CS-Ungleichung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:29 So 08.11.2009 | | Autor: | Roli772 |
| Aufgabe | Beweisen Sie folgende Ungleichung für Reihen:
Sei [mm] v_{n}, w_{n} \in \IC [/mm] (mit [mm] n\ge1), \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] | [mm] v_{n} |^{2} [/mm] und [mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] | [mm] w_{n} |^{2} [/mm] beide konvergent, so gilt:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} v_{n} \overline{w}_{n} [/mm] ist abs. konvergent. Weiters soll gelten:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} |v_{n} \overline{w}_{n}| \le \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] | [mm] v_{n} [/mm] | | [mm] w_{n} [/mm] | [mm] \le (\summe_{n=1}^{\infty} [/mm] | [mm] v_{n} |^{2})^{1/2}) [/mm] * [mm] (\summe_{n=1}^{\infty} [/mm] | [mm] w_{n} |^{2})^{1/2}) [/mm] |
Und noch ein Bsp. zu Reihen.
Hab mir gedacht, ich schau mir mal die n-te Part.-summe [mm] S_{n} [/mm] von [mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] | [mm] v_{n} [/mm] | | [mm] w_{n} [/mm] | an und zeige, dass sie durch [mm] (\summe_{n=1}^{\infty} [/mm] | [mm] v_{n} |^{2})^{1/2}) [/mm] * [mm] (\summe_{n=1}^{\infty} [/mm] | [mm] w_{n} |^{2})^{1/2}) [/mm] beschr. ist.
Also: Sei [mm] S_{n}:= |v_{1}|*|w_{1}| [/mm] + ... + [mm] |v_{n}|*|w_{n}|.
[/mm]
Aber wie kann ich diese nun damit abschätzen?
Vielleicht könnte mir hier jemand weiterhelfen.
Wäre euch sehr dankbar!
Lg Sr
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:55 Mo 16.11.2009 | | Autor: | Roli772 |
Hat hier vielleicht jemand ne idee dazu?
Würde mich echt freuen =)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:13 Mo 16.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Rolli!
> Beweisen Sie folgende Ungleichung für Reihen:
> Sei [mm]v_{n}, w_{n} \in \IC[/mm] (mit [mm]n\ge1), \summe_{n=1}^{\infty}[/mm]
> | [mm]v_{n} |^{2}[/mm] und [mm]\summe_{n=1}^{\infty}[/mm] | [mm]w_{n} |^{2}[/mm] beide
> konvergent, so gilt:
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} v_{n} \overline{w}_{n}[/mm] ist abs.
> konvergent. Weiters soll gelten:
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} |v_{n} \overline{w}_{n}| \le \summe_{n=1}^{\infty}[/mm]
> | [mm]v_{n}[/mm] | | [mm]w_{n}[/mm] | [mm]\le (\summe_{n=1}^{\infty}[/mm] | [mm]v_{n} |^{2})^{1/2})[/mm]
> * [mm](\summe_{n=1}^{\infty}[/mm] | [mm]w_{n} |^{2})^{1/2})[/mm]
> Und noch
> ein Bsp. zu Reihen.
>
> Hab mir gedacht, ich schau mir mal die n-te Part.-summe
> [mm]S_{n}[/mm] von [mm]\summe_{n=1}^{\infty}[/mm] | [mm]v_{n}[/mm] | | [mm]w_{n}[/mm] | an und
> zeige, dass sie durch [mm](\summe_{n=1}^{\infty}[/mm] | [mm]v_{n} |^{2})^{1/2})[/mm]
> * [mm](\summe_{n=1}^{\infty}[/mm] | [mm]w_{n} |^{2})^{1/2})[/mm] beschr.
> ist.
> Also: Sei [mm]S_{n}:= |v_{1}|*|w_{1}|[/mm] + ... +
> [mm]|v_{n}|*|w_{n}|.[/mm]
> Aber wie kann ich diese nun damit abschätzen?
Tipp: [mm] $|v_n+w_n|^2 [/mm] = [mm] |v_n|^2 [/mm] + [mm] |w_n|^2 [/mm] + [mm] v_n \overline{w_n} [/mm] + [mm] \overline{v_n} w_n [/mm] $. Zeige zunächst, dass
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} |v_n+w_n|^2 [/mm]
konvergiert und nutze die Aussage, dass die Summe und Differenz absolut konvergenter Reihen wieder absolut konvergent sind.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:34 Mo 16.11.2009 | | Autor: | Roli772 |
> Tipp: [mm]|v_n+w_n|^2 = |v_n|^2 + |w_n|^2 + v_n \overline{w_n} + \overline{v_n} w_n [/mm].
> Zeige zunächst, dass
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} |v_n+w_n|^2[/mm]
>
> konvergiert und nutze die Aussage, dass die Summe und
> Differenz absolut konvergenter Reihen wieder absolut
> konvergent sind.
ok, und wie kann ich das dann verwenden?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 04:01 Di 17.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Tipp: [mm]|v_n+w_n|^2 = |v_n|^2 + |w_n|^2 + v_n \overline{w_n} + \overline{v_n} w_n [/mm].
> > Zeige zunächst, dass
> >
> > [mm]\summe_{n=1}^{\infty} |v_n+w_n|^2[/mm]
> >
> > konvergiert und nutze die Aussage, dass die Summe und
> > Differenz absolut konvergenter Reihen wieder absolut
> > konvergent sind.
>
> ok, und wie kann ich das dann verwenden?
Du kannst damit zeigen, dass [mm] $\sum_{n=1}^\infty v_n \overline{w_n}$ [/mm] absolut konvergiert.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:20 Di 17.11.2009 | | Autor: | Roli772 |
> Du kannst damit zeigen, dass [mm]\sum_{n=1}^\infty v_n \overline{w_n}[/mm]
> absolut konvergiert.
>>
Achso, weil [mm]\summe_{n=1}^{\infty} |v_n+w_n|^2[/mm] dann eine konv. Majorante wäre, oder?
Und wie bekomme ich dann den Rest?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:41 Di 17.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Du kannst damit zeigen, dass [mm]\sum_{n=1}^\infty v_n \overline{w_n}[/mm]
> > absolut konvergiert.
>
> Achso, weil [mm]\summe_{n=1}^{\infty} |v_n+w_n|^2[/mm] dann eine
> konv. Majorante wäre, oder?
Genau.
> Und wie bekomme ich dann den Rest?
So wie du das angedacht hast. Kennst du die CS-Ungleichung fuer Vektoren aus dem [mm] $\IC^n$? [/mm] Die kannst du hier anwenden.
LG Felix
|
|
|
|
