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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:15 Sa 27.10.2007 | | Autor: | Paul1985 |
Hallo zusammen,
ich versuche gerade die Sache mit den Binomialkoeffizienten zu verstehen und scheitere ein wenig.
In meinem Script steht:
Für k,n [mm] \in \IN_{0} [/mm] deffiniert man die Binomialkoeffizienten [mm] \vektor{n \\ k}
[/mm]
durch
[mm] \vektor{n\\ k} [/mm] := [mm] \bruch{n!}{k!(n-k)!} [/mm] falls 0 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] n, [mm] \vektor{n\\k} [/mm] := 0 falls k > n.
Soweit verstehe ich es.
Heißt ja soviel wie, wenn ich das ausrechnen möchte, setze ich ein und am Ende habe ich eine Zahl raus :)
Nun steht hier aber ....
[mm] \vektor{n\\k} [/mm] = [mm] \vektor {n\\n-k}
[/mm]
und hier scheitere ich ... Verstehe da nun überhaupt nichts :)
Ferner verstehe ich auch nicht:
Für 1 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] n gilt: [mm] \vektor{n\\k} [/mm] = [mm] \vektor{n-1\\k-1} [/mm] + [mm] \vektor{n-1\\k}
[/mm]
Zum letzteren... Heißt es soviel wie ich auf mein [mm] \vektor{n\\k} [/mm] komme wenn ich 2 andere Binomialkoeffizienten gegeben hab? und wenn ja.. kann ich die dann einfach so "addieren"?
Verwirrung total. 
Thx im Voraus !
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Hallo Paul1985!
> Hallo zusammen,
> ich versuche gerade die Sache mit den
> Binomialkoeffizienten zu verstehen und scheitere ein
> wenig.
>
> In meinem Script steht:
>
> Für k,n [mm]\in \IN_{0}[/mm] deffiniert man die
> Binomialkoeffizienten [mm]\vektor{n \\ k}[/mm]
> durch
>
> [mm]\vektor{n\\ k}[/mm] := [mm]\bruch{n!}{k!(n-k)!}[/mm] falls 0 [mm]\le[/mm] k [mm]\le[/mm] n,
> [mm]\vektor{n\\k}[/mm] := 0 falls k > n.
>
> Soweit verstehe ich es.
> Heißt ja soviel wie, wenn ich das ausrechnen möchte, setze
> ich ein und am Ende habe ich eine Zahl raus :)
>
> Nun steht hier aber ....
>
> [mm]\vektor{n\\k}[/mm] = [mm]\vektor {n\\n-k}[/mm]
> und hier scheitere ich
> ... Verstehe da nun überhaupt nichts :)
Da hilft einfaches Einsetzen weiter - hast du das mal gemacht? Dann hast du nämlich da stehen:
[mm] \vektor{n\\n-k}=\frac{n!}{(n-k)!(n-(n-k))!}=\frac{n!}{(n-k)!k!} [/mm] was genau das Gleiche ist wie bei [mm] \vektor{n\\k}
[/mm]
>
> Ferner verstehe ich auch nicht:
>
> Für 1 [mm]\le[/mm] k [mm]\le[/mm] n gilt: [mm]\vektor{n\\k}[/mm] = [mm]\vektor{n-1\\k-1}[/mm] +
> [mm]\vektor{n-1\\k}[/mm]
>
> Zum letzteren... Heißt es soviel wie ich auf mein
> [mm]\vektor{n\\k}[/mm] komme wenn ich 2 andere Binomialkoeffizienten
> gegeben hab? und wenn ja.. kann ich die dann einfach so
> "addieren"?
Ja, genau. Wenn du [mm] \vektor{n-1\\k-1} [/mm] und [mm] \vektor{n-1\\k} [/mm] kennst, kannst du sie einfach addieren und erhältst dasselbe wie [mm] \vektor{n\\k}. [/mm] Diese Formel lässt sich glaube ich ganz gut mit Induktion beweisen, falls du das machen möchtest.
Nun etwas klarer? ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]")
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 Sa 27.10.2007 | | Autor: | Paul1985 |
Danke für Deine Antwort !
$ [mm] \vektor{n\\n-k}=\frac{n!}{(n-k)!(n-(n-k))!}=\frac{n!}{(n-k)!k!} [/mm] $
Dem kann ich nicht ganz folgen...
habe ja :
n = n!
k = k!(n-k)!
wenn ich es nun einsetze...
[mm] =\frac{n!}{n!-(k!(n-k)}
[/mm]
irgendwas hab ich da falsch =/
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Hallo!
[mm] \vektor{n\\n-k}=\frac{n!}{(n-k)!(n-(n-k))!}=\frac{n!}{(n-k)!k!}
[/mm]
"n-k" steht ja in dem Falle für dein k aus dem Binomialkoeffizient, d.h. du setzt n-k einfach für k ein und du erhälst das was oben steht.
