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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:15 So 14.09.2008 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Zu zeigen:
(i) Die Diskriminante verschwindet genau dann, wenn die Nullstellen nicht alle verschieden sind.
(ii)Sind die p,q [mm] \in \IR [/mm] und alle [mm] x_i [/mm] vrschieden, so gilt
(a)Diskriminante(p,q)>0 [mm] \gdw [/mm] eine NS ist reell, die anderen sind konjugiert komplex
(b) Diskriminante(p,q) <0 [mm] \gdw [/mm] alle drei NS sind reell. |
Hallo,
ich hab noch eine Frage, bzgl den Cardonschen Formeln. Das weiß ich bislang:
Die dritte Wurzel sei [mm] \zeta:=e^{2 \pi i /3} [/mm] = - [mm] \frac{1}{2} [/mm] + [mm] \frac{1}{2}\sqrt{3} \sqrt{-1} \in [/mm] C.
Die Cardonschen Formeln drücken dann die Zahlen [mm] x_0, x_1, x_2 \in [/mm] C in
[mm] (x-x_0)(x-x_1)(x-x_2) [/mm] )= [mm] x^3 [/mm] + px + q [mm] \in [/mm] C[x] mit Hilfe von Zahlen p,q aus:
Diskriminante(p,q) := [mm] (\frac{q}{2})^2 [/mm] + [mm] (\frac{p}{3})^3
[/mm]
u:= [mm] (-\frac{q}{2} [/mm] + [mm] \sqrt{\mbox{Diskriminante}(p,q)})^{1/3}
[/mm]
v:= [mm] (-\frac{q}{2} [/mm] - [mm] \sqrt{\mbox{Diskriminante}(p,q)})^{1/3},
[/mm]
[mm] x_0 [/mm] = u + v
[mm] x_1 [/mm] = [mm] \zeta [/mm] u + [mm] \zeta^2 [/mm] v
[mm] x_2 [/mm] = [mm] \zeta^2 [/mm] u + [mm] \zeta [/mm] v,
wobei u und v die Gleichungen [mm] uv=-\frac{p}{3} [/mm] und [mm] u^3+v^3=-q [/mm] erfüllen. Es ist also [mm] x_0=u+v [/mm] eine Lösung von [mm] x^3+px+q=0 [/mm] wegen [mm] (u+v)^3= u^3 [/mm] + 3u^2v + [mm] 3uv^2 [/mm] + [mm] v^3 [/mm] = -p(u+v) - q.
Nun kann man wohl verwenden, dass
[mm] \sqrt{\mbox{Diskriminante}(p,q)} [/mm] = - [mm] \frac{\sqrt{3}}{18} \sqrt{-1} (x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_1-x_2)
[/mm]
(i) ist klar, da das Produkt Null wird, wenn einer der Faktoren Null wird und das ist der Fall wenn nicht alle NS verschieden sind.
(ii)
Wie kann man hier die Behauptungen (a) und (b) zeigen? Würde mich über ein paar Hinweise freuen, wie man das nachweisen kann...
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:27 Mo 15.09.2008 | | Autor: | PeterB |
Das hat mit irgendwelchen expliziten Lösungsformeln nichts zu tun:
Für jedes Polynom mit reellen Koeffizienten gilt: nicht reelle Nullstellen tauchen nur in komplex konjugierten Paaren auf. Das liegt einfach daran, dass die komplexe Konjugation, das Polynom, und daher die Menge der Nullstellen fest lässt.
Nun zum Fall Grad 3: Wir haben drei Nullstellen. Also gibt es die zwei Fälle: alle Nullstellen reell, oder eine reelle und ein Paar nicht reelle komplex konjugierte Nullstellen.
Was ist nun die Diskriminante in diesen Fällen?
Fall 1: [mm] $x_1,x_2,x_2\in \mathbb{R} \Rightarrow (x_1-x_2) [/mm] , [mm] (x_1-x_3),(x_2-x_3)\in \mathbb{R} \Rightarrow (x_1-x_2)^2>0,...$ [/mm] also ist auch die Diskriminante größer als 0.
Fall 2: OBdA: [mm] $x_1$ [/mm] reell, [mm] $x_2=\overline{ x_3}$
[/mm]
Man sieht leicht, dass es eine reelle Zahl r gibt s.d. [mm] $x_2-x_3=\sqrt{-1} [/mm] r$. Außerdem gilt [mm] $x_1-x_2=\overline{x_1-x_3}$.
[/mm]
Damit ist die Diskriminante:
[mm] $(x_1-x_2)^2(x_1-x_3)^2(x_2-x_3)^2=((x_1-x_2)(x_1-x_3))^2(-r^2)=((x_1-x_2)\overline{(x_1-x_2)})^2(-r^2)=|x_1-x_2|^2(-r^2)$
[/mm]
und das ist sicher kleiner als 0.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:25 Mo 15.09.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo,
vielen Dank für deine Erklärungen! Jetzt wird mir das um einiges klarer...
Aber noch eine Rückfrage, für mich ist das leider nicht so offensichtlich, warum gibt es so eine Zahl r s.d.
> [mm]x_2-x_3=\sqrt{-1} r[/mm]
und warum gilt außerdem
> [mm]x_1-x_2=\overline{x_1-x_3}[/mm] ??
