Cauchy-Folge metr. Raum < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Wir betrachten [mm] \Phi :\IR\to\IR [/mm] , definiert durch [mm] \Phi(x):=\bruch{x}{1+|x|}.
[/mm]
Wir definieren [mm] $d(x,y):=|\Phi(x)-\Phi(y)|$ [/mm] für [mm] $x,y\in\IR$.
[/mm]
Zeigen sie, dass der Raum [mm] $(\IR,d)$ [/mm] nicht vollständig ist. |
Um das zu zeigen, muss ich doch ein [mm] x\in\IR [/mm] finden, gegen das keine Cauchy Folge konvergiert.
Ich hätte jetzt gesagt:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\Phi(x)=1
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow -\infty}\Phi(x)=-1
[/mm]
Damit kann es keine Cauchyfolge geben, die gegen ein [mm] x\not\in[-1,1] [/mm] konvergiert.
Kann man das so sagen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:23 Mi 28.09.2011 | | Autor: | fred97 |
> Wir betrachten [mm]\Phi :\IR\to\IR[/mm] , definiert durch
> [mm]\Phi(x):=\bruch{x}{1+|x|}.[/mm]
> Wir definieren [mm]d(x,y):=|\Phi(x)-\Phi(y)|[/mm] für [mm]x,y\in\IR[/mm].
>
> Zeigen sie, dass der Raum [mm](\IR,d)[/mm] nicht vollständig ist.
> Um das zu zeigen, muss ich doch ein [mm]x\in\IR[/mm] finden, gegen
> das keine Cauchy Folge konvergiert.
Blödsinn !!
>
> Ich hätte jetzt gesagt:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\Phi(x)=1[/mm]
> [mm]\limes_{x\rightarrow -\infty}\Phi(x)=-1[/mm]
>
> Damit kann es keine Cauchyfolge geben, die gegen ein
> [mm]x\not\in[-1,1][/mm] konvergiert.
Blödsinn !!
>
> Kann man das so sagen?
Nein. Obiges ist kompletter Unsinn.
Finde eine Folge [mm] (x_n) [/mm] in [mm] \IR [/mm] , die bezüglich d eine Cauchyfolge ist, für die also gilt:
zu jedem [mm] \varepsilon>0 [/mm] gibt es ein N [mm] \in \IN [/mm] : [mm] d(x_n,x_m)< \varepsilon [/mm] für alle n.m >N,
und die in $ [mm] (\IR,d) [/mm] $ nicht konvergiert (das bedeutet: für kein x [mm] \in \IR [/mm] gilt [mm] d(x_n,x) \to [/mm] 0)
FRED
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> > Wir betrachten [mm]\Phi :\IR\to\IR[/mm] , definiert durch
> > [mm]\Phi(x):=\bruch{x}{1+|x|}.[/mm]
> > Wir definieren [mm]d(x,y):=|\Phi(x)-\Phi(y)|[/mm] für
> [mm]x,y\in\IR[/mm].
> >
> > Zeigen sie, dass der Raum [mm](\IR,d)[/mm] nicht vollständig ist.
> > Um das zu zeigen, muss ich doch ein [mm]x\in\IR[/mm] finden,
> gegen
> > das keine Cauchy Folge konvergiert.
>
> Blödsinn !!
Warum ist das so ein Blödsinn?? Die Def. sagt doch:
Ein metr. Raum (X,d) heißt vollständig, wenn jede Cauchyfolge [mm] (X_n)_{n\in\IN} [/mm] in X gg. ein [mm] x\in [/mm] X konvergiert.
Also gilt es doch, dieses x zu finden, für das dies nicht gilt.
Ich bestreite nicht, dass du recht hast, wäre aber schön, wenn Du mir erklärst, warum das so blöd ist.
> >
> > Ich hätte jetzt gesagt:
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\Phi(x)=1[/mm]
> > [mm]\limes_{x\rightarrow -\infty}\Phi(x)=-1[/mm]
> >
> > Damit kann es keine Cauchyfolge geben, die gegen ein
> > [mm]x\not\in[-1,1][/mm] konvergiert.
