Cantormenge überabzählbar < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Cantormenge C überabzählbar ist. |
Hallo!
Wir betrachten die Cantormenge, in der immer das mittlere Drittel "herausgewischt" wurde. (Ausgehend von dem Intervall [0,1].)
Als Idee hätte ich, dass man zeigt, dass eine bijektive Abbildung zwischen C und [0,1] gibt, da [0,1] ja bekanntermaßen überabzählbar ist.
Nur irgendwie finde ich momentan keine solche Abbildung bzw die Hinweise mit Tenärdarstellung u.ä. sind mir unverständlich.
Kennt jemand eine solche Abbilung oder hat eine Idee wie ich das zeigen könnte ?
Vielen Dank!
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Die Elemente des Cantorschen Diskontinuums sind gerade diejenigen reellen Zahlen, deren Ternärdarstellung die Ziffer 1 nicht enthält. Jetzt ordne jedem solchen Ternärbruch einen Dualbruch zu, indem du die Ziffer 0 durch 0 und die Ziffer 2 durch 1 ersetzt. Dann hast du eine Abbildung von C auf das reelle Intervall [0,1]. Sie ist "beinahe bijektiv". Es stört, daß z.B.
[mm]\frac{1}{3} = 0,022222 \ldots \text{(ternär)} \mapsto 0,011111 \ldots \text{(dual)} = \frac{1}{2}[/mm]
[mm]\frac{2}{3} = 0,200000 \ldots \text{(ternär)} \mapsto 0,100000 \ldots \text{(dual)} = \frac{1}{2}[/mm]
gilt. Aber das kann man vielleicht auch noch irgendwie in den Griff bekommen.
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Hallo kleinsnoopy,
betrachte mal den einzelnen Schritt des "Herauswischens" und dann mein folgendes Bildchen. Mit was für einer Abbildung kannst Du das fehlende Teil wieder füllen?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Etwas Bedenken erfordert noch die Tatsache, dass aus den vier schwarzen Linien oben (die Abschlüsse der beiden Intervalle) durch die Abbildung ja nur noch drei werden dürfen. Oder? Denk mal drüber nach. Ist Bijektivität wirklich nötig?
Jedenfalls kannst du so eine rekursive Abbildung konstruieren, die Dir zeigt, dass die Cantormenge mindestens so mächtig ist ist wie [0,1] und damit wie [mm] \IR.
[/mm]
Das sollte doch schon weiterhelfen. 
lg
reverend
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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