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| Aufgabe | | Der Graph der Funktion f mit f(x)= [mm] \bruch{1}{2}(e^x+e^{-x}) [/mm] heißt Kettenlinie. Berechnen sie die Länge der Kettenlinie im Intervall [-a;a] |
hallo,
abgeleitet hab ich schon die Grundfunktion und dann schon mal in die Formel eingesetzt
[mm] s=\integral_{-a}^{a}{\wurzel{1+(\bruch{1}{2}(e^x-e^{-x})²} dx}
[/mm]
da ich aber parametergrenzen hab, brauch ich die Stammfunktion von dem ganzen! ..... kann mir bitte jemand helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo King_of_queen und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Der Graph der Funktion f mit f(x)= [mm]\bruch{1}{2}(e^x+e^{-x})[/mm]
> heißt Kettenlinie. Berechnen sie die Länge der Kettenlinie
> im Intervall [-a;a]
> hallo,
>
> abgeleitet hab ich schon die Grundfunktion und dann schon
> mal in die Formel eingesetzt
>
> [mm]s=\integral_{-a}^{a}{\wurzel{1+(\bruch{1}{2}(e^x-e^{-x})²} dx}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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> da ich aber parametergrenzen hab, brauch ich die
> Stammfunktion von dem ganzen! ..... kann mir bitte jemand
> helfen?
Entweder weißt du, dass [mm] $\sinh(x)=\frac{1}{2}\left(e^x-e^{-x}\right)$ [/mm] und [mm] $\cosh(x)=\frac{1}{2}\left(e^x+e^{-x}\right)$ [/mm] ist und dass gilt [mm] $\sinh'(x)=\cosh(x)$ [/mm] und umgekehrt und vor allem den wichtigen Zusammenhang: [mm] $\cosh^2(x)-\sinh^2(x)=1$ [/mm] (damit kannst du die 1 unter der Wurzel ersetzen) oder - und das würde ich hier vorschlagen, du rechnest mal aus, was da unter der Wurzel steht
Es ist doch [mm] $1+\left[\frac{1}{2}\left(e^x-e^{-x}\right)\right]^2=1+\frac{1}{4}\left(e^{2x}-2+e^{-2x}\right)=\frac{2}{2}+\frac{1}{4}e^{2x}-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}e^{-2x}=\frac{1}{4}\left(e^{2x}\red{+}2+e^{-2x}\right)= [/mm] ....$
Nun das Ganze zurückrechnen, es ergibt sich netterweise ein Quadrat, das sich mit der Wurzel schön weghebt ...
Den Rest kannst du aus dem Lameng integrieren ...
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
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danke für die rasche antwort! ...... und danke für den netten empfang  ^^
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