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| Aufgabe | a) Bei jedem Fußballturnier gibt es eine sogenannte Gruppenphase, in der in einer Gruppe jede Mannschaft genau einmal gegen jede andere spielt.
i. Wie viele Gruppenspiele gibt es in einer Gruppe, wenn in dieser insgesamt 3 (bzw. 4, 6) Mannschaften sind? Geben Sie eine begründete Lösung mithilfe von Binomialkoeffizienten an und für den Fall 4 auch eine konkrete Lösung, indem Sie alle Fälle systematisch aufschreiben.
ii. Wie lautet die allgemeine Lösung für n Mannschaften, ausgedrückt mithilfe von Binomialkoeffizienten (mit Begründung)?
iii. Geben Sie mit elementaren Mitteln (d.h. ohne explizite Verwendung von Binomialkoeffizienten) eine Lösung für ii. an. |
3 Mannschaften:
Mannschaft 1 spielt gegen 2 und 3
Mannschaft 2 spielt gegen 1 und 3
Mannschaft 3 spielt gegen 1 und 2
4 Mannschaften:
Mannschaft 1 spielt gegen 2,3,4
Mannschaft 2 spielt gegen 1,3,4
Mannschaft 3 spielt gegen 1,2,4
Mannschaft 4 spielt gegen 1,2,3
[mm] \vektor{4 \\ 2}= [/mm] 12 Möglichkeiten Aber eigentlich gibt es doch nur 6 Gruppenspiele (1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)
Ist hier die Reihenfolge wichtig? Ich weiß nicht wie man das mit Binomialkoeffizient machen soll. ich dachte [mm] \vektor{3 \\ 2} [/mm] weil 3 Mannschaften sind und immer 2 gegeneinander spielen.
MfG
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:19 Do 15.11.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> a) Bei jedem Fußballturnier gibt es eine sogenannte
> Gruppenphase, in der in einer Gruppe jede Mannschaft genau
> einmal gegen jede andere spielt.
>
> i. Wie viele Gruppenspiele gibt es in einer Gruppe, wenn in
> dieser insgesamt 3 (bzw. 4, 6) Mannschaften sind? Geben Sie
> eine begründete Lösung mithilfe von Binomialkoeffizienten
> an und für den Fall 4 auch eine konkrete Lösung, indem
> Sie alle Fälle systematisch aufschreiben.
>
> ii. Wie lautet die allgemeine Lösung für n Mannschaften,
> ausgedrückt mithilfe von Binomialkoeffizienten (mit
> Begründung)?
Wenn du mit den Binomialkoeffizienten arbeiten willst, musst du die Anzahl der Spiele mit [mm] \frac{{n\choose2}}{2} [/mm] berechnen.
Mit [mm] {n\choose2} [/mm] berechnest du die Möglichkeiten, aus den n Teans zwei auszuwählen, aber hierbei sind die Spiele I,II und II;I dabei. Also, da jeder nur einmal gegeneinander spielen sol, musst du diesen Wert noh durch 2 Teilen.
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> iii. Geben Sie mit elementaren Mitteln (d.h. ohne explizite
> Verwendung von Binomialkoeffizienten) eine Lösung für ii.
> an.
> 3 Mannschaften:
> Mannschaft 1 spielt gegen 2 und 3
> Mannschaft 2 spielt gegen 1 und 3
> Mannschaft 3 spielt gegen 1 und 2
>
>
> 4 Mannschaften:
> Mannschaft 1 spielt gegen 2,3,4
> Mannschaft 2 spielt gegen 1,3,4
> Mannschaft 3 spielt gegen 1,2,4
> Mannschaft 4 spielt gegen 1,2,3
>
> [mm]\vektor{4 \\
2}=[/mm] 12 Möglichkeiten Aber eigentlich gibt es
> doch nur 6 Gruppenspiele
> (1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)
>
> Ist hier die Reihenfolge wichtig? Ich weiß nicht wie man
> das mit Binomialkoeffizient machen soll. ich dachte
> [mm]\vektor{3 \\
2}[/mm] weil 3 Mannschaften sind und immer 2
> gegeneinander spielen.
Das ist nicht schlecht, deine Lösung funktioniert aber nur, wenn es Hin- und Rückspiele geben soll, wie es in den meisten Ligen der Fall ist. Da hier aber nur ein Spiel gegeneinander gespielt werden soll (Vergleiche das mit der Gruppenphase einer WM/EM in fast allen Sportarten), musst du das Ergebnis noch durch 2 Teilen.
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>
> MfG
> Mathegirl
Marius
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