www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - Cardano reduziert
Cardano reduziert < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Cardano reduziert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:58 Di 19.10.2010
Autor: kushkush

Aufgabe
Gegeben sei das Polynom P der Form [mm] $x^{3}+3bx+2d$ [/mm]

a) Es soll nachgewiesen werden, dass  für den Fall [mm] $D=b^{3}+d^{2} [/mm] < 0$ die Zahlen [mm] $n_{k}=z+\overline{z}$ [/mm] (für $k=1,2,3$) verschiedene reelle Nullstellen von P sind.
Hinweis: Setzen Sie [mm] z^{3}=-d+i\sqrt{-b^{3}-d^{2}} [/mm]



Hallo!


Also die Idee ist, die drei Wurzeln auszurechnen einzusetzen und 0 rauszubekommen. Da ja die  konjugiert komplexe zusammengerechnet werden hat man dann für die [mm] $n_{k}$s [/mm] nur die zweifachen Realteile der komplexen Zahlen.

[mm] $z^{3}=-d+i\sqrt{-b^{3}-d^{2}}$ [/mm]

das in die Polarform gebracht und die 3te Wurzel gezogen:

[mm] $z_{1}=\sqrt{-b}cis(\frac{\varphi}{3})$ [/mm]

[mm] $n_{1}= z_{1}+\overline{z_{1}}=2\sqrt{-b}cos(\frac{\varphi}{3}) [/mm]


Das habe ich dann auch ins Polynom eingesetzt und zum Winkel umgeformt, nur sehe ich nichts weiter, weil nicht wirklich 0 rauskommt wegen den ganzen Winkeln (habe den [mm] cos^{3} [/mm] der reinkommt umgeformt mit einem Additionstheorem) und ich damit auch nicht zeigen kann, dass sie verschieden sind. Dass sie reell sind ist ja eigentlich schon klar, weil man durch das addieren mit dem komplex konjugierten immer [mm] 2\cdot [/mm] Re(z) übrig hat.

Ich denke also das ist der falsche Weg den ich hier gegangen bin?


Diese Frage habe ich in keinem anderen Forum erstellt. Ich danke und wünsche euch allen einen schönen Tag.

        
Bezug
Cardano reduziert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:16 Di 19.10.2010
Autor: fred97


> Gegeben sei das Polynom P der Form [mm]x^{3}+3bx+2d[/mm]
>
> a) Es soll nachgewiesen werden, dass  für den Fall
> [mm]D=b^{3}+d^{2} < 0[/mm] die Zahlen [mm]n_{k}=z+\overline{z}[/mm] (für
> [mm]k=1,2,3[/mm]) verschiedene reelle Nullstellen von P sind.
> Hinweis: Setzen Sie [mm]z^{3}=-d+\sqrt{-b^{3}-d^{2}}[/mm]
>  
> Hallo!
>
>
> Also die Idee ist, die drei Wurzeln auszurechnen
> einzusetzen und 0 rauszubekommen. Da ja die  konjugiert
> komplexe zusammengerechnet werden hat man dann für die
> [mm]n_{k}[/mm]s nur die zweifachen Realteile der komplexen Zahlen.
>
> [mm]z^{3}=-d+\sqrt{-b^{3}-d^{2}}[/mm]
>
> das in die Polarform gebracht und die 3te Wurzel gezogen:
>
> [mm]z_{1}=\sqrt{-b}cis(\frac{\varphi}{3})[/mm]
>
> [mm]$n_{1}= z_{1}+\overline{z_{1}}=2\sqrt{-b}cos(\frac{\varphi}{3})[/mm]
>  
>

Was ist denn obiges [mm] \varphi [/mm] ?

Berechne die 3. Wurzeln doch bitte korrekt, z.B. hiermit:
Die 3-ten Wurzel der komplexen Zahl z = [mm] re^{i\varphi} [/mm] sind gegeben durch:

  [mm] \sqrt[3]{r}\cdot e^{\mathrm i \frac{\varphi + 2k\pi}3}, [/mm]  k=0,1,2

FRED


> Das habe ich dann auch ins Polynom eingesetzt und zum
> Winkel umgeformt, nur sehe ich nichts weiter, weil nicht
> wirklich 0 rauskommt wegen den ganzen Winkeln (habe den
> [mm]cos^{3}[/mm] der reinkommt umgeformt mit einem Additionstheorem)
> und ich damit auch nicht zeigen kann, dass sie verschieden
> sind. Dass sie reell sind ist ja eigentlich schon klar,
> weil man durch das addieren mit dem komplex konjugierten
> immer [mm]2\cdot[/mm] Re(z) übrig hat.
>  
> Ich denke also das ist der falsche Weg den ich hier
> gegangen bin?
>  
>
> Diese Frage habe ich in keinem anderen Forum erstellt. Ich
> danke und wünsche euch allen einen schönen Tag.  


