C1-Isomorphismen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:03 Mo 07.11.2011 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | | In welchen Punkten [mm] $x\in \mathbb{R}$ [/mm] sind die in den folgenden Aufgaben angegebenen Funktionen jeweils lokale [mm] $C^1 [/mm] $ Isomorphismen? [mm] $f(x_1,x_2,\ldots,x_s):=(x_1+x_2+\ldots+x_s,x_1^2+x_2^2+\ldots+x_s^2,\ldots,x_1^s+x_2^s+\ldots [/mm] + [mm] x_s^s [/mm] ) $ |
Das die [mm] $f\in C^1$ [/mm] ist, zeige ich doch, in dem ich die zugehörige Jacobi-Matrix aufstelle (mit den differenzierten Elementen - hier offenbar nur in der Diagonale von Null verschiedene Einträge)
Aber, was soll nun ein [mm] "$C_1-$ [/mm] Isomorphismus" sein? Ich denke, das nachzuweisen ist, dass es sich noch um einen bijektiven Homomorphismus handelt. Es ist doch bekannt, dass die Ableitungsfunktion eine lineare Transformation ist; was ist dann also noch bezüglich Homomorphismus zu zeigen?
Dass sie bijektiv ist, kann ich nicht nachvollziehen, denn, die Ableitungsfunktion ist doch bekanntlich nicht injektiv (da ja jegliche (variablenfreie) Konstante zu Tode differenziert wird)
Wo liegt mein Gedankenfehler?
Ich bin noch relativ neu auf diesem Gebiet, also, verzeiht bitte meine naiven Fragen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:10 Mo 07.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Du sollst die Punkte x [mm] \in \IR [/mm] bestimmen mit:
$ detf'(x) [mm] \ne [/mm] 0$
Ist x ein solcher Punkt, so ex. eine Umgebung U von x und eine Umgebung V von f(x) mit
[mm] $f_{|U}:U \to [/mm] V$
ist bijektiv und die Umkehrabbildung ist stetig differehzierbar. (Daher "lokaler $ [mm] C_1- [/mm] $ Isomorphismus")
FRED
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