Binomialkoeffizient und Reihe < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | zu zeigen: [mm] \summe_{k=0}^{n} {n \choose k}^2 = { 2n \choose n}[/mm] |
Kann mir jemand den entscheidenden Tip geben, mit dem ich diese Formel beweisen kann? hatte zunächst versucht über [mm] {n \choose k} = {n \choose n-k} [/mm] diese Reihe zusammen zu fassen, komme aber nicht weiter!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:11 Di 07.11.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> zu zeigen: [mm][mm]\summe_{k=0}^{n}[/mm] {n [mm]\choose k}^2[/mm] = { 2n [mm]\choose n}[/mm][/mm]
Kann mir jemand den entscheidenden Tip geben, mit dem ich diese Formel beweisen kann? hatte zunächst versucht über [mm]{n \choose k} = {n \choose n-k}[/mm] diese Reihe zusammen zu fassen, komme aber nicht weiter!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich probiere es mal.
[mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}^{2}
[/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^{n}\left[\bruch{n!}{(n-k)!*k!}\right]^{2}
[/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^{n}\left[\bruch{(n!)²}{((n-k)!)²*(k!)²}\right]
[/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^{n}\left[\bruch{n²*(n-1)²*(n-2)²*\cdots*(n-k)²*\cdots*2*1}{((n-k)²*\cdots*2*1)*(k²*(k-1)²*\cots*2*1)}\right]
[/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^{n}\left[\bruch{n²*(n-1)²*(n-2)²*\cdots*((n-k)-1)²}{k²*(k-1)²*\cdots*2*1}\right]
[/mm]
=
Und die Andere Seite:
[mm] \vektor{2n\\n}
[/mm]
[mm] =\bruch{(2n!)}{n!(2n-n)!}
[/mm]
[mm] =\bruch{2n*\cdots*n\cdots*2*1}{(n!)²}
[/mm]
[mm] =\bruch{2n*\cdots*(n+1)}{n!}
[/mm]
=
Hilft dir das irgendwie weiter? Ich habe mich nämlich gerade "verrannt"
Marius
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Das hilft mir leider nicht. Ich bekomme diese Quadrate nicht weg.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:24 Do 09.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:52 Di 07.11.2006 | | Autor: | luis52 |
Hallo vvz-master,
vielleicht geht's ja so: Fuer [mm] $(1+x)^{2n}$ [/mm] kann ich schreiben:
[mm] $(1+x)^{2n}=\sum_{m=0}^{2n}{2n \choose m} x^m$.
[/mm]
Andererseits gilt
$ [mm] (1+x)^{2n} [/mm] = [mm] (1+x)^n(1+x)^n [/mm] = [mm] \sum_{i=0}^{n} [/mm] {n [mm] \choose [/mm] i} [mm] x^i \sum_{j=0}^{n}{ n \choose j } x^j=\sum_{i=0}^{n} \sum_{j=0}^{n}{n \choose i} [/mm] { n [mm] \choose [/mm] j } [mm] x^{i+j}$.
[/mm]
Ein Koeffizientenvergleich vom [mm] $x^m$ [/mm] zeigt:
${2n [mm] \choose m}=\sum_{i=0}^m{n \choose i}{n\choose m-i}$
[/mm]
Setze ich nun $m=n$, so folgt
${2n [mm] \choose n}=\sum_{i=0}^n{n \choose i}{n\choose n-i} =\sum_{i=0}^n{n \choose i}^2$.
[/mm]
hth
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