt] [respekt] [respekt] [respekt] [respekt] [respekt] [respekt] [respekt] [respekt]
[respekt] [respekt] [respekt] [respekt] [respekt] [respekt] [respekt] [respekt] [respekt] [respekt]
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Mit lieben Grüssen

Paul

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