Binomialver. durch Normalver. < stoch. Analysis < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:21 Do 08.10.2009 | | Autor: | oli_k |
Hallo,
eine Frage habe ich zu dieser Näherung:
Wieso nähert man das binomialverteilte P(X [mm] \le [/mm] x) stets als normalverteiltes [mm] \Phi(x) [/mm] an (natürlich [mm] \sigma>9 [/mm] vorausgesetzt)?
Ersteres ist doch P(0 [mm] \le [/mm] X [mm] \le [/mm] x), zweiteres aber [mm] P(-\infty \le [/mm] X [mm] \le [/mm] x), da man bei der Näherung durch eine Normalverteilung ja auch Werte nimmt, die es bei einer Binomialverteilung nicht nehmen darf (in diesem Falle X<0, in die andere Richtung X>n).
Sollte man nicht lieber [mm] \Phi(x)-\Phi(-\mu) [/mm] nehmen? Damit wäre doch alles links von n=0 von vornherein herausgenommen.
Könnt ihr meine Gedanken nachvollziehen und vielleicht was dazu sagen?
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:58 Do 08.10.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin Oliver,
*so* laeuft die Approximation. Vielmehr:
[mm] $P(X\le x)=P\left(\dfrac{X-np}{\sqrt{np(1-p)}}\le \frac{x-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right)$.
[/mm]
Die Zufallsvariable [mm] $Z=(X-np)/\sqrt{np(1-p)}$ [/mm] ist das standardisierte $X_$,
welche sehr wohl auch negative Werte annimmt, naemlich
[mm] $(0-np)/\sqrt{np(1-p)}$ ,$(1-np)/\sqrt{np(1-p)}$,\dots, $(n-np)/\sqrt{np(1-p)}$.
[/mm]
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:52 Do 08.10.2009 | | Autor: | oli_k |
... oder kürzer:
X liegt im Konfidenzintervall [mm] \mu\pm{d}, [/mm] wenn [mm] \Phi(\bruch{d+0,5}{\sigma})\ge{P}
[/mm]
Setze ich nun P=1, dann folgt d=unendlich und somit für X Werte über n bzw. unter 0, was bei Binomialverteilungen keinen Sinn macht. Korrekterweise müsste ja das Intervall von 0 bis n herauskommen.
Versagt da mein Denken oder die Näherung? Ich hoffe auf Zweiteres ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:40 Fr 09.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
Gegenfrage:
> X liegt im Konfidenzintervall [mm]\mu\pm{d},[/mm] wenn
> [mm]\Phi(\bruch{d+0,5}{\sigma})\ge{P}[/mm]
Was ist $P$ und warum willst du das ausgerechnet $= 1$ waehlen?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:59 Sa 10.10.2009 | | Autor: | oli_k |
Hi,
P ist die Ws., dass X im Bereich [mm] \mu\pm{d} [/mm] liegt. P=1 ist der einfachste Fall, weil sich dafür das gesamte mögliche Intervall ergeben müsste.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:19 Sa 10.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> P ist die Ws., dass X im Bereich [mm]\mu\pm{d}[/mm] liegt. P=1 ist
> der einfachste Fall, weil sich dafür das gesamte mögliche
> Intervall ergeben müsste.
Sowas hab ich mir schon gedacht. In dem Fall ist es auch voellig klar dass das gar keinen Sinn macht: du approximierst $X$ durch eine Normalverteilung, und eine Normalverteilung liegt niemals mit Wahrscheinlichkeit 1 in einem beschraenkten Intervall. Und $d = [mm] \infty$ [/mm] ist die einzige Wahl, dass das Konfidenzintervall unbeschraenkt ist (naemlich ganz [mm] $\IR$).
[/mm]
Deswegen waehlt man auch niemals $P = 1$, sondern $P = 0.9$, $P = 0.99$ oder $P = 0.95$ oder $P = 0.995$ oder sowas.
LG Felix
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> ... oder kürzer:
>
> X liegt im Konfidenzintervall [mm]\mu\pm{d},[/mm] wenn
> [mm]\Phi(\bruch{d+0,5}{\sigma})\ge{P}[/mm]
>
> Setze ich nun P=1, dann folgt d=unendlich und somit für X
> Werte über n bzw. unter 0, was bei Binomialverteilungen
> keinen Sinn macht. Korrekterweise müsste ja das Intervall
> von 0 bis n herauskommen.
>
> Versagt da mein Denken oder die Näherung? Ich hoffe auf
> Zweiteres ;)
Natürlich stimmen die Bereiche, in welchen die Binomial-
bzw. die Normalverteilung positive Werte haben, nicht
überein.
Dies ist aber für die allermeisten praktischen Fragen, in
welchen man es (unter der Voraussetzung [mm] \sigma>3)
[/mm]
mit der Annäherung einer Binomialverteilung durch
eine passend gewählte Normalverteilung zu tun hat,
absolut unerheblich. In einer Rechnung, in der es z.B.
um Wahrscheinlichkeiten im Zehntel-Promille-Bereich
geht (was schon sehr klein ist), spielt es schlicht keine
Rolle, wenn man anstelle gewisser Wahrscheinlichkeiten,
die (nach Binomialverteilung) exakt Null sein sollten,
Werte von z.B. einem Tausendstel Promille erhält.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:40 Fr 09.10.2009 | | Autor: | oli_k |
Tippfehler ;)
... aber darum geht es hier ja nicht.
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> Tippfehler ;)
> ... aber darum geht es hier ja nicht.
Mit dem Link meinte ich nicht den Tippfehler,
sondern eine Stelle, wo du nachlesen kannst
(in sehr kurzer Form), weshalb die Normalver-
teilung unter gewissen Voraussetzungen und
innerhalb gewisser Schranken als gute Annä-
herung für die Binomialverteilung nützlich ist.
LG Al-Chw.
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