Bezug
                
Bezug
Cardano reduziert: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 20:11 Di 19.10.2010
Autor: kushkush

Hat sich erledigt...



Bezug
                        
Bezug
Cardano reduziert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:00 Mi 20.10.2010
Autor: fred97


> Hat sich erledigt...

Danke, Glückwunsch

FRED

>
>  


Bezug
                                
Bezug
Cardano reduziert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:36 Mi 20.10.2010
Autor: kushkush

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Meine Lösung ist keine Lösung laut Prof. Das Problem ist nur, dass man überall, auch in Mathebüchern, das selbe findet wie ich es gerechnet habe oder aber eine Lösung die aber nur für die nicht reduzierte Form der kubischen Gleichung gilt und mir deshalb nicht wirklich weiterhilft.


Das habe ich gerechnet:

Ausgangsgleichung ist :

$x^{3}+3bx+2d=0$

Folgende Voraussetzungen sind gegeben:

Es gilt für die Diskriminante $D:=d^{2}+b^{3} < 0$ damit alle drei reell werden und verschieden.  Und es gilt $z^{3}=-d+i\sqrt{-D}=-q+i\sqrt{-d^{2}-b^{3}}$  Für die Nullstellen soll gelten dass sie alle reell und verschieden sind, und sich zusammensetzen aus $n_{k}=z_{k}+\overline{z_{k}}$ (wobei $k=1,2,3$)

Zuerst habe ich die drei Wurzeln berechnet für $z^{3}=-d+i\sqrt{-d^{2}-b^{3}}:

$z_{1}=\sqrt{-b}cis(\frac{\varphi}{3})=\sqrt{-b}e^{i\frac{\varphi}{3}}$
$z_{2}=\sqrt{-b}cis(\frac{\varphi}{3}+\frac{2}{3}\pi) = \sqrt{-b}e^{i\frac{\varphi}{3}+\frac{2}{3}\pi$
$z_{3}=\sqrt{-b}cis(\frac{\varphi}{3}+\pi)=\sqrt{-b}e^{i\frac{\varphi}{3}+\pi}$

Dann die Nullstellen über die Voraussetzung $z+\overline{z}=n$ :

$n_{1}=2\sqrt{-b}cos(\frac{\varphi}{3})$
$n_{2}=2\sqrt{-b}cos(\frac{\varphi}{3}+\frac{2}{3}\pi)$
$n_{3}=2\sqrt{-b}cos(\frac{\varphi}{3}+\pi)$

Dann um den Winkel $\varphi$ herauszufinden habe ichs in $x^{3}+3bx+2d=0$ eingesetzt:

$r:=2\sqrt{-b};$
$r^{3}cos^{3}(\frac{\varphi}{3})+3b(rcos(\frac{\varphi}{3}))+2d=0$
$\frac{3}{4}r^{3}cos(\frac{\varphi}{3})+\frac{r^{3}}{4}cos{\varphi}+3brcos(\frac{\varphi}{3})+2d=0$
$\frac{1}{4}r^{3}cos(\varphi)+(\frac{3}{4}r^{2}+3b)rcos(\frac{\varphi}{3})+2d=0$
$2\sqrt{-b^{3}}cos(\varphi)+2d=0$
$cos(\varphi)=\frac{d}{\sqrt{-b^{3}})$
$\varphi=arccos(\frac{d}{\sqrt{-b^{3}}})$

Jetzt bin ich davon ausgegangen dass ich fertig bin. Meine Endlösungen für die Nullstellen sehen so aus:

$n_{1}=2\sqrt{-b}cos(\frac{arccos(\frac{d}{\sqrt{-b^{3}}})}{3})$
$n_{2}=-2\sqrt{-b}cos(\frac{arccos(\frac{d}{\sqrt{-b^{3}}})}{3})+\frac{2}{3}\pi)$
$n_{3}=-2\sqrt{-b}cos(\frac{arccos(\frac{d}{\sqrt{-b^{3}}})}{3}+\pi)$



Das ist aber falsch. Was fehlt denn noch... Man sieht ja dass es Nullstellen sind und auch dass sie verschieden und reell sind/sein müssen!

