Bilinearformen/Ausgeartetheit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:16 So 09.05.2004 | | Autor: | Cathrine |
Hallo Leute,
ich weiß nicht, wie man Bilinearformen auf Ausgeartetheit überprüft.
Und ich muss bis morgen folgende Aufgabe haben:
K beliebig, [mm] V=K^2
[/mm]
[mm] fdef(K^2 [/mm] x [mm] K^2->K;(x1;x2)x(y1;y2)->det((x1,y2;x2,y2))
[/mm]
zu prüfen ist ob obige Bilinearform ausgeartet ist
Vielleicht könnt ihr mir ja helfen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:24 So 09.05.2004 | | Autor: | Cathrine |
Hinweise
Eine Bilinearform B ist ausgeartet, wenn es ein x gibt mit B(x,y) = 0 für alle y, oder (in endlichdimensionalen Räumen) äquivalent, wenn es ein y gibt mit B(x,y) = 0 für alle x.
Nicht ausgeartet bedeutet, dass die Matrix, die die Bilinearform in irgendeiner Basis darstellt, regulär (invertierbar) ist.
Vielleicht hilft das!
Ich glaube, man muss außerdem noch die Abbildungsvorschrift der Bilinearform beachten!!!
Hoffe, ihr könnt mir helfen!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!11
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 So 09.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Cathy,
> Eine Bilinearform B ist ausgeartet, wenn es ein x gibt mit
> B(x,y) = 0 für alle y, oder (in endlichdimensionalen
> Räumen) äquivalent, wenn es ein y gibt mit B(x,y) = 0 für
> alle x.
Hier müßte es eigentlich heißen:
Eine Bilinearform B ist ausgeartet, wenn es ein [mm] x$\red{\not=0}$ [/mm] gibt mit
B(x,y) = 0 für alle y, oder (in endlichdimensionalen
Räumen) äquivalent, wenn es ein [mm] y$\red{\not=0}$ [/mm] gibt mit B(x,y) = 0 für
alle x.
Oder sehe ich das falsch?
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:32 So 09.05.2004 | | Autor: | Cathrine |
Ja, stimmt! So steht es in meinem Skript.
Das andere war falsch!
Vielen vielen Dank für die Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:39 So 09.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Cathrine,
willkommen im MatheRaum! 
> Hallo Leute,
>
> ich weiß nicht, wie man Bilinearformen auf Ausgeartetheit
> überprüft.
>
> Und ich muss bis morgen folgende Aufgabe haben:
>
>
> K beliebig, [mm] V=K^2
[/mm]
> [mm] fdef(K^2 [/mm] x [mm] K^2->K;(x1;x2)x(y1;y2)->det((x1,y2;x2,y2))
[/mm]
Dieses det(...) verstehe ich noch nicht ganz; soll das eine Matrix sein, also diese hier:
[mm]\begin{pmatrix}
x_1 & y_2 \\
x_2 & y_2
\end{pmatrix}[/mm]
Und lautet diese Matrix vielleicht auch
[mm]\begin{pmatrix}
x_1 & y_\red{1} \\
x_2 & y_2
\end{pmatrix}[/mm]?
Wenn ich das weiß --hoffe ich-- kann ich auch deine Frage beantworten.
Falls es aber doch [mm]\begin{pmatrix}
x_1 & y_2 \\
x_2 & y_2
\end{pmatrix}[/mm] ist, dann dürfte doch der Vektor [mm] $(x_1,x_2)=(1,1)$ [/mm] der gesuchte sein, da
[mm]\begin{vmatrix}
1 & y_2 \\
1 & y_2\end{vmatrix}=0[/mm] für alle [mm] $(y_1,y_2)$
[/mm]
Bis gleich,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:44 So 09.05.2004 | | Autor: | Cathrine |
Hallo Marc,
vielen dank für die Hilfe!
Ja, leider kenne ich mich nicht aus, wie man die zeichen schreibt, aber du hast Recht, genau so wie du geschrieben hast ist das!!!!!!!!!!!!
