Bsp Bild Homöomor. nicht messb < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:08 So 18.11.2012 | | Autor: | Pia90 |
Hallo zusammen,
ich suche gerade ein Beispiel dafür, dass das Bild einer messbaren Menge M [mm] \subset \IR^n [/mm] unter einem Homöomorphismus g: [mm] \IR^n \to \IR^n [/mm] nicht messbar ist (sein muss). Aber irgendwie komme ich auf nichts Gescheites?
Hat zufällig hier jemand eins parat?
LG Pia
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Hiho,
> ich suche gerade ein Beispiel dafür, dass das Bild einer
> messbaren Menge M [mm]\subset \IR^n[/mm] unter einem
> Homöomorphismus g: [mm]\IR^n \to \IR^n[/mm] nicht messbar ist (sein
> muss). Aber irgendwie komme ich auf nichts Gescheites?
Meßbar bezüglich welcher Sigma-Algebren? Borelsche Sigma-Algebra? Oder ist dir das egal?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:46 So 18.11.2012 | | Autor: | Pia90 |
Ich muss gestehen, dass ich mich das auch schon gefragt habe, aber es wird überall nur von Messbarkeit gesprochen... (Ich dachte, ich sei nur zu doof, das richtig zu deuten).
Ich hätte jetzt in erster Linie an Lebesgue-Messbarkeit gedacht, das war jedenfalls mein erster Gedanke...
Die Borelsche Sigma-Algebra ist allerdings auch schonmal aufgetaucht. Aber da könnte vielleicht sogar gelten, dass das Bild einer messbaren Menge unter dem Homöomorphismus wieder messbar ist...
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Hiho,
> Ich muss gestehen, dass ich mich das auch schon gefragt habe, aber es wird überall nur von Messbarkeit gesprochen... (Ich dachte, ich sei nur zu doof, das richtig zu deuten).
> Ich hätte jetzt in erster Linie an Lebesgue-Messbarkeit gedacht, das war jedenfalls mein erster Gedanke...
Ja, was genau? Lebesgue-Borel-Meßbarkeit oder Lebesgue-Lebesgue-Meßbarkeit?
Letzteres halte ich für unwahrscheinlich, da dann nicht mal stetige Funktionen meßbar sein müssen.
Bleiben wir also bei ersterem:
Bei ersterem wähle einfach die Identität und du hast dein Beispiel, also ist das auch nicht wirklich interessant (mach dir aber trotzdem mal klar, warum dem so ist).
Bleibt also Borel-Borel-Meßbarkeit.
Da wirst du aber vermutlich kein "schönes" Gegenbeispiel finden, auch wenn es wohl zumindest welche geben wird (geht dann wohl in Richtung "Teufelstreppe").
Aber was ist denn mit folgender Argumentation:
Sei A das Bild von M unter g, d.h. $g(M) = A [mm] \gdw [/mm] M = [mm] g^{-1}(A)$
[/mm]
D.h. A ist Urbild der meßbaren Menge M unter [mm] g^{-1} [/mm] und damit selbst meßbar, da [mm] g^{-1} [/mm] meßbar ist (warum?).
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 So 18.11.2012 | | Autor: | Pia90 |
Danke erstmal!
> Hiho,
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> > Ich muss gestehen, dass ich mich das auch schon gefragt
> habe, aber es wird überall nur von Messbarkeit
> gesprochen... (Ich dachte, ich sei nur zu doof, das richtig
> zu deuten).
> > Ich hätte jetzt in erster Linie an Lebesgue-Messbarkeit
> gedacht, das war jedenfalls mein erster Gedanke...
>
> Ja, was genau? Lebesgue-Borel-Meßbarkeit oder
> Lebesgue-Lebesgue-Meßbarkeit?
Hm gute Frage, also von den Begriffen ist mir bisher nur Lebesgue-Borel begegnet und zwar in folgender Definition zur Messbarkeit. Die gab es relativ am Anfang:
Eine Menge M [mm] \subset \IR^n [/mm] heißt Lebesgue-messbar oder einfach messbar oder eine Lebesgue-Borelsche Menge, wenn für alle R [mm] \subset \IR^n [/mm] gilt
[mm] \lamba^{\*} [/mm] (R) [mm] \ge \lambda^{\*} [/mm] (R [mm] \cap [/mm] M)+ [mm] \lambda^{*}(R \cap M^C).
[/mm]
Daher denke ich, dass wohl alles Lebesgue-Borel-Messbarkeit meint.
Des Weiteren hatten wir für Funktionen die Definition:
Eine Funktion f: [mm] \IR^n \to \IR [/mm] heißt messbar, wenn [mm] f^{-1}(I) [/mm] für jedes Intervall I [mm] \subset \IR [/mm] eine messbare Teilmenge des [mm] \IR^n [/mm] ist.
