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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:08 So 05.04.2009 | | Autor: | Dirk07 |
| Aufgabe | | Wie viele verschiedene Kombinationen der Buchstaben AADAEDADFA gibt es ? |
Hallo,
wie lässt sich diese Aufgabe korrekt mathematisch beschreiben? Wenn ich logisch darüber nachdenke, sehe ich, dass nur die Buchstaben E, D, D und F die Anzahl der Kombinationen beeinflusst- Wären alle 10 Buchstaben A's gäbe es genau 1 Kombination.
Ist ein anderer Buchstabe unter den 10 Buchstaben, gibt es genau 10 Möglichkeiten. Kommt noch ein weiterer Buchstabe hinzu, gibt es 10*9 Möglichkeiten, da der zweite Buchstabe nur noch 9 Möglichkeiten hat usw.
Ich dachte bisher an eine Lösung der Form:
Anzahl Kombinationen = 10 *9 * 8 * 7 * 6
Wie berechne ich dies jedoch mathematisch korrekt (Formel) ? Bei meiner "Lösung" ist nicht mit berechnet, dass da 3 D's mit dabei sind, die die Anzahl der Kombinationen verringern.
Vielen Dank vorab,
Dirk
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> Wie viele verschiedene Kombinationen der Buchstaben
> AADAEDADFA gibt es ?
> Hallo,
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> wie lässt sich diese Aufgabe korrekt mathematisch
> beschreiben? Wenn ich logisch darüber nachdenke, sehe ich,
> dass nur die Buchstaben E, D, D und F die Anzahl der
> Kombinationen beeinflusst- Wären alle 10 Buchstaben A's
> gäbe es genau 1 Kombination.
> Ist ein anderer Buchstabe unter den 10 Buchstaben, gibt es
> genau 10 Möglichkeiten. Kommt noch ein weiterer Buchstabe
> hinzu, gibt es 10*9 Möglichkeiten, da der zweite Buchstabe
> nur noch 9 Möglichkeiten hat usw.
>
> Ich dachte bisher an eine Lösung der Form:
>
> Anzahl Kombinationen = 10 *9 * 8 * 7 * 6
>
> Wie berechne ich dies jedoch mathematisch korrekt (Formel)
> ? Bei meiner "Lösung" ist nicht mit berechnet, dass da 3
> D's mit dabei sind, die die Anzahl der Kombinationen
> verringern.
>
> Vielen Dank vorab,
> Dirk
Hallo Dirk,
zu dieser Aufgabe ist zunächst zu sagen, dass sie nicht
ausreichend klar gestellt ist. Das Problem ist, dass der
Ausdruck "Kombination" einerseits umgangssprachlich
in sehr lockerer Form verwendet wird, wobei dahinter
mathematisch gesehen viele verschiedene Sorten
kombinatorischer Anordnungen stecken können.
Andererseits gibt es in der Kombinatorik den Ausdruck
"Kombination", der dann aber eine präzise und einge-
schränkte Bedeutung hat.
Ich vermute, dass es bei deiner Frage um sogenannte
"Permutationen mit Wiederholungen" geht. Genauer
gesagt:
Wieviele Buchstabenfolgen kann man aus den Buchstaben
A,A,A,A,A,D,D,D,E,F bilden (insgesamt 10 Buchstaben,
davon genau 5 "A", 3 "D", 1 "E", 1 "F").
Wären alle 10 Buchstaben verschieden, also etwa
A,B,C,D,E,F,G,H,I,J, so hätte man 10*9*8* .... *3*2*1=10!
Permutationen.
Sind es aber z.B. die Buchstaben A,B,C und dazu sieben "D",
so verringert sich die Anzahl gewaltig, nämlich von den
ursprünglichen 10! auf nur noch [mm] \bruch{10!}{7!}. [/mm] In dem
ausgeschriebenen Bruch kann man viele Faktoren herauskürzen,
und es bleibt nur noch 10*9*8=720 übrig.
Also: für jeden Buchstaben, der mehrfach vorkommt, z.B. k Mal,
muss die Anzahl durch k! dividiert werden.
Das Schlussergebnis in deinem Beispiel wäre 5040.
(dies ist übrigens zufälligerweise gerade gleich 7!)
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:27 So 05.04.2009 | | Autor: | Dirk07 |
Hallo Al-Chwarizmi,
erstmal vielen Dank für deine Antwort, mir ist das jetzt um einiges klarer.
Dennoch habe ich noch eine Frage zu den doppelten Buchstaben. Du sagtest, es gibt 5040 Möglichkeiten, da bei AADAEDADFA 3xD, 1xD und 1xF vorkommt. Das habe ich verstanden.
Die Rechnung ist 10!/ 6! = 5040.
Allerdings würde dies doch auch bedeuten, dass die Anzahl der Kombinationen bei AADAEDADFA gleich ist mit der von AAAAEAADFA (2 D's durch 2 A's ersetzt). Denn bei ADDA gibt es auch mehr Kombinationen als für ADAA.
Wie rechne ich das mit ein ?
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> Hallo Al-Chwarizmi,
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> erstmal vielen Dank für deine Antwort, mir ist das jetzt um
> einiges klarer.
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> Dennoch habe ich noch eine Frage zu den doppelten
> Buchstaben. Du sagtest, es gibt 5040 Möglichkeiten, da bei
> AADAEDADFA 3xD, 1xD und 1xF vorkommt
- und vor allem auch 5 mal "A" !
> Das habe ich verstanden.
>
> Die Rechnung ist 10!/ 6! = 5040.
Nein, die Rechnung geht anders, nämlich:
[mm] \bruch{10!}{5!*3!*1!*1!}
[/mm]
Dies gibt nur per Zufall das gleiche Schlussergebnis !
> Allerdings würde dies doch auch bedeuten, dass die Anzahl
> der Kombinationen bei AADAEDADFA gleich ist mit der von
> AAAAEAADFA
In diesem Fall hätten wir insgesamt auch 10 Buchstaben,
nämlich 7 "A", 1 "D", 1 "E", 1 "F".
Anzahl Permutationen also:
[mm] $\bruch{10!}{7!*1!*1!*1!}\ [/mm] =\ 720$
Ein letztes Beispiel: Ein Fisch auf Hawaii heisst
HUMUHUMUNUKUNUKUAPUAA
(ehrlich ! du kannst es mit Google nachprüfen !)
Insgesamt 21 Buchstaben, geordnet:
[mm] $\underbrace{AAA}_3\underbrace{HH}_2\underbrace{KK}_2\underbrace{MM}_2\underbrace{NN}_2\underbrace{P}_1\underbrace{UUUUUUUUU}_9$
[/mm]
Anzahl Permutationen mit Wiederholungen:
[mm] $\overline{P}_{21=3+2+2+2+2+1+9}\ [/mm] =\ [mm] \bruch{21!}{3!*(2!)^4*1!*9!}\ \approx\ 1.47*10^{12}$
[/mm]
ALOHA ! AL
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