Cadlag Funktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:54 Fr 31.01.2014 | | Autor: | hula |
Hallöööchen
Ich habe folgende Frage zu einem Beweis: Sei [mm] $f:[0,\inty)\to\mathbb{R}$ [/mm] cadlag (rechtsseitig stetig mit linkem Limes) dann besitzt $f$ höchstens abzählbare viele Unstetigkeitsstellen.
Nun der Beweis geht ja wie folgt: sei [mm] $A_n:=\{x\in[0,\frac{1}{n}\}$ [/mm] wobei $f(x-)$ der linke Limes bei $x$ ist. Alles was ich wissen muss, ist, dass [mm] $A_n$ [/mm] abzählbar ist. Aber wieso ist dies der Fall. Es wir argumentiert, dass dies der Fall sei, da [mm] $A_n$ [/mm] keine Häufungspunkte besitzt. Wie kann ich denn einen Widerspruch herleiten aus der Existenz eines Häufungspunktes?
Wieso gilt: [mm] $A_n$ [/mm] keinen Häufungspunkt, daher ist die Menge höchstens abzählbar?
danke und gruss
hulaaaaaaaaa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:07 Fr 31.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallöööchen
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> Ich habe folgende Frage zu einem Beweis: Sei
> [mm]f:[0,\inty)\to\mathbb{R}[/mm] cadlag (rechtsseitig stetig mit
> linkem Limes) dann besitzt [mm]f[/mm] höchstens abzählbare viele
> Unstetigkeitsstellen.
>
> Nun der Beweis geht ja wie folgt: sei
> [mm]A_n:=\{x\in[0,\frac{1}{n}\}[/mm] wobei
> [mm]f(x-)[/mm] der linke Limes bei [mm]x[/mm] ist. Alles was ich wissen muss,
> ist, dass [mm]A_n[/mm] abzählbar ist. Aber wieso ist dies der Fall.
> Es wir argumentiert, dass dies der Fall sei, da [mm]A_n[/mm] keine
> Häufungspunkte besitzt. Wie kann ich denn einen
> Widerspruch herleiten aus der Existenz eines
> Häufungspunktes?
Versuchs doch mal: Annahme [mm] A_n [/mm] hat einen HP [mm] x_0. [/mm] Dann gibt es eine Folge [mm] (x_k) [/mm] in [mm] A_n [/mm] mit:
[mm] x_k \to x_0 [/mm] und [mm] x_k \ne x_0 [/mm] für alle k.
Jetzt Du !
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> Wieso gilt: [mm]A_n[/mm] keinen Häufungspunkt, daher ist die Menge
> höchstens abzählbar?
Allgemein: sei X eine Teilmenge von [mm] \IR, [/mm] die keinen HP hat.
Für j [mm] \in \IN [/mm] setze [mm] $B_j:=X \cap [/mm] [-j,j]$.
Nun betrachten wir ein [mm] B_j [/mm] , wobei wir annehmen, dass [mm] B_j [/mm] nichtleer ist. Klar, [mm] B_j [/mm] ist beschränkt. Zeige nun, durch Widerspruch, dass [mm] B_j [/mm] endlich ist.
Damit ist wegen, [mm] X=\bigcup_{j=1}^{\infty}B_j, [/mm] die Menge X höchstens abzählbar.
FRED
>
> danke und gruss
>
> hulaaaaaaaaa
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:37 Fr 31.01.2014 | | Autor: | hula |
Hallo Fred!
> Versuchs doch mal: Annahme [mm]A_n[/mm] hat einen HP [mm]x_0.[/mm] Dann gibt
> es eine Folge [mm](x_k)[/mm] in [mm]A_n[/mm] mit:
>
> [mm]x_k \to x_0[/mm] und [mm]x_k \nr x_0[/mm] für alle k.
>
> Jetzt Du !
Indem wir zu einer Teilfolge übergehen, können wir annehmen [mm] $x_k\downarrow x_0$. [/mm] Da $f$ rechtsseitig stetig ist, finden wir also ein [mm] $N\in\mathbb{N}$ [/mm] so dass für alle [mm] $k\ge [/mm] N$ wir haben [mm] $|f(x_0)-f(x_k)|\le \frac{1}{n}$, [/mm] was ein Widerspruch wäre. Allerdings bin ich mir nicht ganz sicher, ob wir immer so eine Teilfolge finden können.
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> > Wieso gilt: [mm]A_n[/mm] keinen Häufungspunkt, daher ist die Menge
> > höchstens abzählbar?
>
> Allgemein: sei X eine Teilmenge von [mm]\IR,[/mm] die keinen HP
> hat.
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> Für j [mm]\in \IN[/mm] setze [mm]B_j:=X \cap [-j,j][/mm].
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> Nun betrachten wir ein [mm]B_j[/mm] , wobei wir annehmen, dass [mm]B_j[/mm]
> nichtleer ist. Klar, [mm]B_j[/mm] ist beschränkt. Zeige nun, durch
> Widerspruch, dass [mm]B_j[/mm] endlich ist.
>
Also, nehmen wir an, dass [mm] $B_j$ [/mm] nicht endlich ist, d.h. mindest abzählbar. Wählen wir also eine Folge [mm] $\{x_k\}\in B_j$ [/mm] ist diese beschränkt. Daher existiert eine Teilfolge die gegen ein Element [mm] $x\in B_j$ [/mm] konvergiert (abgeschlossen in Teilraumtopologie). Dann hätte aber $X$ einen Häufungspunkt, also wieder Widerspruch.
Hier bin ich mir mit der Abgeschlossenheit nicht ganz sicher. Danke für deine Hilfe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Mo 03.02.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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