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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:26 Do 14.09.2006 | | Autor: | clwoe |
Hi,
ich sitze gerade an dem Beweis der Binomischen Formel mittels vollständiger Induktion doch ich verstehe bestimmte Schritte einfach nicht und bin mittlerweile mit meinem Latein am Ende.
Ich schreibe hier mal den Beweis wie im Buch hin und schreibe meine Kommentare dazu.
[mm] (a+b)^n=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}a^{n-k}b^k
[/mm]
[mm] (a+b)^{n+1}=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}a^{n-k}b^k*(a+b)
[/mm]
So nun wird ausmultipliziert!
[mm] =\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}a^{n+1-k}b^k+\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}a^{n-k}b^{k+1}
[/mm]
So, nun kommt der erste Schritt der mir unklar ist. Ich verstehe zwar was gemacht wird, aber nicht den grund warum man es macht. Ich sehe darin irgendwie keine Notwendigkeit.
[mm] a^{n+1}+\summe_{k=1}^{n}\vektor{n \\ k}a^{n+1-k}b^k+\summe_{k=0}^{n-1}\vektor{n \\ k}a^{n-k}b^{k+1}+b^{n+1}
[/mm]
Warum werden hier die Summen umnummeriert. Man könnte sie doch auch so lassen wie sie vorher waren???
[mm] =a^{n+1}+\summe_{k=1}^{n}(\vektor{n \\ k}+\vektor{n \\ k-1})a^{n+1-k}b^k+b^{n+1}
[/mm]
Ich verstehe überhaupt nicht was hier ausgeklammert wird, vorallem habe ich versucht zurückzurechnen um es zu verstehen, aber no chance!
[mm] =a^{n+1}+\summe_{k=1}^{n}(\vektor{n +1\\ k})*a^{n+1-k}b^k+b^{n+1}
[/mm]
Wie wurden die Binomialkoeffizienten hier zusammengefasst zu einem. In meinem Buch steht einfach, das ist die Additionsregel für Binomialkoeffizienten, ich habe es auch versucht wieder nachzurechnen, aber auch hier komme ich nicht drauf.
[mm] =\summe_{k=0}^{n+1}(\vektor{n +1\\ k})*a^{n+1-k}b^k
[/mm]
Wieso fällt jetzt bei der erneuten Umnummerierung der Summe der hintere Term [mm] b^{n+1} [/mm] wieder weg, wenn ich den vorderen Term [mm] a^{n+1} [/mm] wieder mit reinziehe???
Tja, dies sind also meine Fragen, ich hoffe ihr könnt mir an den entsprechenden Stellen weiterhelfen, denn ich versuche schon seit Stunden zu verstehen wieso diese Schritte gemacht werden und wie man drauf kommt.
Gruß,
clwoe
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Kern der Angelegenheit ist die Formel
(*) [mm]{n \choose k} + {n \choose {k-1}} = {{n+1} \choose k}[/mm]
Auf die arbeitet man hin. Wenn du dir die Binomialkoeffizienten im Pascalschen Dreieck angeordnet denkst, so sagt die Formel, daß die Summe zweier nebeneinander stehender Binomialkoeffizienten gerade den auf Lücke darunter stehenden Binomialkoeffizienten ergibt. Der Beweis setzt nun die Kenntnis dieser Regel voraus.
