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| Aufgabe | Sei [mm] a_0 [/mm] = 1, [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1+ a_n} [/mm] für n [mm] \in \IN.
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass [mm] (a_n) [/mm] eine Cauchy-Folge ist.
Tipp: Man zeige zunächst, dass [mm] a_{n+2} [/mm] für n [mm] \in \IN [/mm] stets zwischen [mm] a_n [/mm] und [mm] a_{n+1} [/mm] liegt, und dann, dass [mm] \left| a_n - a_{n+1} \right| \to [/mm] 0 für n [mm] \to \infty.
[/mm]
b) Zeigen Sie, dass [mm] (a_n) [/mm] gegen die positive Lösung der Gleichung [mm] x^2 [/mm] + x = 1 konvergiert.
Bemerkung: Man berechnet damit die sogenannte Kettenbruchentwicklung für den goldenen Schnitt:
1 + [mm] \bruch{1}{1 + \bruch{1}{1 + \bruch{1}{1 + ...}}} [/mm] |
Hallo allerseits,
die ersten Folgenglieder lauten
[mm] a_0 [/mm] = 1
[mm] a_1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] a_2 [/mm] = [mm] \bruch{2}{3}
[/mm]
[mm] a_3 [/mm] = [mm] \bruch{3}{5}
[/mm]
[mm] a_4 [/mm] = [mm] \bruch{5}{8}
[/mm]
Das legt die Vermutung nahe, das [mm] a_n [/mm] Quotient zweier Fibonacci-Zahlen ist.
Sei [mm] f_n [/mm] die n.te Fibonacci-Zahl und [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{f_n}{f_{n+1}}.
[/mm]
Dann ist
[mm] \begin{matrix}
a_{n+1} &=& \bruch{1}{1 + a_n} \\
\ \\
\ &=& \bruch{1}{\bruch{f_n}{f_{}n+1}} \\
\ \\
\ &=& \bruch{1}{\bruch{f_{n+1}}{f_{n+1}} + \bruch{f_n}{f_{n+1}}} \\
\ \\
\ &=& \bruch{1}{\bruch{f_{n+2}}{f_{n+1}}} \\
\ \\
\ &=& \bruch{f_{n+1}}{f_{n+2}}
\end{matrix}
[/mm]
Somit ist [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{f_n}{f_{n+1}} [/mm] bewiesen.
Das verwirrt mich jetzt aber, da [mm] \bruch{f_n}{f_{n+1}} \le [/mm] 1 für alle n [mm] \in \IN.
[/mm]
Wenn ich die Bemerkung richtig verstehe müsste [mm] a_n [/mm] aber gegen 1,6... (der goldene Schnitt) gehen, wenn n gegen unendlich geht.
Wenn mir jemand da mal helfen könnte wäre ich sehr dankbar. Vielleicht komm ich dann auch alleine weiter. Ich hab schon einige Ideen wie man die Aufgabe lösen könnte, kann sie aber noch nicht zu Ende bringen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mit freundlichen Grüßen,
Benjamin
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Hallo Benjamin,
Du liegst bisher gut in Deinen Annahmen.
> Sei [mm]a_0[/mm] = 1, [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{1+ a_n}[/mm] für n [mm]\in \IN.[/mm]
>
> a) Zeigen Sie, dass [mm](a_n)[/mm] eine Cauchy-Folge ist.
> Tipp: Man zeige zunächst, dass [mm]a_{n+2}[/mm] für n [mm]\in \IN[/mm] stets
> zwischen [mm]a_n[/mm] und [mm]a_{n+1}[/mm] liegt, und dann, dass [mm]\left| a_n - a_{n+1} \right| \to[/mm]
> 0 für n [mm]\to \infty.[/mm]
>
> b) Zeigen Sie, dass [mm](a_n)[/mm] gegen die positive Lösung der
> Gleichung [mm]x^2[/mm] + x = 1 konvergiert.
Diese Lösung ist [mm] \bruch{\wurzel{5}-1}{2}=\Phi-1=\bruch{1}{\Phi}<1
[/mm]
> Bemerkung: Man berechnet damit die sogenannte
> Kettenbruchentwicklung für den goldenen Schnitt:
>
> [mm] \red{1} [/mm] + [mm]\bruch{1}{1 + \bruch{1}{1 + \bruch{1}{1 + ...}}}[/mm]
Die rote 1 stellt einen Fehler in der Aufgabenstellung dar.
> Hallo
> allerseits,
>
> die ersten Folgenglieder lauten
>
> [mm]a_0[/mm] = 1
>
> [mm]a_1[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> [mm]a_2[/mm] = [mm]\bruch{2}{3}[/mm]
>
> [mm]a_3[/mm] = [mm]\bruch{3}{5}[/mm]
>
> [mm]a_4[/mm] = [mm]\bruch{5}{8}[/mm]
>
> Das legt die Vermutung nahe, das [mm]a_n[/mm] Quotient zweier
> Fibonacci-Zahlen ist.