Gruß,
BeelzeBub
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:24 So 28.10.2007 | | Autor: | Paul1985 |
Supi, vielen vielen Dank.
nun verstehe ich es..
Habe aber noch ein kleines Klammerproblem.. Also verstehe es nicht :)
[mm] \vektor{n-1\\k-1} [/mm] + [mm] \vektor{n-1\\k} [/mm] = [mm] \bruch{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} [/mm] + [mm] \bruch{(n-1)!}{k!(n-k-1)!} [/mm] = [mm] \bruch{k(n-1)! + (n-k)(n-1)!}{k!(n-k)!} [/mm] = [mm] \bruch{n(n-1)!}{k!(n-k)!} [/mm] = [mm] \vektor{n\\k}
[/mm]
zu meinem Problem:
[mm] \vektor{n-1\\k-1} [/mm] + [mm] \vektor{n-1\\k} [/mm] = [mm] \bruch{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} [/mm] + [mm] \bruch{(n-1)!}{k!(n-k-1)!}
[/mm]
ist verständlich...
ab dann nicht mehr.... Ich komme nicht drauf, den Nenner für beide Brüche gleich zu bringen....
Auch blicke ich den Schritt vom vorletzten zum letzten Bruch nicht :)
Kann mir bitte jemand Schritt für Schritt die Umformung erklären?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:21 So 28.10.2007 | | Autor: | Herby |
Hallo Paul,
> Supi, vielen vielen Dank.
> nun verstehe ich es..
>
> Habe aber noch ein kleines Klammerproblem.. Also verstehe
> es nicht :)
>
> [mm]\vektor{n-1\\k-1}[/mm] + [mm]\vektor{n-1\\k}[/mm] =
> [mm]\bruch{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}[/mm] + [mm]\bruch{(n-1)!}{k!(n-k-1)!}[/mm] =
> [mm]\bruch{k(n-1)! + (n-k)(n-1)!}{k!(n-k)!}[/mm] =
> [mm]\bruch{n(n-1)!}{k!(n-k)!}[/mm] = [mm]\vektor{n\\k}[/mm]
>
> zu meinem Problem:
>
> [mm]\vektor{n-1\\k-1}[/mm] + [mm]\vektor{n-1\\k}[/mm] =
> [mm]\bruch{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}[/mm] + [mm]\bruch{(n-1)!}{k!(n-k-1)!}[/mm]
>
> ist verständlich...
>
> ab dann nicht mehr.... Ich komme nicht drauf, den Nenner
> für beide Brüche gleich zu bringen....
dann erweitere doch den linken Bruch mal mit k und den rechten mit (n-k):
[mm] \bruch{\red{k}(n-1)!}{\underbrace{\red{k}(k-1)!}_{=k!}(n-k)!}+\bruch{(n-1)!\red{(n-k)}}{k!\underbrace{(n-k-1)!\red{(n-k)}}_{=(n-k)!}}=\bruch{k(n-1)! + (n-k)(n-1)!}{k!(n-k)!}
[/mm]
> Auch blicke ich den Schritt vom vorletzten zum letzten
> Bruch nicht :)
klammere hier nun (n-1)! im Zähler aus:
[mm] \bruch{k\red{(n-1)!}+(n-k)\red{(n-1)!}}{k!(n-k)!}=\bruch{\red{(n-1)!}(k+n-k)}{k!(n-k)!}=\bruch{\overbrace{(n-1)!*n}^{=n!}}{k!(n-k)!}=\vektor{n\\k}
[/mm]
Liebe Grüße
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 Sa 19.01.2008 | | Autor: | Paul1985 |
Lese mir das hier gerade noch einmal durch..
Wieso ist (n-k)! * n = n! ?
n! haben wir ja als (n-k)! definiert gehabt.
Danke im Voraus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:33 Sa 19.01.2008 | | Autor: | Sabah |
Das ist schon richtig dass (n-k)! * n = n! ? ist.
Dass kann man mit vollständige Induktion beweisen, nur ich nicht.
Ich habe eine andere beweismethode.
z.b
n=4
4!= 1.2.3.4 =24
24 = [mm] 3!\*4
[/mm]
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Hallo Paul,
das stimmt ja so nicht, das gilt nur für k=1, also [mm] $(n-1)!\cdot{}n=n!$
[/mm]
Gegenbsp. n=5, k=2, dann ist [mm] $(n-k)!\cdot{}n=(5-3)!\cdot{}5=2!\cdot{}5=2\cdot{}5=10\neq [/mm] 120=5!=n!$
Auf welchen post, bzw. welche Stelle beziehst du dich denn genau?
Wo wird denn sowas behauptet?
Und was genau meinst du mit "wir haben $(n-k)!$ als $n!$ definiert"?
Das ist ja Murks ... (außer für k=0) 
LG
schachuzipus
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