Binomischer Lehrsatz mit Wurzl < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Berechnen sie a = [mm] 10^{2500} [/mm] - [mm] \wurzel[4]{10^{10000}-3} [/mm] auf ca. neunzehntausend führende Ziffern genau: Geben sie a im Dezimalsystem in normalisierter wissenschaftlicher Notation an, gerundet auf neunzehntausend Stellen nach dem Dezimalpunkt.
(Hinweis: [mm] \wurzel[4]{1 + x} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \vektor{1/4 \\ n} x^n [/mm] für |x| < 1) |
Hi Leute,
Folgende Aufgabe kam in meiner aktuellen Mathematik-Aufgabe, deren Stoff wir in der Regel erst in den nächsten Tagen kennenlernen werden in der Vorlesung.
Trotzdem wollte ich mich damit beschäftigen, weil es mich interessiert, das ohne Hilfe zu lösen :D
Also Ich weiß schonmal, dass der Hinweis auf dem binomischen Lehrsatz beruht und vereinfacht ist.
Desweiteren kann der Binonimalkoeffizient mit nicht-ganzzahligen Parametern wie folgt berechnet werden:
[mm] \vektor{a \\ i} [/mm] = [mm] \produkt_{j=1}^{i} \bruch{a+1-j}{j}
[/mm]
Bevor ich aber eine dieser Formeln brauche, stelle ich erstmal a um:
a = [mm] 10^{2500} [/mm] - [mm] \wurzel[4]{10^{10000}-3}
[/mm]
= [mm] 10^{2500} [/mm] - [mm] \wurzel[4]{(10^{10000}-3) * \bruch{10^{10000}}{10^{10000}}}
[/mm]
= [mm] 10^{2500} [/mm] - [mm] \wurzel[4]{(1-\bruch{3}{10^{10000}})} [/mm] * [mm] 10^{2500}
[/mm]
= [mm] 10^{2500} [/mm] - [mm] 10^{2500} [/mm] * x
Nach dem Hinweis gilt:
x = [mm] \wurzel[4]{(1-\bruch{3}{10^{10000}})}
[/mm]
= [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \vektor{1/4 \\ n} (\bruch{3}{10^{10000}})^n
[/mm]
Wie komme ich denn jetzt weiter?
Meine Idee war, man könnte die beiden Multiplikator im Summenzeichen trennen, aber laut Wikipedia darf man das nicht:
[mm] \sum_{k=m}^{n}a_k \cdot b_k \neq \sum_{k=m}^{n}a_k \cdot \sum_{k=m}^{n} b_k
[/mm]
Wäre das gegangen, hätte ich folgende Summationsformel anwenden können:
[mm] \summe_{n=0}^{k} q^n [/mm] = 1 + q + [mm] q^2 [/mm] + ... + [mm] q^k [/mm] = [mm] \bruch{1-q^{k+1}}{1-q} [/mm] , q [mm] \neq [/mm] 1
Mir fällt bloß gerade auf, dass [mm] k=\infty [/mm] wäre. Dann müsste ich ja auf Potenzreihen zugreifen, oder? Ein kleiner Denkanstoß, in diesem Problem wäre mir sehr hilfreich :D
Gruß,
Thomas
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:59 Di 27.05.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Thomas,
> Berechnen sie a = [mm]10^{2500}[/mm] - [mm]\wurzel[4]{10^{10000}-3}[/mm] auf
> ca. neunzehntausend führende Ziffern genau: Geben sie a im
> Dezimalsystem in normalisierter wissenschaftlicher Notation
> an, gerundet auf neunzehntausend Stellen nach dem
> Dezimalpunkt.
>
> (Hinweis: [mm]\wurzel[4]{1 + x}[/mm] = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \vektor{1/4 \\ n} x^n[/mm]
> für |x| < 1)
> Hi Leute,
> Folgende Aufgabe kam in meiner aktuellen
> Mathematik-Aufgabe, deren Stoff wir in der Regel erst in
> den nächsten Tagen kennenlernen werden in der Vorlesung.
> Trotzdem wollte ich mich damit beschäftigen, weil es mich
> interessiert, das ohne Hilfe zu lösen :D
Das ist gut. Aus welchem "Fach" ist die Aufgabe eigentlich?
> Also Ich weiß schonmal, dass der Hinweis auf dem
> binomischen Lehrsatz beruht und vereinfacht ist.
> Desweiteren kann der Binonimalkoeffizient mit
> nicht-ganzzahligen Parametern wie folgt berechnet werden:
> [mm]\vektor{a \\ i}[/mm] = [mm]\produkt_{j=1}^{i} \bruch{a+1-j}{j}[/mm]
>
>
> Bevor ich aber eine dieser Formeln brauche, stelle ich
> erstmal a um:
> a = [mm]10^{2500}[/mm] - [mm]\wurzel[4]{10^{10000}-3}[/mm]
> = [mm]10^{2500}[/mm] - [mm]\wurzel[4]{(10^{10000}-3) * \bruch{10^{10000}}{10^{10000}}}[/mm]
> = [mm]10^{2500}[/mm] - [mm]\wurzel[4]{(1-\bruch{3}{10^{10000}})}[/mm] *
> [mm]10^{2500}[/mm]
> = [mm]10^{2500}[/mm] - [mm]10^{2500}[/mm] * x
Die letzte Zeile ist verwirrend.
