Bsp. f. verschiedene Abb. < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:17 Di 14.12.2010 | | Autor: | Lentio |
| Aufgabe | Aufgabe:
Gib jeweils ein Beispiel für eine lineare Abbildung mit den gegebenen
Eigenschaften an, oder begründe, warum es eine solche nicht gibt.
a) Eine lineare Abbildung
[mm] R_{\le2}[x] \to R_{\le3}[x], [/mm] die injektiv aber nicht surjektiv ist.
b) Eine surjektive, lineare Abbildung [mm] R^{3,2} \to R_{\le6}[x]
[/mm]
c) Eine injektive, lineare Abbildung [mm] R_{\le3}[x] \to R_{\le2}[x] [/mm] |
Hallo,
würde mich über Eure Hilfe freuen. Was ich mir bisher zusammen gesponnen habe ;)
zu a) Vorraussetzung dim Kern=0, dim Bildraum> dim Bild
[mm] L:ax^2+bx+c \to ax^3+bx^2+bx+c
[/mm]
Beweis Kern=0:
[mm] a^3+bx^2+bx+c=0p, [/mm] Koeffizientenvergleich liefert a=b=c=0
nicht surjektiv, da z.B [mm] x^2+4 [/mm] kein Urbild besitzt:
[mm] ax^3+bx^2+bx+c=x^2+4
[/mm]
Koeffizientenvergleich liefert LGS:
a=0
b=0
b=1 [mm] \Rightarrow [/mm] Widerspruchzeilen
c=4
[mm] \Rightarrow [/mm] keine Lösung
zu b)
naja, denke nicht, dass das geht.
Nach Dimensionssatz muss für Surjektivität gelten:
dim W (Bildraum)= dim Bild
[mm] \gdw [/mm] dim W (Bildraum)= dim V(Urbildr<um)- dim Kern.
Der Bildraum ist aber doch grösser (dim 7) als der Urbildraum (dim 6).
zu c)dazu hab ich leider keinen Ansatz :(
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:24 Di 14.12.2010 | | Autor: | Lentio |
denke c geht auch nicht. Wenn die Lin. Abbildung injektiv sein soll, muss gelten: Dim V= Dim Bild+ Dim Kern (={0}). Die Dimension des Bildes kann aber höchstens nur so groß sein wie die Dimension des Bildraums. Dieser ist aber in diesem Fall kleiner als dim V.
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Hallo Lentino,
> denke c geht auch nicht. Wenn die Lin. Abbildung injektiv
> sein soll, muss gelten:
Das gilt für jede lin. Abbildung (zumindest zwischen endl. dim. VRen)
> Dim V= Dim Bild+ Dim Kern (={0}).
Sauberer aufschreiben! Das [mm] $=\{0\}$ [/mm] ist doch nur der Kern ...
> Die Dimension des Bildes kann aber höchstens nur so groß
> sein wie die Dimension des Bildraums. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Dieser ist aber in
> diesem Fall kleiner als dim V.
Das verstehe ich nicht. Was bedeutet es, dass ein VR "kleiner" als eine Dimension ist? Wie vergleicht man VRe mit Zahlen?
Es sei denn, du meinst statt "Dieser (=Der Bildraum)" eher "Diese(=Dimension des Bildraumes)"
Dann wäre es richtig.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:33 Di 14.12.2010 | | Autor: | Lentio |
Danke für die Antwort und sorry wegen der unsauberen Schreibweise;)
Wie sieht es mit meinen Ansätzen zu a) und b) aus? Sind die okay?
Kann man da vielleicht noch mehr sagen/begründen?
Vom Verständnis her, würde es mich schon interessieren warum eine Abb. nicht surjektiv sein kann, wenn die Dimension Bildraum größer als die Dim Urbildraum ist.
Klar geht man mit dem Dimensionsatz ran, aber was steckt dahinter?!
mfg
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Du fragst, warum eine lineare Abbildung [mm] $f\colon V\rightarrow [/mm] W$ nicht surjektiv sein kann, wenn [mm] ${\rm dim\ }V=n$, ${\rm dim\ }W=m$ [/mm] und $n<m$.
