Binomialkoeffizienten Beweis < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:51 Sa 25.10.2008 | | Autor: | martin2 |
bitte keine alternativvorschläge. wie unten angegeben habe ich bereits die komplette lösung auf eine andere variante gefunden aber ich will wissen wo bei meinem der fehler liegt und wie ich den beweis SO, wie ich es angefangen habe, korrekt durchführen kann
| Aufgabe | Bewiesen werden soll:
[mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] 2^{n}
[/mm]
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Eigentlich glaube ich mit meiner Beweisführung hier schon recht weit zu sein, und ich hoffe auch das es im groben richtig ist aber irgendwo fehlt mir da eine 1 ;)
induktionsanfang ist richtig. darauf will ich gar nicht eingehen.
dann n [mm] \to [/mm] n+1
bewiesen habe ich schon
[mm] \vektor{n+1 \\ k+1} [/mm] = [mm] \vektor{n \\ k+1} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ k}
[/mm]
nun wähle ich [mm] \overline{k}:=k+1
[/mm]
daher
[mm] \vektor{n+1 \\ \overline{k}} [/mm] = [mm] \vektor{n \\ \overline{k}} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ \overline{k}-1}
[/mm]
daher folgt aus
[mm] \summe_{k=0}^{n+1} \vektor{n+1 \\ k} [/mm] = [mm] 2^{n+1} \Rightarrow \summe_{\overline{k}=0}^{n+1} [/mm] ( [mm] \vektor{n \\ \overline{k}} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ \overline{k}-1} [/mm] ) = [mm] 2^{n+1}
[/mm]
das führt zu
[mm] \summe_{\overline{k}=0}^{n+1} \vektor{n \\ \overline{k}} [/mm] + [mm] \summe_{\overline{k}=0}^{n+1} \vektor{n \\ \overline{k}-1} [/mm] = [mm] 2^{n+1}
[/mm]
bzw (indexverschiebung 2. summand, auseinanderziehen 1. summand)
[mm] \vektor{n \\ n+1} [/mm] + [mm] \summe_{\overline{k}=0}^{n} \vektor{n \\ \overline{k}} [/mm] + [mm] \summe_{\overline{k}=-1}^{n} \vektor{n \\ \overline{k}} [/mm] = [mm] 2^{n+1}
[/mm]
da terme
[mm] \vektor{n \\ k} [/mm] :=0 für k>n
0 + [mm] \summe_{\overline{k}=0}^{n} \vektor{n \\ \overline{k}} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ -1} [/mm] + [mm] \summe_{\overline{k}=0}^{n} \vektor{n \\ \overline{k}} [/mm] = [mm] 2^{n+1}
[/mm]
nur da ich irgendwo gefunden hab dass [mm] \vektor{n \\ -1}=1 [/mm] und nicht 0, ist die lösung wieder käse.. wäre nett wenn jmd hier sagen könnte dass es definitiv nicht so geht, auch wenn man korrekturen macht. :P
zusätzlich steht in der aufgabenstellung noch k [mm] \in [/mm] {0,...,n}, ich benutze zwar [mm] \overline{k} [/mm] aber weiß nicht wie ich das vereinbaren kann mit der aufgabe
Soooo! Ich weiß dass es auch "anders" geht. habe den folgenden link gefunden. aber irgendwo muss ich doch den denkfehler eingebaut haben, da ich davon überzeugt bin, dass der beweis auch so durchführbar ist. deshalb bitte keine anderen lösungswege vorschlagen sondern entweder sagen "so geht es nicht. und warum." oder "der denkfehler ist da".
danke :)
https://matheraum.de/wissen/Induktion?mrsessionid=4e45c8077cde392dfc27665a3ba544f37ed90882
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Hallo!
Deine Beweisführung ist ein wenig dubios, bzw. falsch.
Auch wenn du das nicht hören wolltest: Das ist eine typische anwendung vom Binomischen Lehrsatz.
Sicherlich geht es auch anders.
