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Binomi/e-FKt.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:32 Di 08.05.2018
Autor: gopro

Aufgabe
a)
Es sei für [mm] f,g:\IC\to\IC (fg)^{(n)}=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}f^{(k)}g^{(n-k)} [/mm]
Folgern Sie mit f(x) = [mm] e^{ax} [/mm] und g(x) = [mm] e^{bx} [/mm] den Binomialsatz für a,b ∈C.

b)
Es sei f : C→C differenzierbar mit f'(x) = f(x) für alle x ∈C und f(0) = 1. Zeigen Sie: f(x + y) = f(x)f(y) für alle x,y ∈C;
Hinweis: Berechnen Sie die Ableitung von g(x) = f(x + y)f(−x).

Habe folgende interessante Probleme bei denen ich aber nicht richtig weiterkomme...

        
Bezug
Binomi/e-FKt.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:49 Mi 09.05.2018
Autor: fred97


> a)
>  Es sei für [mm]f,g:\IC\to\IC (fg)^{(n)}=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}f^{(k)}g^{(n-k)}[/mm]

Merkwürdige Formulierung. ......

Darfst du die Leibnizformel benutzen oder sollst du sie auch noch beweisen?


>  
> Folgern Sie mit f(x) = [mm]e^{ax}[/mm] und g(x) = [mm]e^{bx}[/mm] den
> Binomialsatz für a,b ∈C.


Diese Aufgabe ist doch ehrlich gesagt Pillepalle. Mit f [mm] (x)g(x)=e^{(a+b)x} [/mm]
schreibe die linke Seite der Formel hin. Nun ist das gleich der rechten Seite,  für alle x !
Auch für x=0 .......

>  
> b)
>  Es sei f : C→C differenzierbar mit f'(x) = f(x) für
> alle x ∈C und f(0) = 1. Zeigen Sie: f(x + y) = f(x)f(y)
> für alle x,y ∈C;
> Hinweis: Berechnen Sie die Ableitung von g(x) = f(x +
> y)f(−x).

Der Hinweis ist dazu da, dass du ihn verwendest!  Tu das, dann solltest du sehen, dass die Ableitung von g überall =0 ist.

Damit ist g konstant.  Jetzt mach Du weiter



>  Habe folgende interessante Probleme bei denen ich aber
> nicht richtig weiterkomme...





Bezug
                
Bezug
Binomi/e-FKt.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:50 Mi 09.05.2018
Autor: gopro

Hallo fred!!!

Ja für dürfen die Leibniz-Regel als gegeben ansehen.
Es gilt dass $ [mm] f(x)g(x)=e^{(a+b)x} [/mm] $ ist.
Nun ist [mm] f,g:\IC\to\IC (fg)^{(n)}=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}f^{(k)}g^{(n-k)} [/mm] und somit [mm] (e^{(a+b)x})^{(n)}=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}e^{ax}^{(k)}e^{bx}^{(n-k)} [/mm]
Irgendwie verstehe ich nicht wie ich jetzt von der Leibnizregel auf die Binomialformel schließen soll? Wie ist das jetzt auf die Binomialformel zurückzuführen, kann man das per Induktion zeigen?

Bei der b ist g'(x)=f'(x+y)f(-x)+f(x+y)f'(-x) oder?
Und wie kann man jetzt sehen, dass das gleich null ist

Bezug
                        
Bezug
Binomi/e-FKt.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:29 Do 10.05.2018
Autor: fred97


> Hallo fred!!!
>  
> Ja für dürfen die Leibniz-Regel als gegeben ansehen.
>  Es gilt dass [mm]f(x)g(x)=e^{(a+b)x}[/mm] ist.
>  Nun ist [mm]f,g:\IC\to\IC (fg)^{(n)}=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}f^{(k)}g^{(n-k)}[/mm]
> und somit [mm](e^{(a+b)x})^{(n)}=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}e^{ax}^{(k)}e^{bx}^{(n-k)}[/mm]
> Irgendwie verstehe ich nicht wie ich jetzt von der
> Leibnizregel auf die Binomialformel

Es sollte Dir doch klar sein,dass aus all dem nix wird,wenn Du nicht verwendest, dass die k-te Ableitung von [mm] e^{cx}, [/mm] wie aussieht?

So:  [mm] c^ke^{cx} [/mm]



Wie

> ist das jetzt auf die Binomialformel zurückzuführen, kann
> man das per Induktion zeigen?
>
> Bei der b ist g'(x)=f'(x+y)f(-x)+f(x+y)f'(-x) oder?

Ist Dir bekannt, wie man das Wort Kettenregel schreibt? Lerne es schreiben und mache dann aus dem + auf der rechten Seite ein - .


>  Und wie kann man jetzt sehen, dass das gleich null ist

Ich krieg die Krise.  Wie willst Du einen Beweis  führen, wenn Du die  gegebenen Voraussetzungen  nicht verwendest!

Für f soll doch gelten f'=f




Bezug
                                
Bezug
Binomi/e-FKt.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:45 Do 10.05.2018
Autor: gopro

Ist ja schon gut @fred97
Der eigentliche Sinn dieses Forums besteht doch darin anderen Menschen bei Aufgaben zu helfen oder Ideen zu geben und nicht darin zu meinen, dass ja alles glasklar ist. Wenn dies der Fall wäre würde ich ja nicht meine Frage in diesem Forum posten.
Ich habe jetzt versucht die Aufgabe soweit selbst zu lösen und versuche nun nicht mehr zu nerven mit meinen scheinbar "trivialen Problemen", da Mathematikprofessoren auch sicherlich Wichtigeres zu tun haben. ;-)

Bezug
                                        
Bezug
Binomi/e-FKt.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:54 Do 10.05.2018
Autor: fred97


> Ist ja schon gut @fred97
>  Der eigentliche Sinn dieses Forums besteht doch darin
> anderen Menschen bei Aufgaben zu helfen oder Ideen zu geben



Und was hab ich gemacht? In meinen beiden Antworten habe ich so viele Ideen und Hinweise  gegeben, dass Du die Aufgaben eigentlich hinbekommen solltest.

Fazit : Du hast Fragen gestellt,  ich habe Dir hilfreiche Antworten gegeben, was willst
Du mehr?


> und nicht darin zu meinen, dass ja alles glasklar ist. Wenn
> dies der Fall wäre würde ich ja nicht meine Frage in
> diesem Forum posten.
>  Ich habe jetzt versucht die Aufgabe soweit selbst zu
> lösen und versuche nun nicht mehr zu nerven mit meinen
> scheinbar "trivialen Problemen", da Mathematikprofessoren
> auch sicherlich Wichtigeres zu tun haben. ;-)


Bezug
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