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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:46 Sa 19.11.2005 | | Autor: | Angie |
Hallo!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich soll beweisen, dass für alle n [mm] \in \IN [/mm] und alle k [mm] \in [/mm] {0,...,2n} folgendes gilt:
[mm] \vektor{2n \\ k} \le \vektor{2n \\ n}
[/mm]
Bin jetzt soweit gekommen:
(2n!) / (k!(2n-k)!) [mm] \le [/mm] (2n!) / (n!(2n-n)!)
(k!(2n-k)!) [mm] \ge [/mm] (n!n!)
Aber komme jetzt leider nicht mehr weiter, habe es schon mit vollständiger Induktion versucht, aber da wurde alles nur noch komplizierter.
Wäre für einen Tipp sehr dankbar!
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> Hallo!
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Ich soll beweisen, dass für alle n [mm]\in \IN[/mm] und alle k [mm]\in[/mm]
> {0,...,2n} folgendes gilt:
>
> [mm]\vektor{2n \\ k} \le \vektor{2n \\ n}[/mm]
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> Bin jetzt soweit gekommen:
>
> (2n!) / (k!(2n-k)!) [mm]\le[/mm] (2n!) / (n!(2n-n)!)
>
> (k!(2n-k)!) [mm]\ge[/mm] (n!n!)
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> Aber komme jetzt leider nicht mehr weiter, habe es schon
> mit vollständiger Induktion versucht, aber da wurde alles
> nur noch komplizierter.
> Wäre für einen Tipp sehr dankbar!
Hallo,
laß uns mal, um die Sache mit den Fakultäten etwas übersichtlicher zu halten, zwei Fälle unterscheiden:
1. k [mm] \le [/mm] n
2. n< k [mm] \le [/mm] 2n
Zu 1.
Dann ist
[mm] \vektor{2n \\ k} [/mm]
[mm] =\bruch{(2n)!}{k! (2n-k)!} =\bruch{(2n)!}{k! (2n-k)!} \bruch{(k+1)(k+2)...(k+(n-k)}{(k+1)(k+2)...(k+(n-k))} [/mm]
[mm] =\bruch{(2n)!}{n! (2n-k)!} \bruch{(k+1)(k+2)...(k+(n-k))}{1} [/mm]
[mm] =\bruch{(2n)!}{n! n! (n+1)(n+2)...(n+(n-k))} \bruch{(k+1)(k+2)...(k+(n-k))}{1} =\bruch{(2n)!}{n! n!} \bruch{(k+1)(k+2)...(k+(n-k))}{(n+1)(n+2)...(n+(n-k)} [/mm]
= [mm] \vektor{2n \\ n}\bruch{(k+1)(k+2)...(k+(n-k))}{(n+1)(n+2)...(n+(n-k)}
[/mm]
[mm] =\vektor{2n \\ n}\bruch{(k+1)}{(n+1)}\bruch{(k+2)}{(n+2)}...\bruch{(k+(n-k))}{(n+(n-k)} \le [/mm] ...
Hier mußt Du Dir die [mm] \bruch{(k+i)}{(n+i)} [/mm] angucken, und berücksichtigen, daß n.V. k [mm] \le [/mm] n ist
2. Das dürfte sehr ähnlich gehen.
Gruß v. Angela
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