> daher folgt aus
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n+1} \vektor{n+1 \\ k}[/mm] = [mm]2^{n+1} \Rightarrow \summe_{\overline{k}=1}^{n+2}[/mm]
?
Grüße Elvis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:46 Sa 25.10.2008 | | Autor: | martin2 |
habs revidiert.. wäre nett wenn jmd mir da, wo jetzt wieder der denkfehler ist auf die sprünge helfen könnte, bzw den korrekten weiteren verlauf anzudeuten oder auch nicht wenns einfach nicht geht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:52 Sa 25.10.2008 | | Autor: | abakus |
> habs revidiert.. wäre nett wenn jmd mir da, wo jetzt wieder
> der denkfehler ist auf die sprünge helfen könnte, bzw den
> korrekten weiteren verlauf anzudeuten oder auch nicht wenns
> einfach nicht geht
Du brachst keine Induktion.
Entwickle einfach [mm] (a+b)^n [/mm] nach dem binomischen Satz und setze abschließend a=b=1
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:56 Sa 25.10.2008 | | Autor: | martin2 |
bitte keine alternativvorschläge. wie gesagt, ich hab den link zu einer kompletten lösung und die ist auch nachvollziehbar aber ich möchte meinen beweis korrekt haben. danke. würde mich freuen wenn sich wer die mühe macht das mal alles zu lesen oben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:02 Sa 25.10.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Was mir speziell auffällt, ist, dass du nicht immer das, was du zeigen willst, die ganze Zeit schon hinschreibst, also die [mm] 2^{n+1}. [/mm] Macht man normalerweise erst ganz am Ende!
Und wenn du
[mm] \overline{k}=k+1 [/mm] setzt, dann musst du das bei deinen Summenindizes auch machen!
Das heißt also, dass [mm] \overline{k}=0 [/mm] eher [mm] \overline{k}=1 [/mm] sein sollte!
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:25 Sa 25.10.2008 | | Autor: | martin2 |
hmm ich hatte es ja erst so, siehe die unbearbeitete fassung meiner frage, aber das wurde ja kritisiert.
andererseits hab ich mir überlegt dass ich [mm] \overline{k} [/mm] ja nur wähle um auf die form
[mm] \vektor{n+1 \\ \overline{k}} [/mm] = [mm] \vektor{n \\ \overline{k}} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ \overline{k}-1}
[/mm]
zu kommen, danach kann ich ja [mm] \overline{k} [/mm] einfach durch ein neues k oder j oder was auch immer ersetzen oder? durch die kritik bin ich nicht mehr sicher was richtig ist.
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Hallo,
das mit dem Index ist schon in Ordnung, s. meine andere Antwort.
Aber mir ist noch was anderes eingefallen: ich gehe davon aus, daß Ihr auch das Additionstheorem nur für [mm] k\ge [/mm] 1 gezeugt habt, was mitdm anderen, wa ich geschreiben habe, natürlich eng zusammenhängt.
Gruß v. Angela
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> [mm]\vektor{n \\ k}[/mm] :=0 für k>n
>
> 0 + [mm]\summe_{\overline{k}=0}^{n} \vektor{n \\ \overline{k}}[/mm]
> + [mm]\vektor{n \\ -1}[/mm] + [mm]\summe_{\overline{k}=0}^{n} \vektor{n \\ \overline{k}}[/mm]
> = [mm]2^{n+1}[/mm]
>
> nur da ich irgendwo gefunden hab dass [mm]\vektor{n \\ -1}=1[/mm]
> und nicht 0, ist die lösung wieder käse..
Hallo,
wo hast Du das denn gefunden?
Wenn Du ![[]](/images/popup.gif) hier guckst, steht da nämlich was anderes.
> wäre nett wenn
> jmd hier sagen könnte dass es definitiv nicht so geht, auch
> wenn man korrekturen macht. :P
Ich habe in dem, was Du schreibst, keinen Fehler gefunden, außer daß Du in der Induktion nicht das [mm] 2^{n+1} [/mm] die ganze zeit mitschleppen solltest. Du willst es ja erst zeigen.
