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| Aufgabe | Benutzen Sie die Gleichung
[mm] (1+x)^{2n} [/mm] = [mm] ((1+x)^n)^2
[/mm]
und den Binomialsatz um die folgende Aussage zu zeigen:
[mm] \vektor{2n \\ k} [/mm] = [mm] \summe_{j=0}^{k} \vektor{n \\ j} \vektor{n \\ k-j} \forall [/mm] k, n [mm] \in \IN_0 [/mm] |
Hallo,
in der Vorlesung hatten wir, dass [mm] (1+x)^n [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} x^k [/mm]
Inwiefern das mir jetzt jedoch dabei helfen soll, die Aussage zu beweisen, weiß ich nicht, denn wenn ich die Formel für [mm] (1+x)^n [/mm] einsetze habe ich eine große Summe da stehen, die noch quadriert werden muss... Hat jemand einen Tipp für mich?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:05 Mo 22.10.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
erst mal für 2n anwenden, dann für n und Cauchyprodukt, dann Koeffizientenvergleich
Gruss leduart
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Cauchy Produkt hatten wir noch nicht.
Ich habe Analysis I ja erst in diesem Wintersemester angefangen, und wir stehen noch am Anfang. Wir haben bisher ein paar Summenformeln bewiesen, das Prinzip der vollständigen Induktion durchgenommen, elementare Kombinatorik gemacht (über die Potenzmenge haben wir den Binomialkoeffizienten eingeführt...), und in der letzten Vorlesung haben wir die reellen Zahlen eingeführt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:36 Di 23.10.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
dann überlege dir. was bei [mm] (\summe_{k=1}^{n}\vektor{n \\ k}x^k)^2 [/mm] bei [mm] x^{k} [/mm] steht und setz es gleich dem was bei [mm] x^k [/mm] in der anderen summe steht.
Gruss leduart
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Ok, also zu zeigen ist:
[mm] \vektor{2n \\ k} [/mm] = [mm] \summe_{j=0}^{k}\vektor{n \\ j}\vektor{n \\ k-j} \forall [/mm] k, n [mm] \in \IN_0
[/mm]
Ich mache dies über einen Koeffizientenvergleich.
Es gelten: [mm] (1+x)^n [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k} *x^k
[/mm]
[mm] (1+x)^{2n} [/mm] = [mm] ((1+x)^n)^2 [/mm] = [mm] (\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k} *x^k)^2 [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{2n}\vektor{2n \\ k} *x^k
[/mm]
Beweis:
[mm] \summe_{k=0}^{2n}\vektor{2n \\ k} *x^k
[/mm]
= [mm] (\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k} *x^k) [/mm] * [mm] (\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k} *x^k)
[/mm]
= [mm] [\vektor{n \\ 0} *x^0 [/mm] + [mm] \vektor{n \\ 1} [/mm] * [mm] x^1 [/mm] + ... + [mm] \vektor{n \\ n-1} [/mm] * [mm] x^{n-1} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ n} [/mm] * [mm] x^n] [/mm] * [mm] [\vektor{n \\ 0} *x^0 [/mm] + [mm] \vektor{n \\ 1} [/mm] * [mm] x^1 [/mm] + ... + [mm] \vektor{n \\ n-1} [/mm] * [mm] x^{n-1} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ n} [/mm] * [mm] x^n]
[/mm]
= [mm] \vektor{n \\ 0} [/mm] * [mm] x^0 [/mm] * [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k} *x^k [/mm] + [mm] \vektor{n \\ 1} [/mm] * [mm] x^1 [/mm] * [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k} *x^k [/mm] + ... + [mm] \vektor{n \\ n-1} [/mm] * [mm] x^{n-1} [/mm] * [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k} *x^k [/mm] + [mm] \vektor{n \\ n} [/mm] * [mm] x^n [/mm] * [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k} *x^k
[/mm]
= [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ 0}\vektor{n \\ k} *x^{k+0} [/mm] + [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ 1}\vektor{n \\ k} *x^{k+1} [/mm] + ... + [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ n-1}\vektor{n \\ k} *x^{k+(n-1)} [/mm] + [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ n}\vektor{n \\ k} *x^{k+n}
[/mm]
= [mm] \summe_{j=0}^{n}\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ j}\vektor{n \\ k} *x^{k+j}
[/mm]
= [mm] \summe_{k=0}^{n}\summe_{j=0}^{n}\vektor{n \\ j}\vektor{n \\ k} *x^{k+j}
[/mm]
= [mm] \summe_{i=0}^{2n}(\summe_{k+j=i}^{}\vektor{n \\ j}\vektor{n \\ k}) *x^{i}
[/mm]
= [mm] \summe_{i=0}^{2n}(\summe_{j=0}^{i}\vektor{n \\ j}\vektor{n \\ i-j}) *x^{i} [/mm] (Wie die Indizes heißen ist egal, also gilt die nächste Zeile)
= [mm] \summe_{k=0}^{2n}(\summe_{j=0}^{k}\vektor{n \\ j}\vektor{n \\ k-j}) *x^{k}
[/mm]
[mm] x^k [/mm] hat [mm] \summe_{j=0}^{k}\vektor{n \\ j}\vektor{n \\ k-j} [/mm] als Koeffizienten (für k = 0, ..., 2n) und die Summe ist dieselbe wie beim Beweisanfang.
[mm] \Rightarrow [/mm] Koeffizienten müssen gleich sein.
[mm] \Rightarrow \vektor{2n \\ k} [/mm] = [mm] \summe_{j=0}^{k}\vektor{n \\ j}\vektor{n \\ k-j}
[/mm]
[mm] \Box
[/mm]
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Hallo Blackburn,
das ist, soweit ich sehe, alles richtig. Es ist aber gar nicht nötig, sooo ausführlich zu werden, insbesondere müssen die Summen nicht aufgelöst werden in eine Schreibweise mit ... darin.
Es genügt hier völlig der Hinweis auf den Koeffizientenvergleich und die Rechnung:
[mm] \vektor{2n\\k}x^k=\summe_{s+t=k}\vektor{n\\s}x^s\vektor{n\\t}x^t=\summe_{i=0}^{k}\vektor{n\\i}x^i\vektor{n\\k-i}x^{k-i}=\summe_{i=0}^{k}\vektor{n\\i}\vektor{n\\k-i}x^k
[/mm]
Für x=1 folgt nun die zu zeigende Identität.
Grüße
reverend
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Ok, vielen Dank für deine Hilfe.
Ich habe die Aufgabe schon abgegeben. :)
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