>
> Sei [mm]f_n[/mm] die n.te Fibonacci-Zahl und [mm]a_n[/mm] =
> [mm]\bruch{f_n}{f_{n+1}}.[/mm]
>
> Dann ist
>
> [mm]\begin{matrix}
a_{n+1} &=& \bruch{1}{1 + a_n} \\
\ \\
\ &=& \bruch{1}{\bruch{f_n}{\red{1}+f_{n+1}} \\
\ \\
\ &=& \bruch{1}{\bruch{f_{n+1}}{f_{n+1}} + \bruch{f_n}{f_{n+1}}} \\
\ \\
\ &=& \bruch{1}{\bruch{f_{n+2}}{f_{n+1}}} \\
\ \\
\ &=& \bruch{f_{n+1}}{f_{n+2}}
\end{matrix}[/mm]
Dafür fehlte hier zwischendrin eine 1 (offenbar nur ein Schreib-, kein Rechenfehler).
> Somit ist [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{f_n}{f_{n+1}}[/mm] bewiesen.
Jein. Du hast den Induktionsschritt gezeigt, aber den (eher offensichtlichen) Induktionsanfang nicht erwähnt. Der gehört aber zum Induktionsbeweis dazu.
> Das verwirrt mich jetzt aber, da [mm]\bruch{f_n}{f_{n+1}} \le[/mm] 1
> für alle n [mm]\in \IN.[/mm]
>
> Wenn ich die Bemerkung richtig verstehe müsste [mm]a_n[/mm] aber
> gegen 1,6... (der goldene Schnitt) gehen, wenn n gegen
> unendlich geht.
Siehe oben zur Aufgabenstellung.
> Wenn mir jemand da mal helfen könnte wäre ich sehr dankbar.
> Vielleicht komm ich dann auch alleine weiter. Ich hab schon
> einige Ideen wie man die Aufgabe lösen könnte, kann sie
> aber noch nicht zu Ende bringen.
Mach mal weiter. Das sieht schon sehr gut aus.
Der Grenzwert ist übrigens "erreicht", wenn im Übergang zum Unendlichen [mm] a_{n+1}=a_n=a [/mm] wird.
Nebenbei: wenn Du zeigen willst, dass es sich um eine Cauchy-Folge handelt, solltest Du die Definition dafür heranziehen.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Mit freundlichen Grüßen,
> Benjamin
Grüße
reverend
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Hallo,
vielen dank für deine Erklärung.
Die [mm] a_n [/mm] müssen also gegen 0,6... gehen, die 1 wird dann "zum Schluss" draufaddiert.
Für a) will ich, wie im Tipp zur Aufgabe vorgegeben, zeigen, dass [mm] a_{n+2} [/mm] stets zwischen [mm] a_{n+1} [/mm] und [mm] a_n [/mm] liegt.
Sei also [mm] a_n [/mm] < [mm] a_{n+1}.
[/mm]
Dann gilt [mm] a_n [/mm] < [mm] a_{n+1} \Rightarrow [/mm] 1 + [mm] a_n [/mm] < 1 + [mm] a_{n+1} \Rightarrow \bruch{1}{1 + a_n} [/mm] > [mm] \bruch{1}{1 + a_{n+1}} \Rightarrow a_{n+1} [/mm] > [mm] a_{n+2}.
[/mm]
Wenn ich jetzt zeigen kann, dass [mm] a_n [/mm] < [mm] a_{n+2} [/mm] ist, dann folgt, die Behauptung, da der Beweis für [mm] a_n [/mm] > [mm] a_{n+1} [/mm] analog verläuft.
Es ist dann auch klar, dass sich die Folgenglieder beliebig annähern, und somit ist [mm] a_n [/mm] eine Cauchy-Folge.
Kann mir jemand da weiterhelfen?
Zu b)
Angenommen, die [mm] a_n [/mm] bilden eine Cauchy-Folge.
Dann ist [mm] \limes_{n \rightarrow\infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} [/mm] = 1 = [mm] \frac{\frac{f_n}{f_{n+1}}}{\frac{f_{n+1}}{f_{n+2}}}
[/mm]
= [mm] \frac{f_n}{f_{n+1}} [/mm] * [mm] \frac{f_{n+2}}{f_{n+1}} [/mm] = [mm] \frac{f_n * f_{n+2}}{f_{n+1}^2}
[/mm]
= [mm] \frac{f_n^2 + f_n * f_{n+1}}{f_{n+1}^2} [/mm] = [mm] \left( \frac{f_n}{f_{n+1}}\right)^2 [/mm] + [mm] \frac{f_n}{f_{n+1}} [/mm] = [mm] a_n^2 [/mm] + [mm] a_n
[/mm]
Somit konvergieren die [mm] a_n [/mm] tatsächlich gegen die positive Lösung der Gleichung [mm] x^2 [/mm] + x = 1.