Damit diese Regel anwendbar ist, müssen alle Binomialkoeffizienten auch definiert sein. Für [mm]k=0[/mm] macht der zweite Summand Schwierigkeiten, es ergäbe sich nämlich [mm]{n \choose {-1}}[/mm], und für [mm]k=n+1[/mm] macht der erste Schwierigkeiten, es ergäbe sich [mm]{n \choose {n+1}}[/mm]. Das ist der Grund, warum man darauf abzielt, die Summe nur von [mm]k=1[/mm] bis [mm]k=n[/mm] laufen zu lassen. Eine andere Möglichkeit, das Problem zu umschiffen, besteht darin,
[mm]{n \choose {-1}} = {n \choose {n+1}} = 0[/mm]
zu definieren. Dann muß man sich allerdings überlegen, daß (*) auch für [mm]k=0[/mm] und [mm]k=n+1[/mm] gilt, was aber offensichtlich ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:09 Do 14.09.2006 | | Autor: | clwoe |
Hallo,
danke erstmal für die Antwort, also wie man die beiden Binomialkoeffizienten zusammenfasst weiss ich jetzt, aber der Rest meiner Frage ist mir trotzdem immernoch total unklar. Wieso kann man die Binomialkoeffizienten so ausklammern wie es gemacht wurde. Und den letzten Schritt im Beweis verstehe ich auch noch nicht.
Vielleicht geht es noch ein bisschen genauer.
Gruß,
clwoe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:24 Do 14.09.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Clwe,
So nun wird ausmultipliziert!
$ [mm] =\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}a^{n+1-k}b^k+\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}a^{n-k}b^{k+1} [/mm] $
So, nun kommt der erste Schritt der mir unklar ist. Ich verstehe zwar was gemacht wird, aber nicht den grund warum man es macht. Ich sehe darin irgendwie keine Notwendigkeit.
[mm] a^{n+1}+\summe_{k=1}^{n}\vektor{n \\ k}a^{n+1-k}b^k+\summe_{k=0}^{n-1}\vektor{n \\
k}a^{n-k}b^{k+1}+b^{n+1} [/mm]
Warum werden hier die Summen umnummeriert. Man könnte sie doch auch so lassen wie sie vorher waren???
Es wird nicht umnummeriert, sondern bei der linken Summe der Summand für k=0 und bei der rechten Summe der Summand für k=n aus der Summe herausgenommen und gesondert addiert.
Jetzt ein Zwischenschritt: Die rechte Summe wird umnummeriert: Statt von k=0 bis n-1 wird von k=1 bis n addiert. Dann musst du aber an Stelle von k in den einzelnen Summanden k-1 schreiben. Also
[mm] \summe_{k=0}^{n-1}\vektor{n \\
k}a^{n-k}b^{k+1}+b^{n+1} = \summe_{k=1}^{n}\vektor{n \\
k-1}a^{n-(k-1)}b^{(k-1)+1}+b^{n+1} =\summe_{k=1}^{n}\vektor{n \\
k-1}a^{n-k+1}b^{k}+b^{n+1}[/mm]
Also hast du:
[mm] a^{n+1}+\summe_{k=1}^{n}\vektor{n \\ k}a^{n+1-k}b^k+\summe_{k=1}^{n}\vektor{n \\
k-1}a^{n+1-k}b^{k}+b^{n+1} [/mm]
Siehst du jetzt, wie man ausklammern kann?
$ [mm] =a^{n+1}+\summe_{k=1}^{n}(\vektor{n \\ k}+\vektor{n \\ k-1})a^{n+1-k}b^k+b^{n+1} [/mm] $
Vielleicht bekommst du den letzten Schritt jetzt alleine hin. Versuch's mal
Gruß
Sigrid
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:58 Do 14.09.2006 | | Autor: | clwoe |
Hallo,
danke erst mal für die klare Antwort. Jetzt habe ich verstanden warum man ausklammern kann. Die Summen bring ich natürlich beide auf den gleichen Index damit ich überhaupt ausklammern kann, stimmts???
Gut bis dahin passt es.
So, nun weiter:
Um von der Summe von 0 bis n-1 auf die neue Summe von 1 bis n zu kommen, also damit dann alles wieder stimmt, muss ich doch für k nun k-1 setzen, oder? Denn wenn vorher k=0 war und nun k=1 ist muss ich doch k-1 setzen damit k wieder 0 wird oder??? Ich denke wenn es so ist, dann habe ich es verstanden.
Nun sieht man auch wie man ausklammern kann, dieser Schritt wird in meinem Buch glaube ich übersprungen.