Und dann noch für numerische Funktionen:
Eine numerische Funktion ist eine Abbildung [mm] f:\IR^n \to \overline{\IR}. [/mm] Eine numerische Funktion f heißt messbar, wenn [mm] f^{-1}(I) \in [/mm] B für jedes Intervall I [mm] \subset \overline{\IR}
[/mm]
> Letzteres halte ich für unwahrscheinlich, da dann nicht
> mal stetige Funktionen meßbar sein müssen.
> Bleiben wir also bei ersterem:
>
> Bei ersterem wähle einfach die Identität und du hast dein
> Beispiel, also ist das auch nicht wirklich interessant
> (mach dir aber trotzdem mal klar, warum dem so ist).
Ok, ich nehme also den Homomorphismus f: [mm] \IR \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] x und eine messbare Menge M.
[mm] f(M)=\{f(x) | x \in M \} [/mm] = M.
Aber damit wäre das Bild doch messbar, oder wo ist mein Fehler?
>
> Bleibt also Borel-Borel-Meßbarkeit.
> Da wirst du aber vermutlich kein "schönes" Gegenbeispiel
> finden, auch wenn es wohl zumindest welche geben wird (geht
> dann wohl in Richtung "Teufelstreppe").
>
> Aber was ist denn mit folgender Argumentation:
>
> Sei A das Bild von M unter g, d.h. [mm]g(M) = A \gdw M = g^{-1}(A)[/mm]
>
> D.h. A ist Urbild der meßbaren Menge M unter [mm]g^{-1}[/mm] und
> damit selbst meßbar, da [mm]g^{-1}[/mm] meßbar ist (warum?).
>
> MFG,
> Gono.
>
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Hiho,
> > Bei ersterem wähle einfach die Identität und du hast dein
> > Beispiel, also ist das auch nicht wirklich interessant
> > (mach dir aber trotzdem mal klar, warum dem so ist).
>
> Ok, ich nehme also den Homomorphismus f: [mm]\IR \to \IR,[/mm] x
> [mm]\mapsto[/mm] x und eine messbare Menge M.
> [mm]f(M)=\{f(x) | x \in M \}[/mm] = M.
> Aber damit wäre das Bild doch messbar, oder wo ist mein Fehler?
aufpassen: Du hast Lebesgue-Borel-Meßbarkeit.
D.h. im Urbildraum die Lebesgue-Sigma-Algebra, im Bildraum die Borel-Algebra.
Es gilt ja [mm] $\mathcal{B} \subset \mathcal{L}$
[/mm]
Mach dir jetzt mal klar, dass die Identität dann meßbar ist (warum?), aber was ist dann, wenn du dir eine Menge $M [mm] \in \mathcal{L}\setminus\mathcal{B}$ [/mm] nimmst und diese abbildest?
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:04 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Pia90 |
Danke!
> Hiho,
>
> > > Bei ersterem wähle einfach die Identität und du hast dein
> > > Beispiel, also ist das auch nicht wirklich interessant
> > > (mach dir aber trotzdem mal klar, warum dem so ist).
> >
> > Ok, ich nehme also den Homomorphismus f: [mm]\IR \to \IR,[/mm] x
> > [mm]\mapsto[/mm] x und eine messbare Menge M.
> > [mm]f(M)=\{f(x) | x \in M \}[/mm] = M.
> > Aber damit wäre das Bild doch messbar, oder wo ist
> mein Fehler?
>
> aufpassen: Du hast Lebesgue-Borel-Meßbarkeit.
> D.h. im Urbildraum die Lebesgue-Sigma-Algebra, im Bildraum
> die Borel-Algebra.
> Es gilt ja [mm]\mathcal{B} \subset \mathcal{L}[/mm]
Das war mir bisher noch nicht so ganz bewusst, aber danke für den Hinweis! :)
> Mach dir jetzt
> mal klar, dass die Identität dann meßbar ist (warum?),
Die Identität ist dann doch gerade wegen der Teilmengenbeziehung messbar, oder? Denn der Bildraum ist ja eine Teilmenge des Urbildraumes, und da der Urbildraum messbar ist, folgt damit auch die Messbarkeit des Bildraumes.
> aber was ist dann, wenn du dir eine Menge [mm]M \in \mathcal{L}\setminus\mathcal{B}[/mm]
> nimmst und diese abbildest?
So ganz bekomm ich hier eine Argumentation noch nicht hin.
