Cardanische Formeln reell (?) < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Liebe community,
ich frage mich seit längerem, ob es wirklich keinen Weg gibt, den "casus irreducibilis" ganz reell darzustellen.
Die Cardanischen Formeln führen ja gerade im Fall drei reeller Lösungen eines Polynoms dritten Grades über meist recht vertrackte komplexe Darstellungen - obwohl dann eben alle drei Lösungen reell sind.
Zu Fuß ist da meist wenig zu machen, außer für die Großmeister im Ziehen dritter Wurzeln. Dazu gehöre ich leider nicht.
Hier ein Beispiel, das ich kurzerhand von WolframAlpha habe berechnen lassen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wie würde ich denn nun händisch auf die angegebenen reellen Werte kommen bzw. überhaupt erkennen, dass es sich um rein reelle Lösungen handelt? Wenn ich Cardanos Weg gehe, weiß ich das vorher über die Diskriminante, aber der einzelnen Lösung sehe ich es nicht an.
Hat jemand eine Idee? Mir geht es übrigens letztlich um rein reelle analytische Lösungen bestimmter Gleichungen dritten Grades, die ich aber auch letztlich reell darstellen will.
Herzliche Grüße
reverend
PS: Wer es auch nicht so recht weiß, lasse doch bitte die Frage auf "teilweise beantwortet". Danke.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
Hallo reverend,
>
> Liebe community,
>
> ich frage mich seit längerem, ob es wirklich keinen Weg
> gibt, den "casus irreducibilis" ganz reell darzustellen.
>
> Die Cardanischen Formeln führen ja gerade im Fall drei
> reeller Lösungen eines Polynoms dritten Grades über meist
> recht vertrackte komplexe Darstellungen - obwohl dann eben
> alle drei Lösungen reell sind.
>
> Zu Fuß ist da meist wenig zu machen, außer für die
> Großmeister im Ziehen dritter Wurzeln. Dazu gehöre ich
> leider nicht.
>
> Hier ein Beispiel, das ich kurzerhand von WolframAlpha habe
> berechnen lassen.
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Wie würde ich denn nun händisch auf die angegebenen
> reellen Werte kommen bzw. überhaupt erkennen, dass es sich
Liegt eine Gleichung 3. Grades in reduzierte Form vor:
[mm]a^{3}+p*a+q=0[/mm]
Dann wählt man zunächst die Subsitution
[mm]a=\xi-\bruch{p}{3\xi}[/mm]
Dies führt dann auf die Gleichung
[mm]\xi^{3}-\bruch{p^{3}}{27\xi^{3}}+q=0[/mm]
Bestimme dann die Lösungen dieser GLeichung.
> um rein reelle Lösungen handelt? Wenn ich Cardanos Weg
> gehe, weiß ich das vorher über die Diskriminante, aber
> der einzelnen Lösung sehe ich es nicht an.
>
Mir ist auch nur die Möglichkeit über die Diskriminante bekannt.
> Hat jemand eine Idee? Mir geht es übrigens letztlich um
> rein reelle analytische Lösungen bestimmter Gleichungen
> dritten Grades, die ich aber auch letztlich reell
> darstellen will.
>
Es existieren reelle Lösungsformeln für den "Casus irreducibilis".
Die Lösungen der reduzierten Gleichung 3. Grades ergeben sich zu
[mm]a_{1}=2*\wurzel{\bruch{\vmat{p}}{3}}*\cos\left(\bruch{\varphi}{3}\right)[/mm]
[mm]a_{2}=-2*\wurzel{\bruch{\vmat{p}}{3}}*\cos\left(\bruch{\varphi-\pi}{3}\right)[/mm]
[mm]a_{3}=-2*\wurzel{\bruch{\vmat{p}}{3}}*\cos\left(\bruch{\varphi+\pi}{3}\right)[/mm]
,wobei sich [mm]\varphi[/mm] aus der Gleichung
[mm]\cos\left(\varphi\right)=\bruch{-\bruch{q}{2}}{\wurzel{\bruch{\vmat{p}^{3}}{27}}}[/mm]
ergibt, und [mm]\varphi[/mm] im Bogenmaß anzugeben ist.
> Herzliche Grüße
> reverend
>
> PS: Wer es auch nicht so recht weiß, lasse doch bitte die
> Frage auf "teilweise beantwortet". Danke.
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:20 Di 10.07.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
