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Forum "Stochastik" - Binomialverteilung - Würfeln
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Binomialverteilung - Würfeln: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:16 Sa 30.06.2012
Autor: Martinius

Aufgabe
Parameter bestimmen

Wie oft muss man würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90%

a) mindestens eine Sechs zu würfeln,

b) mindestens fünf Sechsen zu würfeln?


Hallo liebe Leute,

ich steh' gerade etwas auf dem Schlauch. Mir geht es um die Aufgabe b).


zu a)

$P(X [mm] \ge 1)\; [/mm] = [mm] \;\sum_{k=1}^{n}{n \choose k}* \left(\frac{1}{6} \right)^k* \left(\frac{5}{6} \right)^{n-k} \; \ge \;\; [/mm] 0,9$        Das n wäre zu bestimmen.

Das geht hier über die Gegen-Wahrscheinlichkeit:

$P(X [mm] \ge 1)\; [/mm] = [mm] \; [/mm] 1-P(X=0) [mm] \; [/mm] = [mm] \; [/mm] 1- [mm] \left(\frac{5}{6} \right)^n$ [/mm]

$ 1- [mm] \left(\frac{5}{6} \right)^n \ge [/mm] 0,9$

$n [mm] \; \ge \; \; \frac{ln(0,1)}{ln\left(\frac{5}{6}\right)}$ [/mm]

$n [mm] \; \ge \;12,63$ [/mm]

Man muss also mindestens 13 mal würfeln.




zu b)

[mm] $P(X\ge [/mm] 5) [mm] \; [/mm] = [mm] \; \sum_{k=5}^{n}{n \choose k}*\left(\frac{1}{6} \right)^k* \left(\frac{5}{6} \right)^{n-k} \; \ge \;\; [/mm] 0,9$

oder

$1-P(4 [mm] \ge [/mm] X [mm] \ge [/mm] 0) [mm] \; \ge \;\; [/mm] 0,9$

$0,1 [mm] \ge \; [/mm] P(4 [mm] \ge [/mm] X [mm] \ge [/mm] 0)$

$0,1 [mm] \; \ge \; \sum_{k=0}^{4}{n \choose k}*\left(\frac{1}{6} \right)^k* \left(\frac{5}{6} \right)^{n-k} [/mm] $

Das habe ich bisher gelöst mittels 1. einer Excel-Tabelle: n = 46.

Und 2. numerisch mit dem CAS des Voyage200 (Derive):

${n [mm] \choose 0}*\left(\frac{1}{6} \right)^0* \left(\frac{5}{6} \right)^{n}+{n \choose 1}*\left(\frac{1}{6} \right)^1* \left(\frac{5}{6} \right)^{n-1}+{n \choose 2}*\left(\frac{1}{6} \right)^2* \left(\frac{5}{6} \right)^{n-2}+{n \choose 3}*\left(\frac{1}{6} \right)^3* \left(\frac{5}{6} \right)^{n-3}+{n \choose 4}*\left(\frac{1}{6} \right)^4* \left(\frac{5}{6} \right)^{n-4}-0,1 \; [/mm] = [mm] \; [/mm] 0$

Ergebnis: $n [mm] \; \approx \; [/mm] 45,8965279495 ...$  ; also $n [mm] \; \ge \; [/mm] 46$.


Meine Frage: gibt es da keine geschickte Umformung wie in a), um das n zu errechnen?


Besten Dank für eine Antwort!

LG & gute Nacht,

Martinius

        
Bezug
Binomialverteilung - Würfeln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:32 Sa 30.06.2012
Autor: Diophant

Hallo Martinius,

mindestens fünf Sechsen = höchstens zweimal keine Sechs

Damit könntest du das ganze bei b) auf eine Wahrscehinlichkeit der Form [mm] P(X\le{2}) [/mm] bringen. Wobei das eigentliche Problem bestehen bleibt: es führt auf eine Gleichung der Form

[mm] P(n)*q^n-c=0 [/mm] ; P(n): Polynom in n, [mm] q,c\in\IR^{+} [/mm]

Meiner Ansicht nach bekommt man das nicht analytisch aufgelöst.


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Binomialverteilung - Würfeln: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:54 Sa 30.06.2012
Autor: Martinius

Hallo Diophant,

Dank Dir für Deine Antwort!

Dann bin ich ja beruhigt.


LG, Martinius

Bezug
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