Ich hätte jetzt behauptet, dass ich dann in die leere Menge abbilde, aber das ist wahrscheinlich falsch bzw. nicht die richtige Argumentation, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:45 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
ich schreib die Mitteilung jetzt mal, vorallem weil es für deine neue Frage essenziell wichtig ist, dass du das hier verstanden hast!
> Die Identität ist dann doch gerade wegen der Teilmengenbeziehung messbar, oder?
Ja. Nur wovon Teilmengenbeziehung?
> Denn der Bildraum ist ja eine Teilmenge des Urbildraumes, und da der Urbildraum messbar ist, folgt damit auch die Messbarkeit des Bildraumes.
Meßbarkeit ist keine direkte Eigenschaft des Raumes, sondern der Sigma-Algebren darauf!
Pass also mit den Begrifflichkeiten auf.
> aber was ist dann, wenn du dir eine Menge [mm]M \in \mathcal{L}\setminus\mathcal{B}[/mm] nimmst und diese abbildest?
> So ganz bekomm ich hier eine Argumentation noch nicht hin.
> Ich hätte jetzt behauptet, dass ich dann in die leere
> Menge abbilde, aber das ist wahrscheinlich falsch bzw.
> nicht die richtige Argumentation, oder?
Korrekt.
Ok, nehmen wir mal die Identität als folgende Abbildung:
$id: [mm] (\IR,\mathcal{L}) \to (\IR, \mathcal{B})$
[/mm]
Jetzt mach dir mal an der Definition der Meßbarkeit klar, dass die Identität meßbar ist.
Also betrachten wir für [mm] $B\in\mathcal{B}$ [/mm] eben [mm] $id^{-1}(B)=\ldots$
[/mm]
Mach mal weiter.
Nun nimm eine meßbare Menge A im Urbildraum (!) aus [mm] $\mathcal{L}\setminus\mathcal{B}$. [/mm] Was ist dann id(A) (das ist trivial!!), aber ist die im Bildraum meßbar?
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:36 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Pia90 |
Puh, ich merke, meine Lücken werden immer größer... Es ist zum Verzweifeln, die Klausur kann ich schonmal vergessen... :/
> Hiho,
>
> ich schreib die Mitteilung jetzt mal, vorallem weil es für
> deine neue Frage essenziell wichtig ist, dass du das hier
> verstanden hast!
>
> > Die Identität ist dann doch gerade wegen der
> Teilmengenbeziehung messbar, oder?
>
> Ja. Nur wovon Teilmengenbeziehung?
>
> > Denn der Bildraum ist ja eine Teilmenge des Urbildraumes,
> und da der Urbildraum messbar ist, folgt damit auch die
> Messbarkeit des Bildraumes.
>
> Meßbarkeit ist keine direkte Eigenschaft des Raumes,
> sondern der Sigma-Algebren darauf!
> Pass also mit den Begrifflichkeiten auf.
>
> > aber was ist dann, wenn du dir eine Menge [mm]M \in \mathcal{L}\setminus\mathcal{B}[/mm]
> nimmst und diese abbildest?
>
> > So ganz bekomm ich hier eine Argumentation noch nicht hin.
> > Ich hätte jetzt behauptet, dass ich dann in die leere
> > Menge abbilde, aber das ist wahrscheinlich falsch bzw.
> > nicht die richtige Argumentation, oder?
>
> Korrekt.
> Ok, nehmen wir mal die Identität als folgende
> Abbildung:
>
> [mm]id: (\IR,\mathcal{L}) \to (\IR, \mathcal{B})[/mm]
>
> Jetzt mach dir mal an der Definition der Meßbarkeit klar,
> dass die Identität meßbar ist.
OK, also laut Definition gilt:
Eine Funktion f: $ [mm] \IR^n \to \IR [/mm] $ heißt messbar, wenn $ [mm] f^{-1}(I) [/mm] $ für jedes Intervall I $ [mm] \subset \IR [/mm] $ eine messbare Teilmenge des $ [mm] \IR^n [/mm] $ ist.
Bedeutet das nun, dass I meine Borelmenge ist und [mm] f^{-1}(I) \in \mathcal{L}? [/mm]
>
> Also betrachten wir für [mm]B\in\mathcal{B}[/mm] eben
> [mm]id^{-1}(B)=\ldots[/mm]
> Mach mal weiter.
>
> Nun nimm eine meßbare Menge A im Urbildraum (!) aus
> [mm]\mathcal{L}\setminus\mathcal{B}[/mm]. Was ist dann id(A) (das
> ist trivial!!), aber ist die im Bildraum meßbar?
>
Mein Kopf schwirrt gerade und ich bekomms gerade nicht hin, ich muss es mir nochmal mit ein wenig Abstand angucken...
> MFG,
> Gono.
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