Bezug
                                        
Bezug
Cardano reduziert: deprimierter Cardano
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 20:14 Mi 20.10.2010
Autor: kushkush

Ok, hier ein erneuter Ansatz:

[mm] $D=b^{3}+d^{2} [/mm] < 0 $

[mm] $\sqrt[2]{D}=\pm |b^{3}+d^{2}|\cdot [/mm] i := [mm] g\cdot [/mm] i$

da Betrag. Ist immer$g>0$

jetzt setze ich diese Zahl ein in die ursprüngliche Wurzelgleichung [mm] $z^{3}= d+\sqrt{-D}$ [/mm] da ziehe ich [mm] $\sqrt{-1}$ [/mm] als $i$ raus:

[mm] $Z=\sqrt[3]{d+gi} [/mm] = a+bi$ und das [mm] Kkonjugierte:$K=\sqrt[3]{d-gi}=a-bi$ [/mm]

und jetzt $Z+K= 2a [mm] =n_{1}$ [/mm]


Weiter komm ich nicht. Wie krieg ich [mm] $n_{2}$ [/mm] und  [mm] $n_{3}$ [/mm] raus und wie setze ich dann die Lösung "2a" in die reduzierte Form ein?

Bezug
                                        
Bezug
Cardano reduziert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:17 Mi 20.10.2010
Autor: MathePower

Hallo kushkush,


> Meine Lösung ist keine Lösung laut Prof. Das Problem ist
> nur, dass man überall, auch in Mathebüchern, das selbe
> findet wie ich es gerechnet habe oder aber eine Lösung die
> aber nur für die nicht reduzierte Form der kubischen
> Gleichung gilt und mir deshalb nicht wirklich weiterhilft.
>  
>
> Das habe ich gerechnet:
>
> Ausgangsgleichung ist :
>
> [mm]x^{3}+3bx+2d=0[/mm]
>
> Folgende Voraussetzungen sind gegeben:
>
> Es gilt für die Diskriminante [mm]D:=d^{2}+b^{3} < 0[/mm] damit
> alle drei reell werden und verschieden.  Und es gilt
> [mm]z^{3}=-d+i\sqrt{-D}=-q+i\sqrt{-d^{2}-b^{3}}[/mm]  Für die
> Nullstellen soll gelten dass sie alle reell und verschieden
> sind, und sich zusammensetzen aus
> [mm]n_{k}=z_{k}+\overline{z_{k}}[/mm] (wobei [mm]k=1,2,3[/mm])
>  
> Zuerst habe ich die drei Wurzeln berechnet für
> [mm]$z^{3}=-d+i\sqrt{-d^{2}-b^{3}}:[/mm]
>
> [mm]z_{1}=\sqrt{-b}cis(\frac{\varphi}{3})=\sqrt{-b}e^{i\frac{\varphi}{3}}[/mm]
>  [mm]z_{2}=\sqrt{-b}cis(\frac{\varphi}{3}+\frac{2}{3}\pi) = \sqrt{-b}e^{i\frac{\varphi}{3}+\frac{2}{3}\pi[/mm]
>  
> [mm]z_{3}=\sqrt{-b}cis(\frac{\varphi}{3}+\pi)=\sqrt{-b}e^{i\frac{\varphi}{3}+\pi}[/mm]


Die Lösungen müssen doch so lauten:

[mm]z_{k}=\sqrt{-b^{\red{3}}}e^{i\frac{\varphi+2*k*\pi}{3}}, \ k=1,2,3[/mm]

Konkret:

[mm]z_{1}=\sqrt{-b^{3}}e^{i\frac{\varphi+2*1*\pi}{3}}[/mm]

[mm]z_{2}=\sqrt{-b^{3}}e^{i\frac{\varphi+2*2*\pi}{3}}[/mm]

[mm]z_{3}=\sqrt{-b^{3}}e^{i\frac{\varphi+2*3*\pi}{3}}=\sqrt{-b^{3}}e^{i\frac{\varphi}{3}}[/mm]


