Cantors zweites Diagonalisi < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:06 Do 01.12.2011 | | Autor: | msg08 |
| Aufgabe | | Ich setze ja erstmal eine Folge von "unendlichen" reelen Zahlen aus. Die ich soweit ja erstmal auch mit den natürlichen Zahlen abzählen kann. Wenn ich da nun an jeder Stelle zeilenweise einen Wert umänder, erhalte ich ja wieder eine neue unendliche Zahl, welche ich soweit nicht erfasst habe. |
Die Idee habe ich doch soweit richtig erfasst? Also vorausgesetzt, ich könne alle reelen Zahlen erfassen, betrachte ich jetzt einfach die "unendlichen langen" reelen Zahlen und bilde einfach eine zu diesen andere reele Zahl und die wird nicht erfasst. Wobei diese Zahl ja unendlich lang ist?
Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Cantors_zweites_Diagonalargument
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Hallo msg08,
so ein Gruß zum Eingang oder am Ende wird hier schon gern gesehen, wie Dir sicherlich auffällt, wenn Du mal andere Beiträge durchliest.
> Ich setze ja erstmal eine Folge von "unendlichen" reelen
> Zahlen aus. Die ich soweit ja erstmal auch mit den
> natürlichen Zahlen abzählen kann. Wenn ich da nun an
> jeder Stelle zeilenweise einen Wert umänder, erhalte ich
> ja wieder eine neue unendliche Zahl, welche ich soweit
> nicht erfasst habe.
So ist es.
> Die Idee habe ich doch soweit richtig erfasst? Also
> vorausgesetzt, ich könne alle reelen Zahlen erfassen,
> betrachte ich jetzt einfach die "unendlichen langen" reelen
> Zahlen und bilde einfach eine zu diesen andere reele Zahl
> und die wird nicht erfasst. Wobei diese Zahl ja unendlich
> lang ist?
Richtig.
Die erfassten Zahlen dürfen aber natürlich auch endlich sein. Dann folgen eben danach unendlich viele Nullen.
> Quelle:
> http://de.wikipedia.org/wiki/Cantors_zweites_Diagonalargument
Nur: was war jetzt eigentlich die Frage?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 Do 01.12.2011 | | Autor: | msg08 |
Sorry, also hi und vielen Dank für deine sehr fixe Antwort auf meine Frage :).
An die Nullen habe ich gar nicht gedacht.
Finde es methodisch halt etwas schwierig, unwissend direkt eine soweit nicht vorkommende Zahl halt zu konstruieren. Weil abgezählt würde sie ja vielleicht vorkommen. Also an eben einer für sich genommen endlichen Stelle in der Folge. Wenn ich das richtig verstehe, weiss ich jetzt ja wenigstens, wie der Beweis halt arbeitet und das erscheint mir jetzt soweit erstmal schlüssig, aber eben, etwas schwierig. Findet ihr es soweit für euch richtig. Also einfach mal eine bel. Folge voraussetzen und sich dazu einfach "quer" eine Zahl zu konstruieren, die so auch nicht vorkommt?
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Hallo nochmal,
der Beweis zählt zu den Klassikern der Beweisgeschichte und ist in seiner Schlichtheit einfach ein Geniestreich. Wer davor nicht den Hut ziehen kann, hat den Beweis nicht verstanden oder keinen Respekt vor den Leistungen anderer.
> Finde es methodisch halt etwas schwierig, unwissend direkt
> eine soweit nicht vorkommende Zahl halt zu konstruieren.
> Weil abgezählt würde sie ja vielleicht vorkommen.
Eben nicht!
Der Beweis setzt doch voraus, dass die Mächtigkeit der reellen Zahlen abzählbar unendlich ist. Dann müssten sie in einer irgendwie geordneten unendlich langen (heißt hier eben: linear aufgereihten) Liste zu notieren sein bzw. angeordnet werden können.
> Also an
> eben einer für sich genommen endlichen Stelle in der
> Folge. Wenn ich das richtig verstehe, weiss ich jetzt ja
> wenigstens, wie der Beweis halt arbeitet und das erscheint
> mir jetzt soweit erstmal schlüssig, aber eben, etwas
> schwierig. Findet ihr es soweit für euch richtig. Also
> einfach mal eine bel. Folge voraussetzen und sich dazu
> einfach "quer" eine Zahl zu konstruieren, die so auch nicht
> vorkommt?
Ja, das ist absolut schlüssig. Cantor konstruiert mithilfe der als vollständig vorausgesetzten Liste eine Zahl. Da die Liste vollständig sein soll, müsste diese Zahl ja schon darin stehen - aber eben das tut sie nicht.
