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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:36 Mi 10.11.2004 | | Autor: | Nessy |
Hallo,
ich habe folgende Aufgabe, die ich durch Ausrechnen lösen soll (keine vollst. Induktion):
[mm] \produkt_{k=1}^{n} \bruch{2k-1}{2k} [/mm] = [mm] 2^{-2n}{2n \choose n} [/mm] mit n [mm] \in [/mm] N
Nun hab ich überlegt, das ich den linken Term auch so umschreiben kann:
[mm] \left( \bruch{2*1-1}{2*1} \right)*\left( \bruch{2*2-1}{2*2} \right)*\left( \bruch{2*3-1}{2*3} \right)*....*\left( \bruch{2*n-1}{2*n} \right)
[/mm]
das hilft mir aber auch nicht weiter, weil ich nicht weiß wie ich damit auf den rechten Term kommen kann.
Also nehme ich jetzt den rechten Term:
[mm] 2^{-2n}* \bruch{2n!}{(n)!(2n-n)!} [/mm] = [mm] 2^{-2n}* \bruch{2n!}{(n)!(n)!} [/mm] = [mm] \bruch{2n!}{2^{2n}(n!)^2} [/mm] ????
hier komm ich aber auch nicht weiter...
Kann mir jemand vielleicht weiterhelfen?
Lieben Gruß
Nessy
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:50 Mi 10.11.2004 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> Hallo,
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> ich habe folgende Aufgabe, die ich durch Ausrechnen lösen
> soll (keine vollst. Induktion):
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> [mm]\produkt_{k=1}^{n} \bruch{2k-1}{2k}[/mm] = [mm]2^{-2n}{2n \choose n}[/mm]
> mit n [mm]\in[/mm] N
>
> Nun hab ich überlegt, das ich den linken Term auch so
> umschreiben kann:
>
> [mm]\left( \bruch{2*1-1}{2-1} \right)*\left( \bruch{2*2-1}{2-2} \right)*\left( \bruch{2*3-1}{2-3} \right)*....*\left( \bruch{2*n-1}{2-n} \right)
[/mm]
Im Nenner müsste ein Produkt stehen, keine Differenz! Dann hast du:
[mm]\left( \bruch{2*1-1}{2*1} \right)*\left( \bruch{2*2-1}{2*2} \right)*\left( \bruch{2*3-1}{2*3} \right)*....*\left( \bruch{2*n-1}{2*n} \right) = \left( \bruch{2-1}{2} \right)*\left( \bruch{4-1}{4} \right)*\left( \bruch{6-1}{6} \right)*....*\left( \bruch{2*n-1}{2n} \right)
[/mm]
Da du im Nenner imm 2n hast, siht das fast so aus, als wenn das auf deiner rechten Seite irgendwann zu deinem [mm] $2^{-2n}$ [/mm] führt. Probiere einfach mal aus, ob es jetzt geht. Ich weiss aber nicht, ob das dich weiterbringt.
>
>
> das hilft mir aber auch nicht weiter, weil ich nicht weiß
> wie ich damit auf den rechten Term kommen kann.
> Also nehme ich jetzt den rechten Term:
>
> [mm]2^{-2n}* \bruch{2n!}{(n)!(2n-n)!}[/mm] = [mm]2^{-2n}* \bruch{2n!}{(n)!(n)!}[/mm]
> = [mm]\bruch{2n!}{2^{2n}(n!)^2}[/mm] ????
>
> hier komm ich aber auch nicht weiter...
>
Gruß Micha 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:28 Do 11.11.2004 | | Autor: | Nessy |
Hallo Micha,
genauso hatte ich es auch, hab aus Versehen '*' mit '-' verwechselt :)
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:52 Do 11.11.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Nessy!
> [mm]\produkt_{k=1}^{n} \bruch{2k-1}{2k}[/mm] = [mm]2^{-2n}{2n \choose n}[/mm]
> mit n [mm]\in[/mm] N
Offenbar gilt:
[mm] $\frac{\prod\limits_{k=1}^{2n} k}{\prod\limits_{k=1}^n 2k} [/mm] = [mm] \prod\limits_{k=1}^n [/mm] (2k-1)$,
denn die geraden Faktoren kürzen sich ja gerade alle raus.
Somit erhalten wir:
[mm] $2^{-2n} \cdot [/mm] {2n [mm] \choose [/mm] n} = [mm] 2^{-2n} \cdot \frac{(2n)!}{n!\cdot n!} [/mm] = [mm] \frac{(2n)!}{2^n\cdot n! \cdot 2^n \cdot n!} [/mm] = [mm] \frac{(2n)!}{\prod\limits_{k=1}^n 2k \cdot \prod\limits_{k=1}^n 2k} [/mm] = [mm] \ldots$.
[/mm]
Ich nehme an den Rest kriegst du mit Hilfe der obigen Gleichung jetzt alleine hin. Wenn nicht, dann melde dich bitte wieder. 
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:36 Do 11.11.2004 | | Autor: | Nessy |
Hallo Julius,
vorerst danke für die Antwort!
Aber könntest du mir bitte erklären, wie du auf
> [mm]\frac{\prod\limits_{k=1}^{2n} k}{\prod\limits_{k=1}^n 2k} = \prod\limits_{k=1}^n (2k-1)[/mm],
>
kommst? Ich bin schon eine halbe Stunde am Rätseln aber ich komm nicht darauf!
Dadurch das ich das jetzt überhaupt nicht gepeilt habe, hilft mir der Rest leider nicht weiter.
Lieben Gruß
Nessy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:05 Fr 12.11.2004 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> Hallo Julius,
>
> vorerst danke für die Antwort!
>
> Aber könntest du mir bitte erklären, wie du auf
>
> > [mm]\frac{\prod\limits_{k=1}^{2n} k}{\prod\limits_{k=1}^n 2k} = \prod\limits_{k=1}^n (2k-1)[/mm],
>
> >
> kommst? Ich bin schon eine halbe Stunde am Rätseln aber ich
> komm nicht darauf!
Er hat doch im Zähler das Produkt aller Zahlen von 1 bis 2n und im Nenner das Produkt aller geraden Zahlen bis n. Mit etwas genauem Hinsehen heißt das, dass im Nenner von der Anzahl her nur halb soviele Zahlen stehen wie im Zähler (einmal zähle ich von 1 bis 2n und einmal nur von 1 bis n). Ausserdem seihst du, dass im Nenner alle geraden Zahlen stehen. Ich mach dir am Besten mal das Beispiel für n = 4 vor:
[mm]\frac{\prod\limits_{k=1}^{2*4} k}{\prod\limits_{k=1}^4 2k} = \frac{1*2*3*4*5*6*7*8}{2*4*6*8}= 1*3*5*7 = \prod\limits_{k=1}^4 (2k-1)[/mm] (2,4,6,8 haben sich herausgekürzt)
Ich hoffe es ist nun etwas anschaulicher geworden.
Gruß Micha
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