Borel-Sigma Algebra < stoch. Analysis < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:50 Fr 01.05.2015 | | Autor: | Moebius |
| Aufgabe | | Geben Sie einige Mengen aus der Borel-Sigma-Algebra an (über [mm] \Omega [/mm] = [mm] \IR)! [/mm] Warum sind [mm] \IN [/mm] , [mm] \IZ [/mm] , [mm] \IQ, \IR [/mm] darin enthalten? |
Mir ist der Begriff der Borel-Sigma-Algebra noch nicht ganz klar.
Wir haben gelernt, dass "Die Borel-Sigma-Algebra ist die kleinstmögliche Sigma-Algebra (über [mm] \Omega [/mm] = [mm] \IR) [/mm] , die alle Intervalle enthält.
Was eine Sigma-Algebra ist weiß ich, aber wie ist das mit den "alle Intervalle" zu verstehen. Auf [mm] \IR [/mm] gibt es doch überabzählbar viele Intervalle oder?
Kann mir jemand mal ein Beispiel geben?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:45 Fr 01.05.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Moebius!
Auf [mm] \IR [/mm] betrachten wir die von den offenen Mengen erzeugte [mm] $\sigma$-
[/mm]
Algebra, also [mm] \mathcal{B}=\sigma(\mathcal{O}), [/mm] wobei [mm] \mathcal{O} [/mm] die Menge aller offenen Teil-
mengen von [mm] \IR [/mm] ist. Die [mm] $\sigma$-Algebra \mathcal{B} [/mm] heißt die [mm] Borel-$\sigma$-Algebra
[/mm]
auf [mm] \IR. [/mm] Es ist auch
[mm] \mathcal{B}=\sigma(\mathcal{O})=\sigma(\{(a,b)\colon -\infty\le a
also wird [mm] \mathcal{B} [/mm] auch von dem System der offenen Intervalle, dem
der links unbeschränkten und rechts beschränkten, abgeschlos-
senen Intervalle (mit rationalem Randpunkt) erzeugt (Beweis?).
> Kann mir jemand mal ein Beispiel geben?
Es gibt kein direktes Kriterium, so dass man aus [mm] A\subseteq\IR [/mm] auf
[mm] A\in\mathcal{B} [/mm] schließen kann.
Gruß
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:55 Fr 01.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Moebius!
>
>
> > Geben Sie einige Mengen aus der Borel-Sigma-Algebra an
> > (über [mm]\Omega[/mm] = [mm]\IR)![/mm] Warum sind [mm]\IN[/mm] , [mm]\IZ[/mm] , [mm]\IQ, \IR[/mm]
> > darin enthalten?
> > Mir ist der Begriff der Borel-Sigma-Algebra noch nicht
> > ganz klar.
> > Wir haben gelernt, dass "Die Borel-Sigma-Algebra ist die
> > kleinstmögliche Sigma-Algebra (über [mm]\Omega[/mm] = [mm]\IR)[/mm] , die
> > alle Intervalle enthält.
>
> Genau hier liegt der Fehler;
Was soll das für ein Fehler sein ?
FRED
> siehe unten.
>
> > Was eine Sigma-Algebra ist weiß ich, aber wie ist das mit
> > den "alle Intervalle" zu verstehen. Auf [mm]\IR[/mm] gibt es doch
> > überabzählbar viele Intervalle oder?
>
> Auf [mm]\IR[/mm] betrachten wir die von den offenen Mengen erzeugte
> [mm]\sigma[/mm]-
> Algebra, also [mm]\mathcal{B}=\sigma(\mathcal{O}),[/mm] wobei
> [mm]\mathcal{O}[/mm] die Menge aller offenen Teil-
> mengen von [mm]\IR[/mm] ist. Die [mm]\sigma[/mm]-Algebra [mm]\mathcal{B}[/mm] heißt
> die Borel-[mm]\sigma[/mm]-Algebra
> auf [mm]\IR.[/mm] Es ist auch
>
> [mm]\mathcal{B}=\sigma(\mathcal{O})=\sigma(\{(a,b)\colon -\infty\le a
>
> also wird [mm]\mathcal{B}[/mm] auch von dem System der offenen
> Intervalle, dem
> der links unbeschränkten und rechts beschränkten,
> abgeschlos-
> senen Intervalle (mit rationalem Randpunkt) erzeugt
> (Beweis?).