Es genügt hier völlig zu zeigen, dass diese eine einzige Zahl nicht in der Liste steht, um damit die Annahme zum Widerspruch zu führen. Es ist nicht nötig zu zeigen, wie viele Zahlen insgesamt nicht in der Liste stehen.
Das allerdings wäre noch eine interessante und bisher ungelöste Aufgabe, die mit dem Kontinuumsproblem identisch ist.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:53 Do 01.12.2011 | | Autor: | msg08 |
Also die Idee ist ja echt sehr hübsch. Also sein Diagonalisierungsverfahren bei Q finde ich spitze :).
Das hier ist jetzt auch kein fehlender Respekt. Es ist eher einfach sowas, ich hinterfrage einfach. Aber auch nur, weil ich selbst schon davon ausgehe, es sei richtig, nur mir fehlt einfach noch so dieses letzte Fünklein an Idee.
Von einer vollständige Liste von Zahlen auszugehen, für die man aber keine Folgenvorschrift hat, finde ich einfach für mich schwierig. Aber nungut, vielleicht weiss ich auch nur zu wenig darüber :). Dankeschön!!!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:05 Do 01.12.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
> Also die Idee ist ja echt sehr hübsch. Also sein
> Diagonalisierungsverfahren bei Q finde ich spitze :).
>
> Das hier ist jetzt auch kein fehlender Respekt. Es ist eher
> einfach sowas, ich hinterfrage einfach.
Das ist ja auch völlig richtig. Sonst kann man ja keinen Beweis nachvollziehen oder sogar einen Fehler finden. Du sollst selbständig denken.
> Aber auch nur, weil
> ich selbst schon davon ausgehe, es sei richtig, nur mir
> fehlt einfach noch so dieses letzte Fünklein an Idee.
>
> Von einer vollständige Liste von Zahlen auszugehen, für
> die man aber keine Folgenvorschrift hat, finde ich einfach
> für mich schwierig.
Das ist hier schlicht die Voraussetzung. Wenn die reellen Zahlen abzählbar wären, müsste man sie in einer (wenn auch unendlich langen) Liste aufschreiben können. Dazu ist es egal, wie die Folgenvorschrift lautet, aber wenn Du willst, kannst Du hier eine annehmen, ohne dass der Beweis Schaden nimmt. Verwende einfach die gängige Ordnungsrelation auf [mm] \IR, [/mm] so dass x vor y steht, wenn x<y ist.
Wenn man unbedingt eine Liste braucht, die - wie die natürlichen Zahlen - einen definierten Anfang hat, dann beginnt man eben mit der Null, die weiteren Zahlen werden nach ihrem Betrag geordnet, und jede Zahl außer der Null kommt dann eben zweimal vor - wofür man noch definieren muss, in welcher Reihenfolge, z.B. immer erst negativ, dann positiv, also z.B. -2 vor +2.
> Aber nungut, vielleicht weiss ich auch
> nur zu wenig darüber :).
Dieser Beweis ist zu verstehen, wenn man weiß, dass jede reelle Zahl als Dezimalbruch (oder in einem anderen Stellenwertsystem, z.B. binär, das ist hier egal) geschrieben werden kann. Das ist nicht ganz selbstverständlich, aber mehr wird hier nicht an Wissen vorausgesetzt. Es geht einfach um die Annahme, man könnte die reellen Zahlen vollständig aufschreiben, die hier zum Widerspruch geführt wird.
> Dankeschön!!!!!
Gern geschehen. Ich wollte Dir keineswegs Respektlosigkeit vorwerfen; Du bist ja auf der Suche nach dem Verständnis des Beweises. Mir sind nur schon zu viele Leute begegnet, die entweder Dinge verächtlich abtun, die sie nicht verstehen, oder die die Originalität einer Idee dann nicht mehr erkennen, wenn sie später oft kopiert wurde und daher inzwischen alltäglich erscheint.
Cantors Diagonalbeweise sind in der Tat noch an anderen Stellen anzuwenden, aber nur an vergleichsweise wenigen. Daher sind sie den meisten nicht geläufig. Auf der anderen Seite zeigt das gerade den genialen Gedankenblitz: für ein besonderes Problem eine spezielle Beweisidee zu entwickeln, auch wenn das Grundprinzip eines Widerspruchsbeweises natürlich nicht neu war.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:14 Mo 05.12.2011 | | Autor: | msg08 |
Hi,
ich hab da mal ein wenig weiter gegrübelt und mir kam da eine Idee und ich würde gerne wissen, was daran dann wohl falsch wäre.