Also
[mm] \summe_{k=0}^{n+1} \vektor{n+1 \\ k} =\summe_{\overline{k}=0}^{n+1} (\vektor{n \\ \overline{k}}+\vektor{n \\ \overline{k}-1} =....=2^{n+1}.
[/mm]
>
> zusätzlich steht in der aufgabenstellung noch k [mm]\in[/mm]
> {0,...,n}, ich benutze zwar [mm]\overline{k}[/mm] aber weiß nicht
> wie ich das vereinbaren kann mit der aufgabe
Wie Du den Summationsindex nennst, ob k, [mm] \overline{k}, [/mm] i, P, ist egal.
Sieht also alles gut aus bisher - und trotzdem wird Dein Beweis vermutlich nicht als "richtig" durchgehen aus gutem Grund:
ich bin mir ziemlich sicher, daß Ihr in der Vorlesung den Binomialkoeffizienten [mm] \vektor{n\\k} [/mm] nur für natürliche n und k definiert habt, eventuell noch für reelles n und natürliches k. Du arbeitest mit [mm] \vektor{n\\-1}, [/mm] und wenn es so ist, daß das in der Vorlesung nicht definiert wurde, ist das ein undefinierter Ausdruck.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:02 Sa 25.10.2008 | | Autor: | martin2 |
ah ok danke, d.h. mein beweis wäre richtig für n aus [mm] \IR [/mm] oder [mm] \IC [/mm] aber ansonsten geh ich wohl wie im gefundenen beweis vor. danke für die ausführliche antwort.
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> bitte keine alternativvorschläge. wie unten angegeben habe
> ich bereits die komplette lösung auf eine andere variante
> gefunden aber ich will wissen wo bei meinem der fehler
> liegt und wie ich den beweis SO, wie ich es angefangen
> habe, korrekt durchführen kann
>
> Bewiesen werden soll:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k}[/mm] = [mm]2^{n}[/mm]
>
> Eigentlich glaube ich mit meiner Beweisführung hier schon
> recht weit zu sein, und ich hoffe auch das es im groben
> richtig ist aber irgendwo fehlt mir da eine 1 ;)
>
> induktionsanfang ist richtig. darauf will ich gar nicht
> eingehen.
>
> dann n [mm]\to[/mm] n+1
>
> bewiesen habe ich schon
>
> [mm]\vektor{n+1 \\ k+1}[/mm] = [mm]\vektor{n \\ k+1}[/mm] + [mm]\vektor{n \\ k}[/mm]
>
> nun wähle ich [mm]\overline{k}:=k+1[/mm]
>
> daher
>
> [mm]\vektor{n+1 \\ \overline{k}}[/mm] = [mm]\vektor{n \\ \overline{k}}[/mm] +
> [mm]\vektor{n \\ \overline{k}-1}[/mm]
>
> daher folgt aus
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n+1} \vektor{n+1 \\ k}[/mm] = [mm]2^{n+1} [/mm]
Das darfst du noch gar nicht benutzen, sondern nur, dass die Formel bis n gilt. Wenn sie auch bis n+1 gelten würde, bräuchtest du doch gar nichts mehr zu beweisen!
(Rest s.u.)
> [mm]\Rightarrow \summe_{\overline{k}=0}^{n+1}[/mm]
> ( [mm]\vektor{n \\ \overline{k}}[/mm] + [mm]\vektor{n \\ \overline{k}-1}[/mm]
> ) = [mm]2^{n+1}[/mm]
>
> das führt zu
>
> [mm]\summe_{\overline{k}=0}^{n+1} \vektor{n \\ \overline{k}}[/mm] +
> [mm]\summe_{\overline{k}=0}^{n+1} \vektor{n \\ \overline{k}-1}[/mm]
> = [mm]2^{n+1}[/mm]
>
> bzw (indexverschiebung 2. summand, auseinanderziehen 1.