Nachtrag:
b) geht auch einfacher ohne Fibonacci-Zahlen:
[mm] \frac{a_n}{a_{n+1}} [/mm] = [mm] \frac{a_n}{\frac{1}{1 + a_n}} [/mm] = [mm] a_n [/mm] * (1 + [mm] a_n) [/mm] = [mm] a_n^2 [/mm] + [mm] a_n.
[/mm]
Mit freundlichen Grüßen,
Benjamin :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:30 Sa 07.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Benjamin,
bei a) steht ja der Tipp, zunächst zu zeigen, dass [mm] $a_{n+2}$ [/mm] stets zwischen [mm] $a_n$ [/mm] und [mm] $a_{n+1}$ [/mm] liegt und dass [mm] $|a_{n+1}-a_n| \to 0\,.$
[/mm]
Jetzt überlege Dir mal folgendes Schema:
Eine Folge [mm] $(b_n)_n$ [/mm] erfülle das obige Schema, d.h. [mm] $b_{n+2}$ [/mm] sei immer zwischen [mm] $b_n$ [/mm] und [mm] $b_{n+1}$ [/mm] gelegen.
Sei nun $N [mm] \in \IN$ [/mm] mit o.E. [mm] $b_N \le b_{N+1}\,.$ [/mm] Dann folgt [mm] $b_{N} \le b_{N+2} \le b_{N+1}\,,$ [/mm] und daraus [mm] $b_{N+2} \le b_{N+3} \le b_{N+1}\,,$ [/mm] also auch [mm] $b_{N} \le b_{N+3} \le b_{N+1}\,.$ [/mm] Weiter ist [mm] $b_{N+3} \le b_{N+4} \le b_{N+2}\,,$ [/mm] also auch [mm] $b_N \le b_{N+4} \le b_{N+1}\,...$ [/mm] etc.
Induktiv sollte sich also, für beliebiges, festes $N [mm] \in \IN$, [/mm] dann für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] zeigen lassen:
[mm] $$b_{N} \le b_{N+1+n} \le b_{N+1}\,.$$
[/mm]
(Den Fall [mm] $b_N \ge b_{N+1}$ [/mm] kannst Du auch gerne noch zusätzlich betrachten.)
Wenn Du die obige Eigenschaft [mm] '$a_{n+2}$ [/mm] liegt immer zwischen [mm] $a_n$ [/mm] und [mm] $a_{n+1}$' [/mm] also nachgewiesen hast, so weißt Du also:
Für jedes $N [mm] \in \IN$ [/mm] gilt:
Alle Folgenglieder [mm] $a_n$ [/mm] mit $n [mm] \ge [/mm] N+2$ liegen immer zwischen [mm] $a_N$ [/mm] und [mm] $a_{N+1}\,,$ [/mm] im Falle [mm] $a_N \le a_{N+1}$ [/mm] würde also
[mm] $$a_N \le a_n \le a_{N+1}\;\;\text{ für alle } [/mm] n [mm] \ge [/mm] N+2$$
ausfallen (analoges im Falle [mm] $a_N \ge a_{N+1}$).
[/mm]
Ist nun [mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm] so gibt es wegen [mm] $|a_{n+1}-a_n| \to [/mm] 0$ ein [mm] $N_1=N_1(\epsilon)$ [/mm] so, dass [mm] $|a_{n+1}-a_n| [/mm] < [mm] \epsilon/2$ [/mm] für alle $n [mm] \ge N_1\,,$ [/mm] insbesondere gilt
[mm] $$|a_{N_1+1}-a_{N_1}| [/mm] < [mm] \epsilon/2\,.$$ [/mm]
Setze nun [mm] $N=N(\epsilon):=N_1+2\,.$ [/mm] Dann liegen für alle $m,n [mm] \ge [/mm] N$ die Glieder [mm] $a_m$ [/mm] und [mm] $a_n$ [/mm] beide zwischen [mm] $a_{N_1+1}$ [/mm] und [mm] $a_{N_1}\,,$ [/mm] insbesondere gilt [mm] $|a_m-a_{N_1}| [/mm] < [mm] \epsilon/2$ [/mm] und [mm] $|a_{n}-a_{N_1}| [/mm] < [mm] \epsilon/2$ [/mm] für $m,n [mm] \ge N\,.$ [/mm]
Wendest Du nun noch die Dreiecksungleichung an
[mm] $$|a_m-a_n| \le |a_m-a_{N_1}|+|a_{N_1}-a_n|\,,$$
[/mm]
so folgt unmittelbar die Cauchyfolgeneigenschaft von [mm] $(a_n)_n\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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