Bilinearformen < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:06 Sa 17.05.2008 | | Autor: | tinakru |
| Aufgabe | Sei V der Vektorraum der komplexen Zahlen. Weiterhin sei
H: V x V -> C diejenige Bilinearform mit der Gramschen Matrix
i i 2i
i i i
0 i i
mit B = [mm] (v_1, v_2, v_2).
[/mm]
Bestimmen sie die Gramsche Matrix zur Basis B' = [mm] (v_1+v_2, v_2+v_3,v_2).
[/mm]
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Mein Lösungsweg:
Ich habe zuerst mal die ganzen Skalarprodukte angegeben
[mm] H(v_1,v_1) [/mm] = i
[mm] H(v_1,v_2) [/mm] = i
[mm] H(v_1,v_3) [/mm] = 2i
[mm] H(v_2,v_1) [/mm] = i
[mm] H(v_2,v_2) [/mm] = i
[mm] H(v_2,v_3) [/mm] = i
[mm] H(v_3,v_1 [/mm] ) = 0
[mm] H(v_3,v_2) [/mm] = i
[mm] H(v_3,v_2) [/mm] = i
Das müsste eigentlich alles stimmen.
Dann hab ich folgendes gemacht:
[mm] H(v_1+v_2, v_1+v_2), [/mm] das sollte der 1,1 -Eintrag der neuen Matrix werden.
= [mm] H((v_1,v_1) [/mm] + [mm] (v_2,v_2))
[/mm]
= [mm] H(v_1,v_1) [/mm] + [mm] H(v_2,v_2)
[/mm]
= i + i = 2i
Meine Frage jetzt: Darf ich das so auseinanderziehen? Zwei Zeilen drüber?
Oder ist das nicht erlaubt bei Bilinearformen??
Könnte man die neue Matrix auch mit der Basistransformationsformel berechnen?? Also indem man zwei Transformationsmatrizen angibt, die eine Transponiert und an H ranmultipliziert oder geht das hier nicht??
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:21 Sa 17.05.2008 | | Autor: | pelzig |
> = [mm]H((v_1,v_1)[/mm] + [mm](v_2,v_2))[/mm]
> = [mm]H(v_1,v_1)[/mm] + [mm]H(v_2,v_2)[/mm]
> = i + i = 2i
>
> Meine Frage jetzt: Darf ich das so auseinanderziehen? Zwei
> Zeilen drüber?
Du darfst es auseinanderziehen, aber nicht so. Das ist einfach die Linearität in jeder Komponenten, d.h. es ist ja nach Definition $<a,b+c>=<a,b>+<a,c>$, das musst du hier mehrfach anwenden.
> Könnte man die neue Matrix auch mit der
> Basistransformationsformel berechnen?? Also indem man zwei
> Transformationsmatrizen angibt, die eine Transponiert und
> an H ranmultipliziert oder geht das hier nicht??
Da bin ich leider überfragt.
Gruß, Robert
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 11:33 So 18.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
Siehe meine Antwort.
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> Sei V der Vektorraum der komplexen Zahlen. Weiterhin sei
> H: V x V -> C diejenige Bilinearform mit der Gramschen
> Matrix
>
> i i 2i
> i i i
> 0 i i
>
> mit B = [mm](v_1, v_2, v_2).[/mm]
>
> Bestimmen sie die Gramsche Matrix zur Basis B' = [mm](v_1+v_2, v_2+v_3,v_2).[/mm]
> Könnte man die neue Matrix auch mit der
> Basistransformationsformel berechnen?? Also indem man zwei
> Transformationsmatrizen angibt, die eine Transponiert und
> an H ranmultipliziert oder geht das hier nicht??
Hallo,
doch, das geht.
Das Transponieren darf man nicht vergessen, aber Du erwähnst es ja bereits.
![[]](/images/popup.gif) Zum Nachlesen
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:48 Sa 17.05.2008 | | Autor: | tinakru |
| Aufgabe | Aufgabenteil b,
Zeigen sie dass B' eine Basis von V ist. |
Hallo,
den ersten Teil der Frage hab ich dann jetzt ganz gut hinbekommen, aber bei Teilaufgabe b, weiß ich so gar nicht wie ich anfangen soll.
Wenn man zeigen soll, dass etwas eine Basis ist, muss es Linear unabhängig und ein Erzeugendensystem von V sein. Aber das kann man doch hier schlecht zeigen. Oder??
Danke
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> Aufgabenteil b,
>
> Zeigen sie dass B' eine Basis von V ist.
