Binomialkoeffizient < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:23 Sa 17.11.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Ich frage mich wie man auf:
[mm] \vektor{-n \\ k} [/mm] = [mm] (-1)^k \vektor{n+k-1 \\ k} [/mm]
kommt. |
Der Prof. hat das leider nur hingeschrieben und nicht erklärt. ich wüsste gerne wie man auf das komm!!
für natürliche Zahlen [mm] \vektor{n \\ k}=\frac{n!}{k!*(n-k)!}=\frac{n*(n-1)*...*(n-k+1)}{k!}
[/mm]
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:35 Sa 17.11.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Ich frage mich wie man auf:
>
> [mm]\vektor{-n \\
k}[/mm] = [mm](-1)^k \vektor{n+k-1 \\
k}[/mm]
>
> kommt.
>
> Der Prof. hat das leider nur hingeschrieben und nicht
> erklärt. ich wüsste gerne wie man auf das komm!!
>
> für natürliche Zahlen [mm]\vektor{n \\
k}=\frac{n!}{k!*(n-k)!}=\frac{n*(n-1)*...*(n-k+1)}{k!}[/mm]
>
> Liebe Grüße
Die Binomialkoeffizienten sind wie folgt definiert:
[mm] $\vektor{n \\ k}=\frac{n!}{k!*(n-k)!}$
[/mm]
Das erste Gleichheitszeichen ist also nur die Definition.
Das zweite Gleichheitszeichen ist dann nur noch eine Umformung mit den Fakultätetn, diese ist aber nicht sehr üblich.
[mm] $\frac{n!}{k!*(n-k)!}=\frac{n*(n-1)*...*(n-k+1)}{k!}$
[/mm]
Bei deiner Aufgabe also:
[mm] $(-1)^{k}\cdot{n+k-1\choose k}$ [/mm]
Definition anwenden
[mm] $(-1)^{k}\cdot\frac{(n-k+1)!}{k!\cdot(n-k+1-k)!}$ [/mm]
Die erste Seite kommt mir seltsam vor:
Normalerweise ist [mm] ${n\choose k}$ [/mm] per Definition Null, wenn k<0, n<0 oder k<n.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:38 Sa 17.11.2012 | | Autor: | sissile |
Du hast das falsch verstanden:
> für natürliche Zahlen $ [mm] \vektor{n \\ k}=\frac{n!}{k!\cdot{}(n-k)!}=\frac{n\cdot{}(n-1)\cdot{}...\cdot{}(n-k+1)}{k!} [/mm] $
war mein Ansatz um auf das vom professor zu kommen, natürlich verstehe ich meinen eigenen Ansatz ;)
Das im Aufgabentext ist die Gleichung die ich nicht verstehe!
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Hallo sissile,
> Ich frage mich wie man auf:
>
> [mm]\vektor{-n \\
k}[/mm] = [mm](-1)^k \vektor{n+k-1 \\
k}[/mm]
>
> kommt.
>
> Der Prof. hat das leider nur hingeschrieben und nicht
> erklärt. ich wüsste gerne wie man auf das komm!!
Man wendet die allgemeine ![[]](/images/popup.gif) Definition der Binomialkoeffizienten an.
Nehmen wir mal [mm] \vektor{-7\\3}=\bruch{(-7)*(-8)*(-9)}{1*2*3}=-84=(-1)^3\vektor{7+3-1\\k}=-\vektor{9\\3}
[/mm]
Die Formel Deines Profs ist ganz leicht herzuleiten, wenn man der Definition folgt. Die Beträge der Faktoren im Zähler gehen von n bis n+k-1 (genau k Faktoren, angefangen mit (-n)), die im Nenner von 1 bis k. Wenn man nur die Beträge der Faktoren betrachtet, steht da also das gleiche wie bei [mm] \vektor{n+k-1\\k}.
[/mm]
Im Zähler stehen aber k negative Faktoren, daher muss also noch der Faktor [mm] (-1)^k [/mm] dazu.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:04 Sa 17.11.2012 | | Autor: | sissile |
danke, ich denke ich verstehe es
Obwohl mich etwas irritiert dass du schrebst:
> Die Beträge der Faktoren im Zähler gehen von n bis n+k-1
und
$ [mm] \vektor{n \\ k}=\frac{n\cdot{}(n-1)\cdot{}...\cdot{}(n-k+1)}{k!} [/mm] $
also $ [mm] \vektor{-n \\ k}=\frac{-n\cdot{}...\cdot{}(-n-k+1)}{k!} [/mm] $
Aber mir ist es schon um einiges klarer geworden
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Hallo nochmal,
> danke, ich denke ich verstehe es
> Obwohl mich etwas irritiert dass du schrebst:
> > Die Beträge der Faktoren im Zähler gehen von n bis n+k-1
>
> und
> [mm]\vektor{n \\
k}=\frac{n\cdot{}(n-1)\cdot{}...\cdot{}(n-k+1)}{k!}[/mm]
Was hat diese Formel in diesem Zusammenhang verloren?
Besser wäre [mm] \vektor{n+k-1\\k}=\bruch{(n+k-1)*(n+k-2)*\cdots*(n+1)*n}{k!}
[/mm]
> also [mm]\vektor{-n \\
k}=\frac{-n\cdot{}...\cdot{}(-n-k+1)}{k!}[/mm]
Mal nur zwei Faktoren mehr ausgeschrieben:
[mm] =\bruch{(-n)*(-n-1)*\cdots*(-n-k+2)*(-n-k+1)}{k!}=\bruch{(-(n))*(-(n+1))*\cdots*(-(n+k-2))*(-(n+k-1))}{k!}
[/mm]
Das gleiche wie vorher, nur in umgekehrter Reihenfolge und mit k zusätzlichen "Minuszeichen", also [mm] (-1)^k.
[/mm]
> Aber mir ist es schon um einiges klarer geworden
Grüße
reverend
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