Bruch in Dezimalzahl umwandeln < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Was ergibt [mm] \bruch{9}{26} [/mm] als Dezimalzahl?
Du kannst zwar einen Taschenrechner benutzen, aber löse diese Aufgabe nicht durch Division !! (also nicht durch Eintippen von 9:26) |
Das Ergebnis hat einen nicht-periodischen und einen periodischen Teil:
[mm] \bruch{9}{26}=\bruch{a}{10^{b}}+\bruch{p}{10^{b}*9*\summe_{i=0}^{k}10^{i}} [/mm]
a = die nicht-periodische Zahl
b = Anzahl der Stellen der nicht-periodischen Zahl
p = die periodische Zahl
k = Anzahl der Stellen der periodischen Zahl minus Eins
Um auf den Hauptnenner zu kommen, muss ich wissen, welches die kleinste Zahl der Form 999...000... ist, die sich ohne Rest durch 26 dividieren lässt.
Antwort: 9999990 , somit ist b=1 (die 1 NULL) und k=5 (die 6 NEUNEN)
1. Frage: Kann man das ohne Probieren rauskriegen?
Somit ergibt sich: [mm] \bruch{9}{26}=\bruch{x}{9999990}
[/mm]
Daraus folgt:
x=3461535 und [mm] 3461535=(a*9*\summe_{i=0}^{k}10^{i})+p
[/mm]
3461535=a*999999+p
Dann ergibt sich a=3 und p=461538
Also ist [mm] \bruch{9}{26}=0.3\overline{461538}
[/mm]
2. Frage: Gibt es eine andere (einfachere) Methode, um ohne direkte Division zu diesem Ergebnis zu kommen?
|
|
| |
|
Hallo rabilein1,
> Was ergibt [mm]\bruch{9}{26}[/mm] als Dezimalzahl?
>
> Du kannst zwar einen Taschenrechner benutzen, aber löse
> diese Aufgabe nicht durch Division !! (also nicht durch
> Eintippen von 9:26)
> Das Ergebnis hat einen nicht-periodischen und einen
> periodischen Teil:
>
> [mm]\bruch{9}{26}=\bruch{a}{10^{b}}+\bruch{p}{10^{b}*9*\summe_{i=0}^{k}10^{i}}[/mm]
>
> a = die nicht-periodische Zahl
> b = Anzahl der Stellen der nicht-periodischen Zahl
> p = die periodische Zahl
> k = Anzahl der Stellen der periodischen Zahl minus Eins
>
> Um auf den Hauptnenner zu kommen, muss ich wissen, welches
> die kleinste Zahl der Form 999...000... ist, die sich ohne
> Rest durch 26 dividieren lässt.
>
> Antwort: 9999990 , somit ist b=1 (die 1 NULL) und k=5
> (die 6 NEUNEN)
>
> 1. Frage: Kann man das ohne Probieren rauskriegen?
>
> Somit ergibt sich: [mm]\bruch{9}{26}=\bruch{x}{9999990}[/mm]
>
> Daraus folgt:
>
> x=3461535 und [mm]3461535=(a*9*\summe_{i=0}^{k}10^{i})+p[/mm]
>
> 3461535=a*999999+p
>
> Dann ergibt sich a=3 und p=461538
>
> Also ist [mm]\bruch{9}{26}=0.3\overline{461538}[/mm]
>
> 2. Frage: Gibt es eine andere (einfachere) Methode, um ohne
> direkte Division zu diesem Ergebnis zu kommen?
Ja, die gibt es:
[mm]9*10=90= \blue{3}* 26 + 12[/mm]
[mm]12*10=120=\blue{4}*26+16[/mm]
[mm]16*10=160=\blue{6}*26+4[/mm]
[mm]4*10=40=\blue{1}*26+14[/mm]
[mm]14*10=140=\blue{5}*26+10[/mm]
[mm]10*10=100=\blue{3}*26+22[/mm]
[mm]22*10=220=\blue{8}*26+12[/mm]
[mm]12*10=120=\blue{4}*26+16[/mm]
Und jetzt wiederholt sich alles, damit gilt:
[mm]\bruch{9}{26}=0,\blue{3\overline{461538}}[/mm]
Diese Methode kann immer für echte Brüche angewandt werden.
Entweder bricht diese Methode irgendwann ab oder die Reste wiederholen sich ab einer gewissen Stelle.
>
>
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
Hallo zusammen,
> > 2. Frage: Gibt es eine andere (einfachere) Methode, um ohne
> > direkte Division zu diesem Ergebnis zu kommen?
>
> Ja, die gibt es:
>
> [mm]9*10=90= \blue{3}* 26 + 12[/mm]
> [mm]12*10=120=\blue{4}*26+16[/mm]
> [mm]16*10=160=\blue{6}*26+4[/mm]
> [mm]4*10=40=\blue{1}*26+14[/mm]
> [mm]14*10=140=\blue{5}*26+10[/mm]
> [mm]10*10=100=\blue{3}*26+22[/mm]
> [mm]22*10=220=\blue{8}*26+12[/mm]
> [mm]12*10=120=\blue{4}*26+16[/mm]
>
> Und jetzt wiederholt sich alles, damit gilt:
>
> [mm]\bruch{9}{26}=0,\blue{3\overline{461538}}[/mm]
>
> Diese Methode kann immer für echte Brüche angewandt
> werden.
[mm] \red{=====>} [/mm] und sie beinhaltet eigentlich [mm] \red{NICHTS} [/mm] anderes als was wir einmal in der Schule beim schriftlichen Dividieren von Dezimalzahlen gelernt haben:
9 : 26 = [mm] 0.3\overline{461538}4....
[/mm]
0
90
78
120
104
160 <------- TeX macht da etwas
156 nicht ganz so wie ich will ...
40
26
140
130
100
78
220
208
120
104
16
etc.
Also haben wir am Ende [mm] \red{DOCH} [/mm] dividiert ?
Gruß
al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:03 Do 17.04.2008 | | Autor: | rabilein1 |
Danke, euch beiden, für eure Antworten.
Summa summarum würde ich dann sagen, dass das "normale Dividieren" hier immer noch der beste Weg ist.
Ich kam auf "meine" Methode eigentlich nur daher, weil ein Taschenrechner ja nur eine begrenzte Anzahl an Stellen anzeigt - so dass man eigentlich gar nicht sicher sein kann, ob es sich wirklich um eine Periode handelt.
|
|
|
|