Ich bin mir auch noch nicht ganz sicher wie die einzelnen Zahlen dann eigentlich bei diesen Summen in den Summationsterm eingesetzt werden. Außerdem habe ich auch noch ein kleines Problem mit der Umnummerierung von Summen, also wie man eigentlich vorgehen muss, um eine Summe von0 bis n auf sagen wir mal 1 bis n oder auf 0 bis n-1 zu bringen. Könntest du mir vielleicht dazu noch ein kleines Beispiel geben und mir meine Fragen hoffentlich alle mit Ja beantworten? Dann hätte ich es glaub ich verstanden.
Danke und Gruß,
clwoe
$ [mm] \summe_{k=0}^{n-1}\vektor{n \\ k}a^{n-k}b^{k+1}+b^{n+1} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n}\vektor{n \\ k-1}a^{n-(k-1)}b^{(k-1)+1}+b^{n+1} =\summe_{k=1}^{n}\vektor{n \\ k-1}a^{n-k+1}b^{k}+b^{n+1} [/mm] $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:25 Do 14.09.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Clwoe,
> Hallo,
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> danke erst mal für die klare Antwort. Jetzt habe ich
> verstanden warum man ausklammern kann. Die Summen bring ich
> natürlich beide auf den gleichen Index damit ich überhaupt
> ausklammern kann, stimmts???
Genau ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Gut bis dahin passt es.
> So, nun weiter:
> Um von der Summe von 0 bis n-1 auf die neue Summe von 1
> bis n zu kommen, also damit dann alles wieder stimmt, muss
> ich doch für k nun k-1 setzen, oder? Denn wenn vorher k=0
> war und nun k=1 ist muss ich doch k-1 setzen damit k wieder
> 0 wird oder??? Ich denke wenn es so ist, dann habe ich es
> verstanden.
Das siehst du genau richtig.
> Nun sieht man auch wie man ausklammern kann, dieser
> Schritt wird in meinem Buch glaube ich übersprungen.
Daran musst du dich gewöhnen. Zwischenschritte, die der Autor als einfach annimmt, werden oft weggelassen.
> Ich bin mir auch noch nicht ganz sicher wie die einzelnen
> Zahlen dann eigentlich bei diesen Summen in den
> Summationsterm eingesetzt werden. Außerdem habe ich auch
> noch ein kleines Problem mit der Umnummerierung von Summen,
> also wie man eigentlich vorgehen muss, um eine Summe von0
> bis n auf sagen wir mal 1 bis n oder auf 0 bis n-1 zu
> bringen. Könntest du mir vielleicht dazu noch ein kleines
> Beispiel geben und mir meine Fragen hoffentlich alle mit Ja
> beantworten? Dann hätte ich es glaub ich verstanden.
Ich versuch's mal
$ [mm] \summe_{k=0}^{n} a^k [/mm] = [mm] a^0 [/mm] + [mm] a^1+ a^2 [/mm] + [mm] ...+a^{n-2} [/mm] + [mm] a^{n-1} [/mm] + [mm] a^n [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n-1} a^k [/mm] + [mm] a^n [/mm] $
oder:
$ [mm] \summe_{k=0}^{n} a^k [/mm] = [mm] a^0 [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{n} a^k [/mm] $
oder:
$ [mm] \summe_{k=0}^{n} a^k [/mm] = [mm] a^0 [/mm] + [mm] a^1 [/mm] + [mm] \summe_{k=2}^{n} a^k [/mm] $
Beantwortet das deine Frage?
Gruß
Sigrid
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:04 Do 14.09.2006 | | Autor: | clwoe |
Hallo,
jetzt hab ich es verstanden. Das ist ja gar nicht so schwer wie ich dachte. So etwas ist mir schon oft passiert, dass ich einfach bestimmte kleine Zwischenschritte nicht sehe und somit Probleme kriege.
Vielen Dank für deine Hilfe. Ich probier jetzt mal weiter, aber ich denke ich kriegs hin, wenn nicht melde ich mich wieder.
Danke und ciao,
clwoe
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