Muss man das ganze noch jeweils in die andere Richtung zeigen, oder ist das schon "genau dann wenn" ??
Viele Grüße & besten Dank,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:28 Mo 15.09.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Riley!
> Hallo,
> vielen Dank für deine Erklärungen! Jetzt wird mir das um
> einiges klarer...
> Aber noch eine Rückfrage, für mich ist das leider nicht so
> offensichtlich, warum gibt es so eine Zahl r s.d.
> > [mm]x_2-x_3=\sqrt{-1} r[/mm]
Nach Voraussetzung ist doch [mm] $x_3 [/mm] = [mm] \overline{x_2}\$, [/mm] daher ist
[mm] x_2-x_3 = x_2 - \overline{x_2} = i r [/mm]
rein imaginär, denn die Realteile heben sich weg.
> und warum gilt außerdem
> > [mm]x_1-x_2=\overline{x_1-x_3}[/mm] ??
[mm] $x_1$ [/mm] ist reell, und daher
[mm] \overline{x_1-x_3} = \overline{x_1} - \overline{x_3} = x_1 - \overline{x_3} = x_1 - x_2 [/mm]
> Muss man das ganze noch jeweils in die andere Richtung
> zeigen, oder ist das schon "genau dann wenn" ??
Wenn du beide Fälle gezeigt hast, hast du doch dein "genau dann wenn" (immer unter der Annahme, dass alle Nullstellen verschieden sind).
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:48 Mo 15.09.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo Rainer,
vielen Dank für die Erklärungen, das mit den komplexen Zahlen hab ich nun verstanden ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
Allerdings bin ich gerade etwas verwirrt. Steht es in der Aufgabenstellung nicht gerade andersherum als nun bewiesen?
Also dass die Diskriminante(p,q) < 0 ist, wenn alle drei NS reell sind? Und in dem Beweis ist sie ja aber > 0 ????
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:57 Di 16.09.2008 | | Autor: | PeterB |
Hallo Riley,
das Vorzeichen der Diskriminante ist Definitionssache. Das Vorzeichen das ich verwende ist natürlicher, wenn man die Diskriminante als Produkt der Differenzen der Nullstellen definiert. Wenn man die Diskriminante dann aber für [mm] $X^3+pX+q$ [/mm] hinschreibt, ergibt sich [mm] $-4p^3-27q^2$ [/mm] weshalb man für den kubischen Fall gerne ein "$-$" davor schreibt. Tut mir leid, dass ich übersehen habe, dass ihr die andere Konvention verwendet.
Gruß
Peter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 Di 16.09.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo Peter,
achso, ja danke - dann ists klar. Aber noch eine Frage, wie kann man eigentlich einsehen, dass das hier gilt, was wir die ganze Zeit benutzt haben:
[mm] \sqrt{Diskriminante(p,q)} [/mm] = [mm] \frac{1}{2}(u^3 [/mm] - [mm] v^3) [/mm] = .... ???? = - [mm] \frac{\sqrt{3}}{18} \cdot \sqrt{-1} \cdot (x_0-x_1) (x_0-x_2) (x_1-x_2)
[/mm]
Warum gilt das oder wie kann man das nachrechnen'?
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:47 Mi 17.09.2008 | | Autor: | PeterB |
Die Details stehen in jedem Algebra Buch, ist aber ein bisschen technisch. Die Idee ist die Folgende:
Wenn [mm] $x_0,x_1,x_2$ [/mm] die Nullstellen von [mm] $x^3+px+q$ [/mm] sind, dann gilt:
[mm] $x_0+x_1+x_2=0$
[/mm]
[mm] $x_0x_1+x_0x_2+x_1x_2=p$ [/mm] und
[mm] $x_1x_2x_3=q$
[/mm]
einfach weil [mm] $x^3+px+q=(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)$. [/mm] Damit kann man dann den Wert von [mm] $(x_0-x_1)^2(x_0-x_2)^2(x_0-x_2)^2$ [/mm] ausrechnen. Allgemein gibt es einen Satz, der besagt, dass wenn man jedes symmetrische Polynom (hier [mm] $(x_0-x_1)^2(x_0-x_2)^2(x_0-x_2)^2$) [/mm] in $n$ (hier 3) Variablen (hier [mm] $x_0,x_1,x_2$) [/mm] mit den elementarsymetrischen Polynomen (hier die 3 polynome oben) ausrechnen kann. symmetrisch heißt das Polynom ändert sich nicht, wenn ich die Variablen vertausche (deshalb die Quadrate!). Die Elementar symmetrischen Polynome in $n$ Variablen sind sind [mm] $x_1+...+x_n$, $x_1x_2+x_1x_3+...+x_{n-1}x_n$ [/mm] usw. bis [mm] $x_1x_2...x_n$.
[/mm]
Das heißt, ich kann das Quadrat der produkte der Differenzen der Nullstellen eines beliebigen Polynoms in einer Veränderlichen aus den Koeffizienten ausrechnen. Leider Sagt der Satz nur dass es geht, nicht wie, also muss man immer noch ein lineares Gleichungssystem lösen.
Gruß
Peter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:24 Mi 17.09.2008 | | Autor: | Riley |
Hi Peter.
Ok, vielen besten Dank nochmal für deine Hilfe!
Viele Grüße,
Riley
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