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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:21 Mo 27.11.2006 | | Autor: | max3000 |
| Aufgabe | Für alle [mm] a\in\IR [/mm] und alle [mm] x\in\IR [/mm] mit |x|<1 ist die binomische Reihe definiert.
[mm] b_{a}(x):=\summe_{n=0}^{\infty}\vektor{a \\ n}x^{n}
[/mm]
Zeigen sie:
Es gilt: [mm] b_{-a}(x)=b_{a}(x)^{-1} [/mm] |
Hallo alle zusammen.
Ich glaube ich habe ein bisschen geschlafen, wo wir Fakultät und Binomialkoeffizenten behandelt haben.
Ich komme so nicht weiter, weil wenn ich den Binomialkoeffizenten auflöse steht da irgendwann da: (-a)!
Ich habe echt keine Ahnung wie ich das auflösen soll, damit das positiv wird und am Ende im Nenner steht.
Wäre über eine Hilfe sehr dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gruß
Max
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Hier handelt es sich um verallgemeinerte Binomialkoeffizienten:
[mm]{a \choose k} = \frac{a \cdot (a-1) \cdot (a-2) \cdots (a-k+1)}{k!}[/mm]
wobei leere Produkte als 1 aufzufassen sind.
Die zu beweisende Bedingung kann äquivalent umgeformt werden:
[mm]b_{-a}(x) \cdot b_a(x) = 1[/mm]
Das ist eine Trivialität, wenn du den (bekannten) Wert der binomischen Reihe verwenden darfst. Wenn du das dagegen nicht darfst, scheint es mir nicht ganz simpel zu sein. Wenn du das Cauchy-Produkt der Reihen bildest, hast du nachzuweisen, daß
[mm]\sum_{k=0}^n~{a \choose k} \, {{-a} \choose {n-k}} = \begin{cases} 1 & \ \mbox{für} \ n = 0 \\ 0 & \ \mbox{für} \ n > 0 \end{cases}[/mm]
gilt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:22 Mo 27.11.2006 | | Autor: | max3000 |
Ich glaub so sollen wir das nicht machen.
Wir sollen einfach nur die Gleichung umformen.
Cauchy-Produkt hatten wir auch noch nicht, also das dürfte keine Lösung sein.
Ich muss einfach nur wissen, wie ich diese Gleichung mit dem Binomialkoeffizenten umformen kann damit ich dann am Ende dastehen habe:
[mm] b_{-a}(x)=\bruch{1}{\summe_{n=0}^{\infty}\vektor{a\\n}x^{n}}
[/mm]
Gibt es noch eine andere Lösungsvariante?
Ansonsten setz ich mich morgen mal in die Blibliothek und mache mich über das Cauchyprodukt schlau.
Vielen Dank schonmal.
Grüße
Max
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:06 Di 28.11.2006 | | Autor: | max3000 |
Alles klar.
Ich habs rausgefunden, wie es geht.
Vielen Dank.
Das kann man mit Cauchyprodukt machen und kommt mit dem Additionstheorem für Binomialkoeffizenten dann auf 1.
Grüße
Max
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Könntest du den Beweis in wesentlichen Zügen einmal aufschreiben? So ganz billig scheint er mir nicht zu sein. Hast du bedacht, daß [mm]a[/mm] nicht ganz sein muß?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:52 Do 30.11.2006 | | Autor: | max3000 |
Ich habs zwar schon abgegeben, aber ich denke ich bekomm das nochmal zusammen.
Da ja [mm] b_{-a}(x) [/mm] das multiplikativ inverse Element [mm] b_{a}(x)^{-1} [/mm] zu [mm] b_{a}(x) [/mm] ist muss das Produkt beider 1 ergeben.
Also haben wir:
[mm] (\summe_{n=1}^{\infty}\vektor{a \\ n}x^{n}) (\summe_{n=1}^{\infty}\vektor{-a \\ n}x^{n})
[/mm]
Das ganze ergibt mir Cauchyprodukt:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}x^{n}\summe_{i=0}^{n}\vektor{a \\ i}\vektor{-a \\ n-i}
[/mm]
Dann gibt es ein Additionstheorem für Binomialkoeffizenten, welches lautet:
[mm] \summe_{i=0}^{n}\vektor{a \\ i}\vektor{b \\ n-i}=\vektor{a+b \\ n}
[/mm]
Damit ergibt sich am Ende:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}x^{n}\vektor{0 \\ n}=1
[/mm]
Man sieht also, dass es ganz egal ist, ob jetzt a aus den ganzen Zahlen ist oder nicht.
Jedenfalls bricht die Reihe nach dem Glied n=0 wegen dem Binomialkoeffizenten ab und es bleibt nur noch
[mm] \vektor{0 \\ 0}x^{0} [/mm] = 1
stehen.
Ich hoffe das war jetzt alles korrekt und meine Antwort zufriedenstellend.
Grüße, Max!
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