> Nach dem Hinweis gilt:
> x = [mm]\wurzel[4]{(1-\bruch{3}{10^{10000}})}[/mm]
> = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \vektor{1/4 \\ n} (\bruch{3}{10^{10000}})^n[/mm]
Wo ist das Minuszeichen abgeblieben?
> Wie komme ich denn jetzt weiter?
> Meine Idee war, man könnte die beiden Multiplikator im
> Summenzeichen trennen, aber laut Wikipedia darf man das
> nicht:
> [mm]\sum_{k=m}^{n}a_k \cdot b_k \neq \sum_{k=m}^{n}a_k \cdot \sum_{k=m}^{n} b_k[/mm]
>
> Wäre das gegangen, hätte ich folgende Summationsformel
> anwenden können:
> [mm]\summe_{n=0}^{k} q^n[/mm] = 1 + q + [mm]q^2[/mm] + ... + [mm]q^k[/mm] =
> [mm]\bruch{1-q^{k+1}}{1-q}[/mm] , q [mm]\neq[/mm] 1
>
> Mir fällt bloß gerade auf, dass [mm]k=\infty[/mm] wäre. Dann
> müsste ich ja auf Potenzreihen zugreifen, oder? Ein
> kleiner Denkanstoß, in diesem Problem wäre mir sehr
> hilfreich :D
Die Voraussetzung
$|x|<1$
hast du noch nicht genutzt. Es gilt:
[mm] \sum_{k=0}^{\infty}x^k=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n}x^k=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1-x^{n+1}}{1-x}\right)=\frac{1}{1-x} [/mm] für alle $|x|<1$.
Gruß
DieAcht
|
|
|
| |
|
Fach: Mathematik III (Analysis - hab's falsch eingeordnet)
Was verstehst du an der letzten Zeile nicht? Ich hab den Term in der Wurzel auf x substituiert, um darauf die Summenformel anwenden zu können.
Und ja bei x fehlt das Minus :)
Deine Formel kann ich doch gar nicht anwenden, solange ich dieses [mm] x^n [/mm] vom Rest in der Summe nicht trennen kann, oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:18 Mi 28.05.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Deine Formel kann ich doch gar nicht anwenden, solange ich dieses
> $ [mm] x^n [/mm] $ vom Rest in der Summe nicht trennen kann, oder?
die von der8 in die Diskussion gebrachte Summenformel für die geometrische Reihe kannst du tatsächlich nicht anwenden, aber zum Glück spielt sie hier auch gar keine Rolle.
Du bist ja an den führenden Ziffern interessiert, und die werden durch die ersten Summanden der Reihe geliefert.
Du hattest
[mm] a=10^{2500}-10^{2500}*x=10^{2500}*(1-x) [/mm] mit [mm] x=\summe_{n=0}^{\infty} \vektor{1/4 \\ n} (-3*10^{-10000})^n [/mm] also [mm] a=-10^{2500}*\summe_{n=1}^{\infty} \vektor{1/4 \\ n} (-3*10^{-10000})^n
[/mm]
Nun liegt [mm] -3*10^{-10000} [/mm] so dicht bei Null, dass die Reihenglieder schon nach wenigen n nur noch Beiträge jenseits der 19000ten Stelle liefern werden. In diesem Moment ist die gewünschte Genauigkeit bereits erreicht.
Gruß Sax.
|
|
|
| |
|
Ah verstehe.
Also soll ich einfach n einsetzen und z (siehe unten) ausrechnen?
Dafür nehme ich am besten den Koeffizienten davor noch mit, da er auch die Stelle der Ziffern beeinflusst. Andersrum kann ich auch sagen, dass, weil der Koeffizient das Ergebnis von x um 2.500 nach vorne verschiebt, x auf (19.000-2.500=) 16.500 Stellen genau sein muss, richtig?
[mm] a=10^{2500}+z
[/mm]
[mm] z=-10^{2500}*x=-10^{2500}*\summe_{n=1}^{\infty} \vektor{1/4 \\ n} (-3*10^{-10000})^n
[/mm]
Desweiteren wird x wohl bis zu diesen bestimmenden Stellen am Ende nur 0en haben. Würde ich das nun in a einsetzten und die Subtraktion ausführen wollen, würden lauter 9en stattdessen da stehen, was ich nicht mehr vereinfachen kann, sondern ich müsste alle Ziffern aufschreiben.
(Das ist warsch in der wissenschaftlichen Notation mit inbegriffen)
Mein Endergebnis müsste also in folgendem Schema sein:
a = [mm] 10^{2500} [/mm] - [mm] 10^{2500} [/mm] * x
a = [mm] 10^{2500} [/mm] - [mm] 10^{2500} [/mm] * [mm] (10^{-21500} [/mm] * [XXXXXXXX])
a = [mm] 10^{2500} [/mm] - [mm] 10^{-19000} [/mm] * [XXXXXXXX]
Wobei [XXXXXXXX] nur ein Beispiel für eine Zahl mit 8 Stellen ist, die auf die ganz rechte Ziffer gerundet ist. Wie viele Stellen ich tatsächlich schreiben muss bis nur noch 0en nach links hin kommen, werde ich dann selber sehen müssen.
In dem Beispiel mit 8 Ziffern muss ich das (nach wissenschaftlicher Notation) nur noch so verschieben, das nur noch eine Zahl vor dem Komma steht und die 10er-Potenz entsprechend korrigieren.
Also:
a = [mm] 10^{2500} [/mm] - [mm] 10^{-18993} [/mm] * [X,XXXXXXX]
Richtig soweit? :D
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Sa 31.05.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
