Binomial- oder Normalverteilt? < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Folgende Aufgabe:
| Aufgabe | Es wird 20 mal gewürfelt. Die Summe aller geworfenen Augen sei S.
a) Was können Sie über die Verteilung von S sagen?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass S > 80 ist? |
zu a)
Es ist doch n=20, [mm] p=\bruch{1}{6} [/mm] und [mm] q=\bruch{5}{6} [/mm] oder?
Dann würde sich npq = 2,778 ergeben und somit wäre dies binomialverteilt. Oder ist die Aufgabe anders zu interpretieren?
b) Bei a) habe ich festgestellt, dass eine Binomialverteilung vorliegt. Bei b) sind wir jedoch wie folgt rangegangen: Der Mittelwert der möglichen Augensummen ist [mm] \bruch{20+120}{2}=70. [/mm] Die Varianz ist 2,916*20 = 58,32, folglich ist die Streeung 7,6368. Nach Standardisierung gilt also [mm] \bruch{80-70}{7,6368}=1,3094. [/mm] In der Standadrnormalverteilungstabelle erhalte ich für diesen Wert 0,9049. Also 1-0,9049 = 0,0951 = 9,51%. Wieso benutzt man bei Binomialverteilung trotzdem die Standardnormalverteilungstabelle? Oder habe ich Fehler gemacht?
MFG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Folgende Aufgabe:
>
> Es wird 20 mal gewürfelt. Die Summe aller geworfenen Augen
> sei S.
> a) Was können Sie über die Verteilung von S sagen?
> b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass S > 80 ist?
>
> zu a)
> Es ist doch n=20, [mm]p=\bruch{1}{6}[/mm] und [mm]q=\bruch{5}{6}[/mm] oder?
> Dann würde sich npq = 2,778 ergeben und somit wäre dies
> binomialverteilt.
So könnte man vorgehen, wenn man z.B. als
Zufallsgrösse die Anzahl der in 20 Würfen erzielten
Sechser betrachten würde. Dann hätte man eine
Binomialverteilung mit diesen Parametern.
Die Zufallsgrösse S ist aber ganz anders geartet.
Es ist [mm] S=A_1+A_2+.......+A_{20} [/mm] , wobei alle [mm] A_i
[/mm]
einer diskreten Gleichverteilung entsprechen:
[mm] P(A_i=k)=1/6 [/mm] für alle [mm] k\in\{1,2,\,...\,,6\}
[/mm]
Um die Verteilung von S zu beschreiben, kann
man den Mittelwert [mm] \overline{S} [/mm] berechnen und die Aussage
des ![[]](/images/popup.gif) Zentralen Grenzwertsatzes verwenden, dass eine
Summe aus identisch verteilten Zufallsvariablen
durch eine Normalverteilung angenähert wird,
und zwar umso besser, je grösser die Anzahl n
der Summanden ist. Das vorliegende n=20 ist
wohl genügend gross, um eine Normalverteilung
als gute Approximation zu betrachten.
> b) Bei a) habe ich festgestellt, dass eine
> Binomialverteilung vorliegt. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das ist für die Verteilung von S nicht wirklich
der Fall.
Bei b) sind wir jedoch wie
> folgt rangegangen: Der Mittelwert der möglichen
> Augensummen ist [mm]\bruch{20+120}{2}=70.[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Die Varianz ist
> 2,916*20 = 58,32, folglich ist die Streuung 7,6368.
Ist dir hier klar, woher z.B. die Zahl 2,916 kommt
und weshalb man diese dann mit 20 multipliziert ?
(Antworten im oben angegebenen Artikel !)
> Nach Standardisierung gilt also [mm]\bruch{80-70}{7,6368}=1,3094.[/mm] In
> der Standadrnormalverteilungstabelle erhalte ich für
> diesen Wert 0,9049. Also 1-0,9049 = 0,0951 = 9,51%. Wieso
> benutzt man bei Binomialverteilung trotzdem die
> Standardnormalverteilungstabelle?
Weil man Tabellen eben nur für die Standardverteilung
hat. Und, wohlgemerkt: auch eine Binomialverteilung
(was die Verteilung unserer Summe S gar nicht ist !)
kann nicht exakt, sondern nur näherungsweise durch
eine Normalverteilung wiedergegeben werden.
> Oder habe ich Fehler gemacht?
Offensichtliche Rechenfehler sehe ich keine. Man könnte
sich noch überlegen, ob man die Bedingung S>80
durch S>80.5 ersetzen soll, da ja S nur ganzzahlige
Werte annehmen kann. Ob das Schlussergebnis
dadurch etwas genauer wird, weiss ich aber nicht.
Es wird wohl ohnehin nur unwesentlich verändert.
LG Al-Chwarizmi
|
|
|
|
