Cauchy-Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:27 Do 13.11.2008 | | Autor: | Arina |
| Aufgabe | GEGEBEN:
[mm] a_{n} \sim b_{n} \Rightarrow c_{n}:= a_{n} [/mm] - [mm] b_{n} [/mm] ist eine Nullfolge
[mm] [a_{n})]\sim [/mm] + [mm] [(b_{n})]\sim [/mm] := [mm] [(a_{n} [/mm] + [mm] b_{n})]\sim [/mm]
[mm] [a_{n})]\sim [/mm] * [mm] [(b_{n})]\sim [/mm] := [mm] [(a_{n} [/mm] * [mm] b_{n})]\sim [/mm] |
Hallo!
Dies ist gegeben und man muss zeigen, dass wenn [mm] a_{n} [/mm] und [mm] b_{n} [/mm] Cauchy-Folgen sind, dann sind [mm] (a_{n} [/mm] * [mm] b_{n}) [/mm] und [mm] (a_{n} [/mm] + [mm] b_{n}) [/mm] auch Cauchy-Folgen.
Kann mir jemand vllt ein Tipp geben, womit ich anfange?
Muss ich auch zeigen, dass [mm] a_{n} [/mm] eine Cauchy-Folge ist, die Konvergenz zeigen, obwohl, das eig schon mit [mm] c_{n} [/mm] definiert ist, oder nicht?
Gruß, Arina
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:10 Do 13.11.2008 | | Autor: | Arina |
Weiß keiner??
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[mm] c_{n} [/mm] ist Cauchy-Folge, wenn [mm] c_{n}-c_{m} [/mm] für alle n, m beliebig klein wird.
Nun ist also zu zeigen, dass [mm] (a_{n}+b_{n}) [/mm] - [mm] (a_{m}+b_{m}) [/mm] bzw. [mm] (a_{n}*b_{n}) [/mm] - [mm] (a_{m}*b_{m}) [/mm] für alle n, m beliebig klein werden, vorausgesetzt, dass [mm] a_{n}-a_{m} [/mm] und [mm] b_{n}-b_{m} [/mm] für alle n, m beliebig klein werden.
Dazu brauchst du nur folgende Umformungen:
[mm] (a_{n}+b_{n}) [/mm] - [mm] (a_{m}+b_{m}) [/mm] = [mm] (a_{n}-a_{m}) [/mm] + [mm] (b_{n}-b_{m})
[/mm]
bzw.
[mm] (a_{n}*b_{n}) [/mm] - [mm] (a_{m}*b_{m}) [/mm] = [mm] a_{n} [/mm] * [mm] (b_{n}-b_{m}) [/mm] + [mm] (a_{n}-a_{m}) [/mm] * [mm] b_{m}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:51 Do 13.11.2008 | | Autor: | Arina |
Danke schön!
Aber wie kommst du auf die zweite Umformung?
und noch was, dies wird doch nicht die Abgeschlossenheit zeigen, oder?
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Die Korrektheit der zweiten Gleichung kannst du einfach durch Ausmultiplizieren überprüfen. [mm] a_{n} [/mm] bzw. [mm] b_{m} [/mm] sind konstant und der andere Faktor eine Nullfolge, also ist auch der gesamte Ausdruck eine Nullfolge.
Wozu brauchst du Abgeschlossenheit? Was verstehst du in diesem Zusammenhang unter Abgeschlossenheit? Folgt das nicht aus den Voraussetzungen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:45 Do 13.11.2008 | | Autor: | Arina |
weil wenn a(n) und b(n) Cauchy Folgen sind, dann sind (a(n)+ bzw. * b(n)) auch Cauchyfolgen und dies beweist die Abgeschlossenheit. So steht bei mir bei der Aufgabestellung
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:26 Fr 14.11.2008 | | Autor: | Arina |
AAAa, ich hab was übersehen, anstatt [mm] a_{m} [/mm] hab ich [mm] a_{n} [/mm] gelesen, vielen dank für deine Antwort!
Gruß, Arina*
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:42 Fr 14.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]c_{n}[/mm] ist Cauchy-Folge, wenn [mm]c_{n}-c_{m}[/mm] für alle n, m
> beliebig klein wird.
entweder solltest Du "im Betrage beliebig klein wird" schreiben oder oben [mm] $c_n-c_m$ [/mm] durch [mm] $|c_n-c_m|$ [/mm] ersetzen.
Aber ansonsten ist das okay. Nur der Formalität wegen schreibe ich es nochmal so:
[mm] $(c_n)_n$ [/mm] ist Cauchy-Folge genau dann, wenn für jedes [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $N=N(\varepsilon) \in \IN$ [/mm] existiert, so dass für alle $n,m [mm] \ge [/mm] N$ gilt: [mm] $|c_n-c_m| \le \varepsilon\,.$
[/mm]
> Dazu brauchst du nur folgende Umformungen:
> $ [mm] (a_{n}+b_{n}) [/mm] $ - $ [mm] (a_{m}+b_{m}) [/mm] $ = $ [mm] (a_{n}-a_{m}) [/mm] $
> + $ [mm] (b_{n}-b_{m}) [/mm] $
> bzw.
> $ [mm] (a_{n}\cdot{}b_{n}) [/mm] $ - $ [mm] (a_{m}\cdot{}b_{m}) [/mm] $ = $ [mm] a_{n} [/mm] $ *
> $ [mm] (b_{n}-b_{m}) [/mm] $ + $ [mm] (a_{n}-a_{m}) [/mm] $ * $ [mm] b_{m} [/mm] $
Diese Umformungen sind natürlich hilfreich. Aber in Wahrheit braucht man noch ein bisschen mehr: Zum einen die Dreiecksungleichung (s.o., wegen den "vergessenen Betragsstrichen") und zum anderen auch das Hintergrundwissen, dass jede Cauchyfolge insbesondere beschränkt ist.
(Ansonsten könnte es ja theoretisch z.B. so sein, dass [mm] $|b_m| \to \infty$ [/mm] und [mm] $|a_n-a_m| \to [/mm] 0$ und man deshalb keine Aussage mehr über das Produkt [mm] $|b_m||a_n-a_m|$ [/mm] bei $m,n [mm] \to \infty$ [/mm] machen könnte.)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:09 Fr 14.11.2008 | | Autor: | Arina |
Danke schön, das hat mich weiter gebracht!
LG Arina
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