"C hoch 2" Kein Körper < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:07 So 06.11.2005 | | Autor: | Monschn |
Hallo beisammen,
Auf der Menge [mm] \IC [/mm] hoch 2 der Paare (x,y) komplexer Zahlen x,y [mm] \in \IC [/mm] ist eine Addition und eine Multiplikation folgendermaßen definiert:
[mm] (a_{1},b_{1})+(a_{2},b_{2}) [/mm] = [mm] (a_{1}+a_{2},b_{1}+b_{2})
[/mm]
[mm] (a_{1},b_{1})*(a_{2},b_{2})= (a_{1}a_{2}- b_{1}b_{2}, a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}).
[/mm]
Ich habe bereits alle Körperaxiome durchgecheckt (hoffentlich richtig) und bin auf keinen Widerspruch gestoßen.
Weiß von euch jemand, warum [mm] (\IC [/mm] hoch 2,+,*) kein Körper ist? Ein kleiner Tipp würde mich einen großen Schritt weiterbringen.
Liebe Grüße,
Simone
* Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:38 So 06.11.2005 | | Autor: | SEcki |
> [mm](a_{1},b_{1})+(a_{2},b_{2})[/mm] = [mm](a_{1}+a_{2},b_{1}+b_{2})[/mm]
>
> [mm](a_{1},b_{1})*(a_{2},b_{2})= (a_{1}a_{2}- b_{1}b_{2}, a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}).[/mm]
Die gleiche Konstruktion wie von den rellen Zahlen aus ...
> Ich habe bereits alle Körperaxiome durchgecheckt
> (hoffentlich richtig) und bin auf keinen Widerspruch
> gestoßen.
Das glaube ich nicht  Es wird alles richtig sein, wo man wie bei der Konstruktion von [m]\IR[/m] nach [m]\IC[/m] nur die Körpereigenschaften benutzen muss. Es gbit allerdings einen Punkt, wo man dort benutzt, dass [m]\IR[/m] angeordnet ist, also [m]a_1^2+b_1^2>0[/m] falls einen der Zahlen ungleich 0 ist. Und diese Stelle wird wohl verletzt sein - habe ich jetzt aber nicht genau geprüft, das willst du ja noch machen! 
SEcki
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:47 Mo 07.11.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo!
In den meisten Fällen scheitert es an der Nullteilerfreiheit...
Das heißt die Inversen bei Multiplikation sind nicht mehr eindeutig bestimmt... Vielleicht findest du ja ein Beispiel wo das so ist...
Gruß Micha
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:21 Mo 07.11.2005 | | Autor: | Monschn |
Hallo!!
Herzlichen Dank erstmal für eure Hilfe. Der Tipp hat mich weitergebracht, glaub ich.
Wäre dieses Gegenbeispiel denkbar:
Das multiplikative Inverse existiert nicht für alle Elemente. Z.B. eben nicht für (ai,a) mit a [mm] \in \IR [/mm] .
Denn [mm] (a,b)^{-1}=(\bruch{a}{a^{2}+b^{2}},\bruch{-b}{a^{2}+b^{2}})
[/mm]
Für (ai,a) [mm] \in \IC^{2} [/mm] würde sich ein multiplikatives Inverses von [mm] (\bruch{ai}{0},\bruch{-a}{0}) [/mm] ergeben.
Daher ist also [mm] \IC^{2} [/mm] kein Körper, weil nicht zu jedem Element aus [mm] \IC^{2} [/mm] ein multiplikatives Inverses existiert.
Ist das so richtig begründet?!
Liebe Grüße,
Simone
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:45 Mo 07.11.2005 | | Autor: | SEcki |
> Denn
> [mm](a,b)^{-1}=(\bruch{a}{a^{2}+b^{2}},\bruch{-b}{a^{2}+b^{2}})[/mm]
Nana, das weisst du ja blos indirekt - also: woher weisst du, dass es die einzigen Inversen sein können? Intuitv ist das schon klar - so kommt ja drauf, aber beim Begründen dann etwas anders vorgehen, nämlich ...
> Für (ai,a) [mm]\in \IC^{2}[/mm] würde sich ein multiplikatives
> Inverses von [mm](\bruch{ai}{0},\bruch{-a}{0})[/mm] ergeben.
... Besser: Du nimmst an es gäbde ein Inverses [m](e,f)[/m]. Jetzt multiplizierst du es mit [m](1,i)[/m] und zeigst das Ergebnis nie [m](1,0)[/m] sein kann. Aber das schaffst du schon
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:00 Mo 07.11.2005 | | Autor: | Monschn |
Hallo!!
Vielen herzlichen Dank für deine große Hilfe.
Ich glaube, es hat "Klick" bei mir gemacht und ich habe die Aufgabe verstanden.
Danke nochmal!
Schöne Woche,
Simone
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