> Hallo,
>
> den ersten Teil der Frage hab ich dann jetzt ganz gut
> hinbekommen, aber bei Teilaufgabe b, weiß ich so gar nicht
> wie ich anfangen soll.
>
> Wenn man zeigen soll, dass etwas eine Basis ist, muss es
> Linear unabhängig und ein Erzeugendensystem von V sein.
> Aber das kann man doch hier schlecht zeigen. Oder??
Hallo,
Du weißt ja, daß [mm] (v_1, v_2, v_3) [/mm] eine basis von V ist.
Wenn es Dir gelingt, die lineare Unabhängigkeit von B' zu zeigen, weißt Du, daß es eine basis ist, denn B' enthält ja wie B drei Vektoren, dh. die Dimension von V=3.
Prüfe als die lineare Unabhängigkeit von [mm] v_1+v_2, v_2+v_3,v_2.
[/mm]
Dazu schaust Du, ob aus [mm] a(v_1+v_2)+b(v_2+v_3)+cv_2=0 [/mm] irgendwie a=b=c=0 folgt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:17 Sa 17.05.2008 | | Autor: | tinakru |
Sei also
[mm] a*(v_1+v_2) [/mm] + [mm] b*(v_2+v_3)+c*v_2 [/mm] = 0
Multipliziere aus:
[mm] av_1 [/mm] + [mm] av_2 [/mm] + [mm] bv_2 [/mm] + [mm] bv_3 [/mm] + [mm] cv_2 [/mm] = 0
Stelle um
[mm] av_1 [/mm] + [mm] av_2 [/mm] + [mm] cv_2 [/mm] + [mm] bv_2 [/mm] + [mm] bv_3 [/mm] = 0
Klammere aus:
[mm] av_1 [/mm] + [mm] (a+b+c)v_2 [/mm] + [mm] bv_3 [/mm] = 0
Es gilt [mm] v_1,v_2,v_3 [/mm] ungleich null, da sie linear unabhängig sind, weil sie ja bereits eine Basis von B sind.
also muss a=b=c = 0 sein
Mir kommt das aber so vor, als wenn da was nicht stimmt. Man kann doch aus dieser Gleichung noch nicht schließen dass a,b,c 0 sind oder???
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:22 So 18.05.2008 | | Autor: | tinakru |
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:41 So 18.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:27 So 18.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
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> Sei also
>
> [mm]a*(v_1+v_2)[/mm] + [mm]b*(v_2+v_3)+c*v_2[/mm] = 0
>
> Multipliziere aus:
>
> [mm]av_1[/mm] + [mm]av_2[/mm] + [mm]bv_2[/mm] + [mm]bv_3[/mm] + [mm]cv_2[/mm] = 0
>
> Stelle um
>
> [mm]av_1[/mm] + [mm]av_2[/mm] + [mm]cv_2[/mm] + [mm]bv_2[/mm] + [mm]bv_3[/mm] = 0
>
> Klammere aus:
>
> [mm]av_1[/mm] + [mm](a+b+c)v_2[/mm] + [mm]bv_3[/mm] = 0
>
> Es gilt [mm]v_1,v_2,v_3[/mm] ungleich null, da sie linear
> unabhängig sind, weil sie ja bereits eine Basis von B
> sind.
>
> also muss a=b=c = 0 sein
>
> Mir kommt das aber so vor, als wenn da was nicht stimmt.
> Man kann doch aus dieser Gleichung noch nicht schließen
> dass a,b,c 0 sind oder???
>
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Doch, denn [mm] v_1, v_2 [/mm] und [mm] v_3 [/mm] sind ja eine Basis, also insbesondere linear unabhängig.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:32 So 18.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
> [mm]H(v_1+v_2, v_1+v_2),[/mm] das sollte der 1,1 -Eintrag der neuen
> Matrix werden.
>
> = [mm]H((v_1,v_1)[/mm] + [mm](v_2,v_2))[/mm]
>
> = [mm]H(v_1,v_1)[/mm] + [mm]H(v_2,v_2)[/mm]
>
> = i + i = 2i
[mm] H(v_1+v_2, v_1+v_2) [/mm] = [mm] H(v_1+v_2,v_1)+H(v_1+v_2,v_2) [/mm] = [mm] H(v_1,v_1) [/mm] + [mm] H(v_2,v_1) +H(v_1,v_2) [/mm] + [mm] H(v_2,v_2) [/mm] = i + i + i + i = 4i.
Ausserdem darfst du das nicht Skalarprodukt nennen, denn es ist keins, da es nicht symmetrisch ist.
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