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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:28 Mo 21.11.2005 | | Autor: | Doreen |
Hallo,
da bin ich schon wieder....
Gerade hat zu mir der Prof. gesagt, die folgende Aufgabe
dürfen wir über den Lehrsatz der Binomischen Formel beweisen...
er meinte, das hat man in einer Zeile....
binomische Lehrsatz lautet: [mm] (a+b)^{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n\\k} a^{n-k}*b^{k} [/mm] für n [mm] \in \IN [/mm] ohne NULL
meine Aufgabe: [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n\\k} [/mm] = [mm] 2^{n} [/mm] für n [mm] \in \IN [/mm] ab 1 ohne NULL
Also dafür habe ich jetzt den Lehrsatz hergenommen, unter der Annahme, das: a=1 und b=1 denn das entspricht [mm] 2^{n}
[/mm]
dann steht da: [mm] 2^{n} =\vektor{\summe_{k=0}^{n} \vektor{n\\k} + \summe_{k=1}^{n} \vektor{n\\k}} *a^{n-k}*b^{k}
[/mm]
= [mm] 2^{n}= \vektor{\summe_{k=0}^{1} \vektor{1\\0}+ \summe_{k=1}^{1}\vektor{1\\1}} *1^{n-k}*1^{k} [/mm]
dann wie laut Vorgabe eingesetzt: 2=2 somit ist die Aussage wahr...
Ist das bis hier richtig?
Muß ich dann auch noch das für n+1 zeigen?
Wenn nämlich ja, dann komm ich genau da nicht weiter,
denn da habe ich schon einige Sachen ausprobiert
und ich komme unten immer auf
[mm] 1^{n+1+1} [/mm] + [mm] 1^{n} [/mm] und das ist nicht [mm] 2^{n+1} [/mm] oder übersehe ich
da was...
Kann mir jemand dazu den Ansatz geben bzgl. n+1
Vielen Dank im Voraus
Liebe Grüße Doreen
Diese Frage habe ich in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo Doreen!
Du sollst / darfst das ganz ohne vollständige Induktion lösen; brauchst also gar keinen Schritt $n \ [mm] \rightarrow [/mm] \ n+1$ zu vollziehen:
[mm] $2^n [/mm] \ = \ [mm] (\red{1}+\blue{1})^{n} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n\\k}*\red{1}^{n-k}*\blue{1}^{k} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n\\k}*\red{1}*\blue{1} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n\\k}$
[/mm]
Fertig!
Gruß vom
Roadrunner
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