>
> Blödsinn !!
> >
> > Kann man das so sagen?
>
> Nein. Obiges ist kompletter Unsinn.
>
> Finde eine Folge [mm](x_n)[/mm] in [mm]\IR[/mm] , die bezüglich d eine
> Cauchyfolge ist, für die also gilt:
>
> zu jedem [mm]\varepsilon>0[/mm] gibt es ein N [mm]\in \IN[/mm] : [mm]d(x_n,x_m)< \varepsilon[/mm]
> für alle n.m >N,
>
Eine Cauchyfolge bzgl. d wäre dann [mm] d(x_n,x_m)=|x_n-x_m|<\varepsilon.
[/mm]
> und die in [mm](\IR,d)[/mm] nicht konvergiert (das bedeutet: für
> kein x [mm]\in \IR[/mm] gilt [mm]d(x_n,x) \to[/mm] 0)
Also [mm] |\Phi(x_n)-\Phi(n)|\not\to [/mm] 0 für [mm] n\to\infty
[/mm]
Hab ich das jetzt so richtig verstanden?
Jetzt nur noch eine Frage, wie sieht diese Cauchyfolge aus? Kann das alles sein oder muss die in der Form [mm] \bruch{x}{1+|x|} [/mm] sei??
Die Grenzwerte
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\Phi(x)=1
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow -\infty}\Phi(x)=-1
[/mm]
sind ja dann nicht so unnütz.
Damit hab ich ja gezeigt, dass für eine Cauchyfolge, die gg. 0 konvergiert [mm] d(x_n,x) \not\to [/mm] 0 für hinreichend große n.
>
> FRED
>
>
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:30 Mi 28.09.2011 | | Autor: | chrisno |
> > > Wir betrachten [mm]\Phi :\IR\to\IR[/mm] , definiert durch
> > > [mm]\Phi(x):=\bruch{x}{1+|x|}.[/mm]
> > > Wir definieren [mm]d(x,y):=|\Phi(x)-\Phi(y)|[/mm] für
> > [mm]x,y\in\IR[/mm].
> > >
> > > Zeigen sie, dass der Raum [mm](\IR,d)[/mm] nicht vollständig ist.
> > > Um das zu zeigen, muss ich doch ein [mm]x\in\IR[/mm] finden,
> > gegen
> > > das keine Cauchy Folge konvergiert.
> >
> > Blödsinn !!
>
> Warum ist das so ein Blödsinn?? Die Def. sagt doch:
> Ein metr. Raum (X,d) heißt vollständig, wenn jede
> Cauchyfolge [mm](X_n)_{n\in\IN}[/mm] in X gg. ein [mm]x\in[/mm] X
> konvergiert.
Damit musst Du genau eine Cauchy Folge angeben, die nicht konvergiert.
>
> Also gilt es doch, dieses x zu finden, für das dies nicht
> gilt.
Nein, die Folge musst Du angeben und die Nichtkonvergenz zeigen. Dafür kannst Du Dir ein x suchen, aber was ist das besondere an diesem x? (Das will ich noch nicht schreiben, weil Du selbst darauf kommen sollst.)
>
> Ich bestreite nicht, dass du recht hast, wäre aber schön,
> wenn Du mir erklärst, warum das so blöd ist.
>
>
> > >
> > > Ich hätte jetzt gesagt:
> > >
> > > [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\Phi(x)=1[/mm]
> > > [mm]\limes_{x\rightarrow -\infty}\Phi(x)=-1[/mm]
> > >
> > > Damit kann es keine Cauchyfolge geben, die gegen ein
> > > [mm]x\not\in[-1,1][/mm] konvergiert.
> >
> > Blödsinn !!
Da kann ich nun Freds heftigen Kommentar verstehen. Was ist eine Cauchy Folge?
Hast Du da eine angegeben?
Wie kommst Du auf Deine "Schlussfolgerung"?
> > >
> > > Kann man das so sagen?