Also in Anlehnung an das Cantorsche Diagonalisierungsverfahren für rationale Zahlen:
0,0 0,1 ... 0,9 0,01 ... 0,09 0,11 ... 0,19 0,21 ... 0,99 0,001 ... 0,999 ...
1,0 ...
...
so, hoffe, man erkennt ungefähr, was ich da im Endeffekt vorhabe
Ich liste soweit ja alle reelen Zahlen auf? Spaltenweise alle Nachkommastellen, die Vorkommastellen zeilenweise. Also die Form ist jetzt ein erster Versuch, aber vielleicht soweit auch gar nicht mal so verkehrt.
Wenn ich jetzt in Anlehung an das erste Diagonalisierungsverfahren von Cantor herantrete. Könnte ich ich ja jetzt ähnlich diagonal alle reelen Zahlen abzählen?
Periodische sowie auch die irrationalen Zahlen wären ja auch soweit abgebildet, im Unendlichen?
keine Ahnung :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:30 Mo 05.12.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> ich hab da mal ein wenig weiter gegrübelt und mir kam da
> eine Idee und ich würde gerne wissen, was daran dann wohl
> falsch wäre.
>
> Also in Anlehnung an das Cantorsche
> Diagonalisierungsverfahren für rationale Zahlen:
>
> 0,0 0,1 ... 0,9 0,01 ... 0,09 0,11 ... 0,19 0,21 ... 0,99
> 0,001 ... 0,999 ...
> 1,0 ...
> ...
>
> so, hoffe, man erkennt ungefähr, was ich da im Endeffekt
> vorhabe
>
> Ich liste soweit ja alle reelen Zahlen auf?
Nein, eben nicht. Die Zahl [mm] $0.\overline{1}$ [/mm] kommt nie in dieser Liste vor.
Du jeder reellen Zahl gibt es eine Folge von Zahlen aus deiner Liste, die gegen diese Zahl konvergieren. Die Menge der Zahlen, die du konstruierst, liegt also dicht in [mm] $\IR$. [/mm] Aber es ist eben nicht gleich [mm] $\IR$.
[/mm]
> Wenn ich jetzt in Anlehung an das erste
> Diagonalisierungsverfahren von Cantor herantrete. Könnte
> ich ich ja jetzt ähnlich diagonal alle reelen Zahlen
> abzählen?
Du bekommst damit eine abzaehlbare Menge, aber wie oben gesagt, eben nicht alle reellen Zahlen.
> Periodische sowie auch die irrationalen Zahlen wären ja
> auch soweit abgebildet, im Unendlichen?
Was soll das "Unendliche" sein? Wenn du eine Aufzaehlung hast, dann kommt jedes Element irgendwann in der Liste vor. Nach endlich vielen Schritten. Das ist ja gerade der Sinn einer Aufzaehlung. So etwas wie "es taucht erst nach unendlich vielen Schritten auf" soll es bei einer Aufzaehlung ja gerade eben nicht geben.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 Mo 05.12.2011 | | Autor: | msg08 |
Vielen Dank soweit,
> Nein, eben nicht. Die Zahl 0.T kommt nie in dieser Liste vor.
Was meinst du eigentlich mit 0.T?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:55 Mo 05.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank soweit,
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> > Nein, eben nicht. Die Zahl 0.T kommt nie in dieser Liste
> vor.
Da hast Du falsch zitiert !!!
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> Was meinst du eigentlich mit 0.T?
Das finde ich mal wieder lustig ! Felix hat nicht 0.T geschrieben, sondern
[mm] $0.\overline{1}$
[/mm]
Schau genau hin, denn da steht (in Worten) 0 komma 1 periode.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:24 Mo 05.12.2011 | | Autor: | msg08 |
Danke, nicht erkannt.
Naja, finde es halt schon weiterhin schwierig :). Wenn ich jetzt eine Folge reeler Zahlen habe, unendlicher Länge. Dann bilde ich ja mit dem Verfahren eine Zahl, die ich so aber auch nie bilde und wenn ich sie erhalte und die Folge sei vollständig, würde sie ja auch in der Folge vorkommen :).
Bei mir ist es schon ein ähnliches Problem. Jede Zahl erreichen, in endlich vielen Schritten, hiesse ja, eine Zahl unendlicher Länge in endlich vielen Schritten erreichen. Schon schwierig so. Aber andererseits, sie käme ja schon in der jeweiligen Zeile vor. Also man würde etwas haben, das man aber so nicht erreicht :). Vielen Dank, ist in Ordnung.
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