Cauchy-Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:19 Sa 01.12.2012 | | Autor: | arraneo |
Hey,
Aufgabe: (X,d) metrischer Raum und [mm] (x_n)_{n\in N} [/mm] sowie [mm] (y_n)_{n\in N} [/mm] Cauchy-Folgen in X.
Man zeige: Dann ist [mm] (d(x_n,y_n))_{n\in N} [/mm] eine Cauchy-Folge in R.
Ich verstehe, ehrlich gesagt, die Aufgabe nicht wirklich. Die Folge der Abstände sollte also in R konvergieren.
Ich denke mir, dass diese Folge gegen d(a,b) konvergieren würde, wobei [mm] x_n\to [/mm] a und [mm] y_n\to [/mm] b.
Oder?
lg.
arraneo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:33 Sa 01.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hey,
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> Aufgabe: (X,d) metrischer Raum und [mm](x_n)_{n\in N}[/mm] sowie
> [mm](y_n)_{n\in N}[/mm] Cauchy-Folgen in X.
>
> Man zeige: Dann ist [mm](d(x_n,y_n))_{n\in N}[/mm] eine Cauchy-Folge
> in R.
>
> Ich verstehe, ehrlich gesagt, die Aufgabe nicht wirklich.
> Die Folge der Abstände sollte also in R konvergieren.
ja, weil [mm] $\IR$ [/mm] vollständig ist. Aber prinzipiell wäre das nur eine
Umformulierung der Aufgabe hier.
> Ich denke mir, dass diese Folge gegen d(a,b) konvergieren
> würde, wobei [mm]x_n\to[/mm] a und [mm]y_n\to[/mm] b.
>
> Oder?
Nein, denn weder [mm] $(x_n)$ [/mm] noch [mm] $(y_n)$ [/mm] muss konvergent sein. (Das wäre
dann der Fall, wenn [mm] $(X,d)\,$ [/mm] ein VOLLSTÄNDIGER metrischer Raum wäre;
aber das steht ja nirgends in den Voraussetzungen!)
Voraussetzung ist:
Für alle [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ gilt:
1. Es existiert ein [mm] $N_1$ [/mm] so, dass [mm] $d(x_k,x_m) [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] für alle $k,m [mm] \ge N_1\,.$
[/mm]
2. Es existiert ein [mm] $N_2$ [/mm] so, dass [mm] $d(x_k,x_m) [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] für alle $k,m [mm] \ge N_2\,.$
[/mm]
Zu zeigen ist:
Ist [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ beliebig, aber fest, vorgegeben, so existiert ein
[mm] $N\,$ [/mm] so, dass für alle $k,m [mm] \ge [/mm] N$ gilt
[mm] $$|d(x_k,y_k)-d(x_m,y_m)| [/mm] < [mm] \epsilon\,.$$
[/mm]
Tipp:
Beweise zunächst die sogenannte Vierecksungleichung, falls unbekannt:
$$|d(x,y)-d(u,v)| [mm] \le d(x,u)+d(y,v)\,.$$
[/mm]
Danach denke drüber nach, wie Du damit 1. und 2. ins Spiel bringen
kannst.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:04 So 02.12.2012 | | Autor: | arraneo |
Hey Marcel,
Sei [mm] \varepsilon>0 [/mm] bel. aber fest, dann gilt aus der Voraussetzung :
[mm] \exists N_1\in [/mm] N: [mm] d(x_k,x_m)<\bruch{\varepsilon}{2} [/mm] , [mm] \forall k,m\ge N_1
[/mm]
[mm] \exists N_2\in [/mm] N: [mm] d(y_k,y_m)<\bruch{\varepsilon}{2} [/mm] , [mm] \forall k,m\ge N_2
[/mm]
Weiterhin gilt:
[mm] d(x_k,y_k)\le d(x_k,x_m)+d(x_m,y_k)\le d(x_k,x_m)+d(x_m,y_m)+d(y_m,y_k) [/mm] (Dreiecksungleichung)
[mm] \gdw d(x_k,y_k)-d(x_m,y_m)\le d(x_k,x_m)+d(y_k,y_m) [/mm] (1)
Außerdem, gilt:
[mm] d(x_m,y_m)\le d(x_m,x_k)+d(x_k,y_m)\le d(x_m,x_k)+d(x_k,y_k)+d(y_k,y_m) [/mm] (Dreiecksungleichung)
[mm] \gdw d(x_m,y_m)-d(x_k,y_k)\le d(x_k,y_k)+d(y_k,y_m) [/mm] (2)
Per Definition gilt: d(x,y)=d(y,x) und mit (1) und (2) gilt insgesamt:
[mm] |d(x_k,y_k)-d(x_m,y_m)|\le d(x_m,x_k)+d(y_k,y_m)=^{voraus.}\bruch{\varepsilon}{2}+\bruch{\varepsilon}{2}=\varepsilon
[/mm]
[mm] \Rightarrow^{def} [/mm] Die Folge [mm] (d(x_n,y_n))_{n\in N} [/mm] ist eine Cauchy-Folge .
qed. oder? ^^
lg.
arraneo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:49 So 02.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hey Marcel,
>
> Sei [mm]\varepsilon>0[/mm] bel. aber fest, dann gilt aus der
> Voraussetzung :
>
> [mm]\exists N_1\in[/mm] N: [mm]d(x_k,x_m)<\bruch{\varepsilon}{2}[/mm] ,
> [mm]\forall k,m\ge N_1[/mm]
>
> [mm]\exists N_2\in[/mm] N: [mm]d(y_k,y_m)<\bruch{\varepsilon}{2}[/mm] ,
> [mm]\forall k,m\ge N_2[/mm]
>
> Weiterhin gilt:
>
> [mm]d(x_k,y_k)\le d(x_k,x_m)+d(x_m,y_k)\le d(x_k,x_m)+d(x_m,y_m)+d(y_m,y_k)[/mm]
> (Dreiecksungleichung)
>
> [mm]\gdw d(x_k,y_k)-d(x_m,y_m)\le d(x_k,x_m)+d(y_k,y_m)[/mm] (1)
>
> Außerdem, gilt:
>
> [mm]d(x_m,y_m)\le d(x_m,x_k)+d(x_k,y_m)\le d(x_m,x_k)+d(x_k,y_k)+d(y_k,y_m)[/mm]
> (Dreiecksungleichung)
>
> [mm]\gdw d(x_m,y_m)-d(x_k,y_k)\le d(x_k,y_k)+d(y_k,y_m)[/mm] (2)
>
> Per Definition gilt: d(x,y)=d(y,x) und mit (1) und (2) gilt
> insgesamt:
>
> [mm]|d(x_k,y_k)-d(x_m,y_m)|\le d(x_m,x_k)+d(y_k,y_m)=^{voraus.}\bruch{\varepsilon}{2}+\bruch{\varepsilon}{2}=\varepsilon[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow^{def}[/mm] Die Folge [mm](d(x_n,y_n))_{n\in N}[/mm] ist eine
> Cauchy-Folge .
>
> qed. oder? ^^
Sieht gut aus.
FRED
>
> lg.
>
> arraneo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:51 So 02.12.2012 | | Autor: | arraneo |
Hey Fred!
Toll, das hört sich immer sehr gut an. Danke ^^
lg.
arraneo
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