Den Fall, dass [mm] $V=R^n$ [/mm] und [mm] $W=R^m$ [/mm] kennst Du schon. Dort kannst Du $f$ immer durch eine Matrix $A$ aus [mm] $R^{m,n}$ [/mm] darstellen, und die Spalten von $A$, also die Vektoren [mm] $Ae_1,\ldots,Ae_n$ [/mm] bilden dann ein Erzeugendensystem von [mm] ${\rm Bild\ }A$ [/mm] (was gleich [mm] ${\rm Bild\ }f$ [/mm] ist). Nun können $n$ Vektoren kein Erzeugendensystem von [mm] $R^m$ [/mm] sein, wenn $n<m$. Also kann [mm] ${\rm Bild\ }A$ [/mm] nicht gleich [mm] $R^m$ [/mm] sein. (In der Tat hast Du gelernt, wie Du in diesem Fall eine Basis von [mm] ${\rm Bild\ }A$ [/mm] und eine Basis von [mm] ${\rm Kern\ }A$ [/mm] bestimmst. Aus diesem Verfahren erkennst Du, dass [mm] ${\rm dim\ Bild\ }A={\rm Rang\ }A$ [/mm] (was natürlich eigentlich die Definition des Ranges ist) und dass [mm] ${\rm dim\
Kern\ }A=n-{\rm Rang\ }A$, [/mm] also [mm] ${\rm dim\ Bild\ }A+{\rm dim\ Kern\ }A=n$. [/mm] Der Dimensionssatz ist also nichts Geheimnisvolles.)
Der allgemeine Fall geht nun genauso. Bilden [mm] $b_1,\ldots,b_n$ [/mm] eine Basis von $V$, so bilden [mm] $f(b_1),\ldots,f(b_n)$ [/mm] ein Erzeugendensystem von [mm] ${\rm Bild\ }f$. [/mm] (Warum? Und warum ist [mm] ${\rm Bild\ }f$ [/mm] eigentlich ein Teilraum von $W$? Und wann sind diese Vektoren eine Basis von [mm] ${\rm Bild\ }f$?) [/mm] Ist nun die Dimension von $W$ größer als $n$, so können diese Vektoren kein Erzeugendensystem von $W$ bilden. Damit kann [mm] ${\rm Bild\ }f$ [/mm] nicht gleich $W$ sein.
Das nur, weil ich auch noch etwas Konstruktives beitragen wollte. Ich bin mir sicher, Dein Tutor oder Deine Mitstudenten hätten das auch gerne mit Dir diskutiert.
Gruß
Carsten
P.S.: Da wir den Dimensionssatz haben, ist obiges für die Lösung der Aufgabe unnötig. Nicht dass irgendjemand auf die Idee kommt, das abzuschreiben! Dann bekomme ich noch Ärger mit den Tutoren, die das korrigieren!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:40 Mi 15.12.2010 | | Autor: | CarstenS |
Lieber Lentio,
ich finde es gut, wenn Studenten über Hausaufgaben reden. Besonders gut finde ich es, wenn sie es untereinander tun. Nun steht hier durch Deine Frage aber eine Lösung dieser Aufgabe für jeden lesbar im Netz. Und es ist eine einfache Aufgabe, bei der man nicht mehr viel zu tun und aufzuschreiben hat, wenn man erst einmal verstanden hat, worum es geht. Sie ist damit auch wunderbar abzuschreiben, womit der Lernerfolg derer, die das tun, gering sein wird. Nun kann man sicher argumentieren, dass das deren Problem ist, aber trotzdem ziehe ich daraus den Schluss, dass wir, wenn das so weiter geht, keine so kurz lösbaren und relativ einfachen Aufgaben mehr stellen können.
Mit freundlichen Grüßen
Carsten
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Mo 20.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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