Danke, Cathy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:46 So 09.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Cathy,
> Ja, leider kenne ich mich nicht aus, wie man die zeichen
> schreibt, aber du hast Recht, genau so wie du geschrieben
> hast ist das!!!!!!!!!!!!
Äh, wie denn jetzt? Ist das die Matrix mit der roten Markierung oder die ohne rote Markierung?
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:48 So 09.05.2004 | | Autor: | Cathrine |
Ich war grade etwas zu schnell,
es ist nämlich deine erste Variante -
also mit y1 und y2 (nicht die mit den 2 zweiern!)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:46 So 09.05.2004 | | Autor: | rossi |
Sers
also ich glaub mit dem Tipp sollte es doch gehen - also ohne garantie, für mich is der Stoff auch noch net so sicher....
aber du hast
[mm] K^2 x K^2 ->K[/mm]
[mm](x1;x2)x(y1;y2)->det((x1,y2;x2,y2)) [/mm]
Jetzt wählst du einmal x1,x2 fest und dannn schaust du für welchen y1,y2 die Det = 0 ist und des andere mal machst du y1,y2 fest und schaust des gleiche für beliebige x1,x2 werte an - wann die Det 0 wird....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:53 So 09.05.2004 | | Autor: | Cathrine |
Hi Rossi,
vielen dank für den tipp!
Weißt du denn wie man den Beweis führt?
Cathy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:17 So 09.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Cathy,
> Hallo Leute,
>
> ich weiß nicht, wie man Bilinearformen auf Ausgeartetheit
> überprüft.
>
> Und ich muss bis morgen folgende Aufgabe haben:
>
>
> K beliebig, [mm] V=K^2
[/mm]
> [mm] fdef(K^2 [/mm] x [mm] K^2->K;(x1;x2)x(y1;y2)->det((x1,y2;x2,y2))
[/mm]
>
> zu prüfen ist ob obige Bilinearform ausgeartet ist
>
>
> Vielleicht könnt ihr mir ja helfen
>
Meine Behauptung ist, dass [mm] $\det$ [/mm] nicht-ausgeartet ist.
Dazu ist folgendes zu zeigen:
[mm]\begin{vmatrix}
x_1 & y_1 \\
x_2 & y_2\end{vmatrix}=0[/mm] für alle [mm] $(x_1,x_2)\in\IK^2$ $\Rightarrow$ $(y_1,y_2)=(0,0)$
[/mm]
und
[mm]\begin{vmatrix}
x_1 & y_1 \\
x_2 & y_2\end{vmatrix}=0[/mm] für alle [mm] $(y_1,y_2)\in\IK^2$ $\Rightarrow$ $(x_1,x_2)=(0,0)$
[/mm]
Wegen
[mm]\begin{vmatrix}
x_1 & y_1 \\
x_2 & y_2\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}
y_1 & x_1 \\
y_2 & x_2\end{vmatrix}=0[/mm] reicht es, nur die erste Bedingung zu überprüfen.
Sei also [mm]\begin{vmatrix}
x_1 & y_1 \\
x_2 & y_2\end{vmatrix}=0[/mm] für alle [mm] $(x_1,x_2)\in\IK^2$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $x_1*y_2-x_2*y_1=0$ [/mm] für alle [mm] $(x_1,x_2)\in\IK^2$
[/mm]
Nun, es ist ja eigentlich schon klar, dass hier sofort [mm] $y_1=0$ [/mm] und [mm] $y_2=0$ [/mm] folgt, aber angenommen
Fall a) [mm] $y_1\not=0$ $\Rightarrow$ [/mm] Widerspruch für [mm] $(x_1,x_2)=(0,1)$
[/mm]
Fall b) [mm] $y_2\not=0$ $\Rightarrow$ [/mm] Widerspruch für [mm] $(x_1,x_2)=(1,0)$
[/mm]
Bei Fragen, melde dich bitte wieder.
Viele Grüße,
Marc
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