> summand)
>
> [mm]\vektor{n \\ n+1}[/mm] + [mm]\summe_{\overline{k}=0}^{n} \vektor{n \\ \overline{k}}[/mm]
> + [mm]\summe_{\overline{k}=-1}^{n} \vektor{n \\ \overline{k}}[/mm]
> = [mm]2^{n+1}[/mm]
>
> da terme
>
> [mm]\vektor{n \\ k}[/mm] :=0 für k>n
>
> 0 + [mm]\summe_{\overline{k}=0}^{n} \vektor{n \\ \overline{k}}[/mm]
> + [mm]\vektor{n \\ -1}[/mm] + [mm]\summe_{\overline{k}=0}^{n} \vektor{n \\ \overline{k}}[/mm]
> = [mm]2^{n+1}[/mm]
>
> nur da ich irgendwo gefunden hab dass [mm]\vektor{n \\ -1}=1[/mm]
> und nicht 0, ist die lösung wieder käse.. wäre nett wenn
> jmd hier sagen könnte dass es definitiv nicht so geht, auch
> wenn man korrekturen macht. :P
>
> zusätzlich steht in der aufgabenstellung noch k [mm]\in[/mm]
> {0,...,n}, ich benutze zwar [mm]\overline{k}[/mm] aber weiß nicht
> wie ich das vereinbaren kann mit der aufgabe
>
> Soooo! Ich weiß dass es auch "anders" geht. habe den
> folgenden link gefunden. aber irgendwo muss ich doch den
> denkfehler eingebaut haben, da ich davon überzeugt bin,
> dass der beweis auch so durchführbar ist. deshalb bitte
> keine anderen lösungswege vorschlagen sondern entweder
> sagen "so geht es nicht. und warum." oder "der denkfehler
> ist da".
>
> danke :)
>
> https://matheraum.de/wissen/Induktion?mrsessionid=4e45c8077cde392dfc27665a3ba544f37ed90882
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Es gibt 2 Probleme beim Übergang zu n+1:
- Es gibt einen zusätzlichen Summanden (harmlos)
- In jedem Summanden ändert sich n in n+1 (gefährlich, aber das Problem hast du schon erkannt)
Um auf den Term mit n zurückgreifen zu können (sonst hat man keine Induktion, sondern einen anderen Beweis), musst du also alle n+1 in n "umwandeln".
[mm]\summe_{k=0}^{n+1} \vektor{n+1 \\ k}[/mm] =
(ersten und letzten Summanden gesondert betrachten)
[mm]1+\summe_{k=1}^{n} (\vektor{n+1\\ k})+1[/mm] =
(aufdröseln)
[mm]1+\summe_{k=1}^{n} (\vektor{n\\ k-1}+\vektor{n\\ k})+1[/mm] =
(2 Summen)
[mm]1+\summe_{k=1}^{n} (\vektor{n\\ k-1})+\summe_{k=1}^{n} (\vektor{n\\ k})+1[/mm] =
(umnummerieren)
[mm]1+\summe_{k=0}^{n-1} (\vektor{n\\ k})+\summe_{k=1}^{n} (\vektor{n\\ k})+1[/mm] =
(jetzt die beiden 1-en wieder dazu, die erste hinten an die erste, die zweite vorne vor die zweite Summe)
[mm]\summe_{k=0}^{n} (\vektor{n\\ k})+\summe_{k=0}^{n} (\vektor{n\\ k})[/mm] =
=[mm]2*\summe_{k=0}^{n} (\vektor{n\\ k}))[/mm] =
(jetzt erst die I.Voraussetzung!)
[mm] 2*2^n [/mm] = [mm] 2^{n+1}
[/mm]
Der Witz besteht darin, auf den ersten und letzten Summanden nicht irgendwelche Verschiebungs-Indizes anzuwenden, sondern sie als 1 abzusondern und wieder einzufügen. Das hat damit zu tun, dass im Pascalschen Dreieck die Ränder als 1 festgelegt sind und nicht als Summe der darüberstehenden Glieder gebildet werden können.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:26 Sa 25.10.2008 | | Autor: | martin2 |
super! vielen dank für die ebenfalls sehr ausfürliche hilfe! :)
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