>
> > Kann mir jemand mal ein Beispiel geben?
>
> Es gibt kein direktes Kriterium, so dass man aus
> [mm]A\subseteq\IR[/mm] auf
> [mm]A\in\mathcal{B}[/mm] schließen kann.
>
>
> Gruß
> DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:05 Fr 01.05.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Fred,
> Was soll das für ein Fehler sein ?
Du hast natürlich Recht. Ich meinte eigentlich einen Gedanken-
fehler, da er weiter unten ein Verständnisproblem mit dem Be-
griff eines Intervalls und deren Eigenschaften hatte.
Ich denke, dass ihm nicht klar ist, dass die borelsche [mm] $\sigma$-Agebra
[/mm]
nicht alle Teilmengen von [mm] \IR [/mm] enthält.
Danke für die Korrektur!
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:31 Fr 01.05.2015 | | Autor: | Moebius |
Hallo DieAcht,
danke für deine schnelle Antwort, leider habe ich es noch nicht wirklich verstanden (um ehrlich zu sein gar nicht , bin gerade total am verzweifeln:(
Ist die Borel-Sigma-Algebra immer definiert über die [mm] \sigma [/mm] Algebra, die von allen offenen Teilmengen von [mm] \IR [/mm] erzeugt wird? Aber von diesen Mengen gibt es doch wieder abzählbar unendlich viele?
> also wird [mm]\mathcal{B}[/mm] auch von dem System der offenen
> Intervalle, dem
> der links unbeschränkten und rechts beschränkten,
> abgeschlos-
> senen Intervalle (mit rationalem Randpunkt) erzeugt
> (Beweis?).
>
Was sagt mir das denn jetzt aus? Kann ich jetzt daraus schließen, dass [mm] \IQ [/mm] auch in der Borel-Sigma-Algebra enthalten ist? Dafür müsste es doch ind er Borel-Sigma-Algebra eine Menge geben, die genau die Zahlen aus [mm] \IQ [/mm] enthält
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:08 Fr 01.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo DieAcht,
> danke für deine schnelle Antwort, leider habe ich es noch
> nicht wirklich verstanden (um ehrlich zu sein gar nicht ,
> bin gerade total am verzweifeln:(
> Ist die Borel-Sigma-Algebra immer definiert über die
> [mm]\sigma[/mm] Algebra, die von allen offenen Teilmengen von [mm]\IR[/mm]
> erzeugt wird?
Die offenen Teilmengen von [mm] \IR [/mm] bilden keine [mm] \sigma [/mm] -Algebra, aber sie erzeugen eine, nämlich die Borelsche [mm] \sigma [/mm] -Algebra.
> Aber von diesen Mengen gibt es doch wieder
> abzählbar unendlich viele?
Na und ?
>
> > also wird [mm]\mathcal{B}[/mm] auch von dem System der offenen
> > Intervalle, dem
> > der links unbeschränkten und rechts beschränkten,
> > abgeschlos-
> > senen Intervalle (mit rationalem Randpunkt) erzeugt
> > (Beweis?).
> >
>
> Was sagt mir das denn jetzt aus? Kann ich jetzt daraus
> schließen, dass [mm]\IQ[/mm] auch in der Borel-Sigma-Algebra
> enthalten ist? Dafür müsste es doch ind er
> Borel-Sigma-Algebra eine Menge geben, die genau die Zahlen
> aus [mm]\IQ[/mm] enthält
Zeig zunächst: ist x [mm] \in \IR, [/mm] so ist [mm] \{x\} [/mm] ein Element der Borelschen Mengen.
Nun bedenke: [mm] \IQ [/mm] ist abzählbar
FRED
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