>
> Dann die Nullstellen über die Voraussetzung
> [mm]z+\overline{z}=n[/mm] :
>  
> [mm]n_{1}=2\sqrt{-b}cos(\frac{\varphi}{3})[/mm]
>  [mm]n_{2}=2\sqrt{-b}cos(\frac{\varphi}{3}+\frac{2}{3}\pi)[/mm]
>  [mm]n_{3}=2\sqrt{-b}cos(\frac{\varphi}{3}+\pi)[/mm]
>  
> Dann um den Winkel [mm]\varphi[/mm] herauszufinden habe ichs in
> [mm]x^{3}+3bx+2d=0[/mm] eingesetzt:
>
> [mm]r:=2\sqrt{-b};[/mm]
>  
> [mm]r^{3}cos^{3}(\frac{\varphi}{3})+3b(rcos(\frac{\varphi}{3}))+2d=0[/mm]
>  
> [mm]\frac{3}{4}r^{3}cos(\frac{\varphi}{3})+\frac{r^{3}}{4}cos{\varphi}+3brcos(\frac{\varphi}{3})+2d=0[/mm]
>  
> [mm]\frac{1}{4}r^{3}cos(\varphi)+(\frac{3}{4}r^{2}+3b)rcos(\frac{\varphi}{3})+2d=0[/mm]
>  [mm]2\sqrt{-b^{3}}cos(\varphi)+2d=0[/mm]
>  [mm]cos(\varphi)=\frac{d}{\sqrt{-b^{3}})[/mm]


Die Gleichung muss doch so lauten:

[mm]cos(\varphi)=\frac{\red{-}d}{\sqrt{-b^{3}})[/mm]


>  [mm]\varphi=arccos(\frac{d}{\sqrt{-b^{3}}})[/mm]


Damit ergibt sich der Winkel [mm]\varphi[/mm] zu:

[mm]\varphi=arccos(\frac{\red{-}d}{\sqrt{-b^{3}}})[/mm]


>  
> Jetzt bin ich davon ausgegangen dass ich fertig bin. Meine
> Endlösungen für die Nullstellen sehen so aus:
>
> [mm]n_{1}=2\sqrt{-b}cos(\frac{arccos(\frac{d}{\sqrt{-b^{3}}})}{3})[/mm]
>  
> [mm]n_{2}=-2\sqrt{-b}cos(\frac{arccos(\frac{d}{\sqrt{-b^{3}}})}{3})+\frac{2}{3}\pi)[/mm]
>  
> [mm]n_{3}=-2\sqrt{-b}cos(\frac{arccos(\frac{d}{\sqrt{-b^{3}}})}{3}+\pi)[/mm]
>  
>
>
> Das ist aber falsch. Was fehlt denn noch... Man sieht ja
> dass es Nullstellen sind und auch dass sie verschieden und
> reell sind/sein müssen!  


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
Cardano reduziert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:23 Mi 20.10.2010
Autor: kushkush

Hallo Mathepower,


Danke für die Korrekturen. Der Prof hat sich meine Lösung nicht lange und gründlich angeschaut, aber gesagt dass diese Form nicht korrekt ist und man auf keinen Fall mit Winkelfunktionen rumhantieren soll und auf die Voraussetzungen achten muss...




Bezug
                                                        
Bezug
Cardano reduziert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:20 Mi 20.10.2010
Autor: MathePower

Hallo kushkush,

> Hallo Mathepower,
>
>
> Danke für die Korrekturen. Der Prof hat sich meine Lösung
> nicht lange und gründlich angeschaut, aber gesagt dass
> diese Form nicht korrekt ist und man auf keinen Fall mit
> Winkelfunktionen rumhantieren soll und auf die
> Voraussetzungen achten muss...
>


Die Gleichung

[mm] z^{3}=-d+\sqrt{-b^{3}-d^{2}}[/mm]

kann man auch händisch lösen,
da der rechte Teil dieser Gleichung reell ist.

Setze dazu [mm]z=a+b*i[/mm]

Dies in die Gleichung eingesetzt und nach Real- und Imaginärteil
getrennt, ergibt ein Gleichungssystem, woraus sich a und b bestimmen
lassen.


Gruss
MathePower  

Bezug
                                                                
Bezug
Cardano reduziert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:44 Mi 20.10.2010
Autor: kushkush

Danke,

aber es ist [mm] $z^{3}=-d+i\sqrt{-d^{2}-b^{3}}$ [/mm]

habe das i vergessen hinzuschreiben, sorry.




Bezug
                                                                        
Bezug
Cardano reduziert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:29 Do 21.10.2010
Autor: fred97


> Danke,
>
> aber es ist [mm]z^{3}=-d+i\sqrt{-d^{2}-b^{3}}[/mm]
>  
> habe das i vergessen hinzuschreiben, sorry.

Knallkopf ! Und das merkst Du erst nach 2 Tagen , in denen sich einige Helfer mit Dir und dieser Aufgabe auseinandergesetzt haben ?  Ich bedanke mich.

Aber es passt zu Deinem Profil:

        Wohnort: (Weihnachtsinsel) · Math. Background: Klasse 1 Grundschule

         (sehr witzig)



FRED

>
>
>  


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de