> >
> > Nein. Obiges ist kompletter Unsinn.
> >
> > Finde eine Folge [mm](x_n)[/mm] in [mm]\IR[/mm] , die bezüglich d eine
> > Cauchyfolge ist, für die also gilt:
> >
> > zu jedem [mm]\varepsilon>0[/mm] gibt es ein N [mm]\in \IN[/mm] : [mm]d(x_n,x_m)< \varepsilon[/mm]
> > für alle n.m >N,
> >
>
> Eine Cauchyfolge bzgl. d wäre dann
> [mm]d(x_n,x_m)=|x_n-x_m|<\varepsilon.[/mm]
Nein. Noch einmal: Was ist eine Cauchy Folge? Wieso schreibst Du hier den Betrag hin?
Du solltest vielleicht erst einmal ein ganz konkrete Folge hinschreiben, zeigen, dass sie eine Cauchy Foge ist und den Grenzwert bestimmen.
>
>
>
>
>
> > und die in [mm](\IR,d)[/mm] nicht konvergiert (das bedeutet: für
> > kein x [mm]\in \IR[/mm] gilt [mm]d(x_n,x) \to[/mm] 0)
>
>
> Also [mm]|\Phi(x_n)-\Phi(n)|\not\to[/mm] 0 für [mm]n\to\infty[/mm]
>
>
> Hab ich das jetzt so richtig verstanden?
Nein, ganz und gar nicht.
>
>
> Jetzt nur noch eine Frage, wie sieht diese Cauchyfolge aus?
> Kann das alles sein oder muss die in der Form
> [mm]\bruch{x}{1+|x|}[/mm] sei??
Wo steht da eine Folge?
>
> Die Grenzwerte
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\Phi(x)=1[/mm]
> [mm]\limes_{x\rightarrow -\infty}\Phi(x)=-1[/mm]
>
> sind ja dann nicht so unnütz.
Völlig unnütz. Wo konvergiert da eine Folge?
>
> Damit hab ich ja gezeigt, dass für eine Cauchyfolge, die
> gg. 0 konvergiert [mm]d(x_n,x) \not\to[/mm] 0 für hinreichend
> große n.
>
>
>
> >
> > FRED
> >
> >
> >
Nun frage ich doch nach, ob "Mathematikstudent im Grundstudium" richtig ist. Du bist bei dieser Aufgabe so neben der Spur, dass ich das kaum glauben kann.
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Kann ich einfach sagen:
[mm] (a_n)=n
[/mm]
Dann ist [mm] \bruch{n}{1+n} [/mm] eine Cauchyfolge, denn sie konvergiert gegen 1.
Aber [mm] (a_n) [/mm] konvergiert nicht gegen ein [mm] x\in\IR, [/mm] da [mm] (a_n)=n [/mm] divergiert.
Kann ich das so lösen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:12 Mi 28.09.2011 | | Autor: | fred97 |
> Kann ich einfach sagen:
>
> [mm](a_n)=n[/mm]
>
> Dann ist [mm]\bruch{n}{1+n}[/mm] eine Cauchyfolge, denn sie
> konvergiert gegen 1.
Bezügl. dem Betrag auf [mm] \IR [/mm] ist das richtig. In der Aufgabe geht es aber um die Metrik d.
[mm](a_n)=(n)[/mm] ist dennoch eine gute Wahl !
Zeige: bezüglich d ist [mm] (a_n) [/mm] eine Cauchyfolge. Tipp: zeige: [mm] $d(a_n,a_m) \le [/mm] |1/n-1/m|$
>
> Aber [mm](a_n)[/mm] konvergiert nicht gegen ein [mm]x\in\IR,[/mm] da [mm](a_n)=n[/mm]
> divergiert.
Nein. Du hast es nicht begriffen ! Du mußt zeigen: es gibt kein x [mm] \in \IR [/mm] mit: [mm] d(a_n,x) \to [/mm] 0.
Tipp: Widerspruchsbeweis.
FRED
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> Kann ich das so lösen?
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