Briefkastenproblem < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:49 Mo 02.11.2009 | | Autor: | Freak84 |
| Aufgabe | Das 'Briefkastenproblem': Für Positionen [mm] x_{1} [/mm] < [mm] x_{2} [/mm] < : : : < [mm] x_{n} [/mm] von n Haushalten entlang
einer Straße ist eine Zahl r (Position des Briefkastens) gesucht, so dass
[mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] | r - [mm] x_{i} [/mm] |
minimal wird. Bestimmen Sie die Lösungsmenge dieses Problems. |
Hi Leute
Ich habe als Tipp gesagt bekommen , dass die Lösungsmenge der Median sein wird, den man aus der Statistik kennt.
Nur ich weiß nicht genau, wie ich das zeigen kann.
Meine Idee war, dass ich zwischen den Haushalten [mm] x_{i} [/mm] und [mm] x_{i+1} [/mm] jeweils den Mittelwert bilde und so das Problem auf n-1 Haushalte verringere.
Dieses könnte ich ja n mal machen und würde einen aller letzten Wert bekommen.
Nach meinen Überlegungen müsste dieser auch das Optimale r sein.
Allerdings wie gesagt, weiß ich nicht genau wie ich das nun zeigen kann.
Wäre dankbar für Anregungen und Hilfe
Gruß
|
|
| |
|
Hallo,
ich würde dieses Problem wie jedes andere Extremwertproblem angehen. Summe aufschreiben ableiten und versuchen Null zu setzen. Leider leitet sich die Betragsfunktion nicht so gut ab.
[mm] \(\frac{\mathrm d}{\mathrm d r}|r-x| [/mm] = [mm] \mathrm{sign}(r-x)\)
[/mm]
Das wird also zur Vorzeichenfunktion.
Nun ist die Frage, was mit den verschiedenen Summanden wird und wie die untereinander aufeinander wirken. Aber darüber kannst du ja selber nachdenken.
Wichtig ist jedenfalls der Übergang vom negativen in den positiven Wert. Wann tritt der ein und vor allem warum?
So viel vornweg, es ist wirklich der Median, aber erklären könnte ich es noch nicht.
Viel Erfolg,
pi-roland.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Fr 06.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
Hallo Freak84,
ich meine, dass wir hier vor längerer Zeit einmal
genau diese Frage hatten und dass ich darauf
eine ausführliche Antwort geschrieben habe.
Damals war, soweit ich mich erinnere, aber nicht
die Frage für den optimalen Ort eines Briefkastens,
sondern für die Lage eines Postbüros.
Die Ausdünnung der öffentlichen Dienste zeigt
sich also offenbar auch in den Mathematikaufgaben ...
Ich muss diese aber zuerst wieder finden. Wenn
das der Fall ist, werde ich mich wieder melden.
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
> Das 'Briefkastenproblem': Für Positionen
[mm]x_{1}[/mm] < [mm]x_{2}[/mm] < ..... < [mm]x_{n}[/mm]
> von n Haushalten entlang einer Straße ist eine Zahl r
> (Position des Briefkastens) gesucht, so dass
[mm]\summe_{i=1}^{n}| r - x_{i}|[/mm]
> minimal wird. Bestimmen Sie die Lösungsmenge dieses
> Problems.
Hallo Michael,
Ich hatte mich doch nicht so genau erinnert.
Es ging nicht um ein Postbüro, sondern um eine
Telefonzentrale, und diese war meine eigene Er-
findung, um das Problem anschaulich zu machen.
Telefonzentrale
In einem anderen thread benützte ich für dieselbe
Frage ein anderes Bild:
Schlittenhunde
Ich hoffe, diese anschaulichen Lösungswege
überzeugen dich ...
Beachte, dass es bei der Lösungsmenge einen
Unterschied gibt, je nachdem ob n gerade oder
ungerade ist.
LG Al-Chw.
|
|
|
|
